ในด้านการเงินกฎ72 กฎ70 [ ^{1 ] และ}กฎ69.3 เป็นวิธีการประมาณเวลาที่เงินลงทุน จะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า โดย นำตัวเลขตามกฎ (เช่น 72) มาหารด้วยอัตราดอกเบี้ยต่อช่วงเวลา (โดยปกติคือปี) เพื่อหาจำนวนช่วงเวลาโดยประมาณที่จำเป็นสำหรับการเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า แม้ว่าเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์และ โปรแกรม สเปรดชีตจะมีฟังก์ชันในการหาเวลาที่เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าที่แม่นยำ แต่กฎเหล่านี้ก็มีประโยชน์สำหรับการคำนวณในใจหรือเมื่อมี เพียง เครื่องคิดเลข พื้นฐานเท่านั้น ^{[ 2 ]}

กฎเหล่านี้ใช้กับการเติบโตแบบทวีคูณดังนั้นจึงใช้สำหรับ การคำนวณ ดอกเบี้ยทบต้นแทนที่จะใช้ การคำนวณ ดอกเบี้ยธรรมดา นอกจาก นี้ยังสามารถใช้กับการลดลงเพื่อหาเวลาที่ดอกเบี้ยลดลงครึ่งหนึ่งได้ การเลือกตัวเลขส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับความชอบ: 69 มีความแม่นยำมากกว่าสำหรับการคำนวณดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่อง ในขณะที่ 72 ใช้ได้ดีในสถานการณ์ดอกเบี้ยทั่วไปและหารได้ง่ายกว่า

มีกฎเกณฑ์หลายแบบที่ช่วยเพิ่มความแม่นยำ สำหรับการคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นระยะๆ ระยะเวลา ที่ ดอกเบี้ย จะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าอย่างแน่นอน สำหรับ อัตราดอกเบี้ย r เปอร์เซ็นต์ต่อช่วงเวลาคือ

${\displaystyle t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}},}$

โดยที่tคือจำนวนรอบที่ต้องการ สูตรข้างต้นสามารถนำไปใช้ได้มากกว่าแค่การคำนวณเวลาที่เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น หากต้องการทราบเวลาที่เพิ่มขึ้นเป็นสามเท่า ให้แทนค่าคงที่ 2 ในตัวเศษด้วย 3 หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง หากต้องการทราบจำนวนรอบที่ค่าเริ่มต้นจะเพิ่มขึ้น 35% ให้แทนค่าคงที่ 2 ด้วย 1.35

ในการประมาณจำนวนงวดที่จำเป็นในการทำให้เงินลงทุนเริ่มต้นเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ให้นำ "ปริมาณตามกฎ" ที่สะดวกที่สุดมาหารด้วยอัตราการเติบโตที่คาดการณ์ไว้ ซึ่งแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์

• ตัวอย่างเช่น หากคุณลงทุน 100 ดอลลาร์โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นในอัตรา 9% ต่อปี กฎ 72 จะให้ผลลัพธ์ว่าต้องใช้เวลา 72/9 = 8 ปีจึงจะทำให้เงินลงทุนมีมูลค่า 200 ดอลลาร์ การคำนวณที่แม่นยำจะให้ผลลัพธ์เป็นln(2) /ln(1+0.09) = 8.0432 ปี

ในทำนองเดียวกัน หากต้องการหาระยะเวลาที่มูลค่าของเงินจะลดลงครึ่งหนึ่งในอัตราที่กำหนด ให้หารปริมาณตามกฎด้วยอัตรานั้น

• เพื่อกำหนดระยะเวลาที่อำนาจการซื้อของเงินจะลดลงครึ่งหนึ่ง นักการเงินจะหารปริมาณตามกฎด้วยอัตราเงินเฟ้อดังนั้นที่อัตราเงินเฟ้อ 3.5% โดยใช้กฎ 70จะต้องใช้เวลาประมาณ 70/3.5 = 20 ปี กว่ามูลค่าของหน่วยเงินจะลดลงครึ่งหนึ่ง^{[ 1 ]}

• เพื่อประเมินผลกระทบของค่าธรรมเนียมเพิ่มเติมต่อกรมธรรม์ทางการเงิน (เช่นค่าธรรมเนียมและค่าใช้จ่ายของกองทุนรวมค่าธรรมเนียมการลงทุนใน พอร์ตการลงทุน ประกันชีวิตแบบแปรผัน ) ให้หาร 72 ด้วยค่าธรรมเนียมนั้น ตัวอย่างเช่น หากกรมธรรม์ประกันชีวิตแบบแปรผันคิดค่าธรรมเนียมรายปี 3% เพิ่มเติมจากต้นทุนของกองทุนลงทุนพื้นฐาน มูลค่าบัญชีรวมจะลดลงเหลือ 50% ใน 72 / 3 = 24 ปี และเหลือ 25% ใน 48 ปี เมื่อเทียบกับการลงทุนในจำนวนเดียวกันโดยไม่ทำประกันกับกรมธรรม์

ค่า 72 เป็นค่าตัวตั้งที่สะดวก เนื่องจากมีตัวหาร ขนาดเล็กจำนวนมาก ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 และ 12 ค่านี้ให้ค่าประมาณที่ดีสำหรับการคิดดอกเบี้ยทบต้นรายปี และสำหรับการคิดดอกเบี้ยทบต้นในอัตราดอกเบี้ยทั่วไป (ตั้งแต่ 6% ถึง 10%) อย่างไรก็ตาม ค่าประมาณจะมีความแม่นยำน้อยลงในอัตราดอกเบี้ยที่สูงกว่านี้

สำหรับการคิดดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่อง 69 ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำสำหรับอัตราใดๆ เนื่องจาก ln (2) มีค่าประมาณ 69.3% ดูการคำนวณด้านล่าง เนื่องจากการคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวันใกล้เคียงกับการคิดดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นสำหรับวัตถุประสงค์ส่วนใหญ่ 69, 69.3 หรือ 70 จึงดีกว่า 72 สำหรับการคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวัน สำหรับอัตราประจำปีที่ต่ำกว่าข้างต้น 69.3 ก็จะแม่นยำกว่า 72 เช่นกัน^{[ 3 ]}สำหรับอัตราประจำปีที่สูงกว่า 78 จะแม่นยำกว่า

หมายเหตุ: ค่าที่ถูกต้องที่สุดในแต่ละแถวจะแสดงเป็นตัวหนา

การอ้างอิงถึงกฎนี้ในยุคแรกๆ พบได้ในหนังสือSumma de arithmetica (เวนิส, 1494. หน้า 181, หมายเหตุ 44) ของลูกา ปาซิโอลี (1445–1514) เขาได้นำเสนอกฎนี้ในการอภิปรายเกี่ยวกับการประมาณเวลาที่เงินลงทุนจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า แต่ไม่ได้พิสูจน์หรืออธิบายที่มาของกฎ ดังนั้นจึงสันนิษฐานได้ว่ากฎนี้มีมาก่อนปาซิโอลีแล้ว

voler sapere ogni quantità tanto ต่อ 100 l'anno, ใน quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72 , mente, il quale semper partirai per l'interesse, e quello che ne viene, ใน tanti anni sarà raddoppiato ตัวอย่าง: Quando l'interesse è a 6 ต่อ 100 l'anno, dico che si parta 72 ต่อ 6; เนเวียน 12, อี ใน 12 อันนี ซารา ราดดอปปิอาโต อิล แคปิตอล. (เน้นเพิ่ม)

แปลโดยประมาณ:

ในการคำนวิดเงินต้นใดๆ ที่ให้ดอกเบี้ยร้อยละต่อปี จะใช้เวลากี่ปีจึงจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า โดยนำดอกเบี้ยมาบวกกับเงินต้นด้วยให้จำหลักการของเลข 72 ไว้เสมอ แล้วนำเลข 72 มาหารด้วยอัตราดอกเบี้ย ผลลัพธ์ที่ได้คือ จะใช้เวลากี่ปีจึงจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น เมื่ออัตราดอกเบี้ยอยู่ที่ 6 เปอร์เซ็นต์ต่อปี ให้นำ 72 มาหารด้วย 6 จะได้ 12 และใน 12 ปี เงินต้นจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า

สำหรับการคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นระยะมูลค่าในอนาคตจะคำนวณได้จากสูตร:

${\displaystyle FV=PV\cdot (1+r/100)^{t}}$

โดยที่คือมูลค่าปัจจุบันคือจำนวนช่วงเวลา และคืออัตราดอกเบี้ยต่อช่วงเวลา ${\displaystyle PV}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$

มูลค่าในอนาคตจะเป็นสองเท่าของมูลค่าปัจจุบันเมื่อ:

${\displaystyle FV=2\cdot PV}$

ซึ่งเป็นเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

${\displaystyle (1+r/100)^{t}=2\,}$

สมการนี้สามารถหาคำตอบได้ง่ายๆ ดังนี้: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln((1+r/100)^{t})&=\ln 2\\t\cdot \ln(1+r/100)&=\ln 2\\t&={\frac {\ln 2}{\ln(1+r/100)}}.\end{aligned}}}$

การจัดเรียงใหม่แบบง่ายๆ แสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln(1+r/100)}}={\frac {\ln 2}{r/100}}\cdot {\frac {r/100}{\ln(1+r/100)}}.}$

ถ้ามีค่าน้อย ค่าโดยประมาณจะเท่ากับ (นี่คือพจน์แรกในอนุกรมเทย์เลอร์ ) กล่าวคือ ปัจจัยหลังนี้จะเพิ่มขึ้นอย่างช้าๆ เมื่อมีค่าใกล้ศูนย์ ${\displaystyle r/100}$${\displaystyle \ln(1+r/100)}$${\displaystyle r/100}$${\displaystyle r}$

เรียกปัจจัยหลังนี้ว่า ฟังก์ชันนี้แสดงให้เห็นว่ามีความแม่นยำในการประมาณค่าสำหรับอัตราดอกเบี้ยบวกเล็กน้อยเมื่อ(ดูการพิสูจน์ด้านล่าง) และด้วยเหตุนี้เราจึงประมาณเวลาได้ดังนี้: ${\displaystyle (r/100)/\ln(1+r/100)=f(r)}$${\displaystyle f(r)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r=8}$${\displaystyle f(8)\approx 1.039}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle t(r)={\frac {\ln 2}{r/100}}\cdot f(8)\approx {\frac {0.72}{r/100}}={\frac {72}{r}}.}$

การประมาณค่านี้จะมีความแม่นยำมากขึ้นเมื่อการคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นแบบต่อเนื่อง (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง)

เพื่อให้ได้การปรับที่แม่นยำยิ่งขึ้น พบว่ามีการประมาณค่าใกล้เคียงมากขึ้นโดย(ใช้พจน์ที่สองในอนุกรมเทย์เลอร์ ) จากนั้นสามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้อีกโดยใช้การประมาณค่าเทย์เลอร์: ^{[ 4 ]}${\displaystyle \ln(1+r/100)}$${\displaystyle r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}}$${\displaystyle 0.693/\left(r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t(r)={}&{\frac {0.693}{r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}}}={\frac {69.3}{rr^{2}/200}}={\frac {69.3}{r}}{\frac {1}{1-r/200}}\approx {\frac {69.3}{r}}(1+r/200)={\frac {69.3}{r}}+{\frac {69.3}{200}}\\[8pt]t(r)={}&{\frac {69.3}{r}}+0.3465.\end{aligned}}}$

เมื่อแทนค่าin ด้วย 7.79 จะได้ 72 ในตัวเศษ ซึ่งแสดงให้เห็นว่ากฎ 72 มีความแม่นยำที่สุดสำหรับดอกเบี้ยทบต้นเป็นระยะๆ ที่ประมาณ 8% ในทำนองเดียวกัน เมื่อแทนค่าin ด้วย 2.02 จะได้ 70 ในตัวเศษ ซึ่งแสดงให้เห็นว่ากฎ 70 มีความแม่นยำที่สุดสำหรับดอกเบี้ยทบต้นเป็นระยะๆ ที่ประมาณ 2% ${\displaystyle r}$${\displaystyle r/200}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r/200}$

ในฐานะวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนแต่สง่างามเพื่อให้ได้ความพอดีที่แม่นยำยิ่งขึ้น ฟังก์ชันนี้ได้รับการพัฒนาในอนุกรมลอเรนต์ที่จุด^{[ 5 ]}ด้วยสองพจน์แรกจะได้: ${\displaystyle t(r)=\ln(2)/\ln(1+r/100)}$${\displaystyle r=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t(r)\approx {}&{\frac {100\cdot \ln 2}{r}}+{\frac {\ln 2}{2}}\\[8pt]t(r)\approx {}&{\frac {69.3147}{r}}+0.346574,{\text{ หรือปัดเศษ:}}\\[8pt]t(r)\approx {}&{\frac {69}{r}}+0.35.\end{aligned}}}$

ในกรณีของการคิดดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เชิงทฤษฎี การหาที่มาจะง่ายกว่าและให้ผลลัพธ์เป็นกฎที่แม่นยำกว่า:

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp \left({\frac {r}{100}}\cdot t\right)&={\frac {FV}{PV}}=2\\[6pt]{\frac {r}{100}}\cdot t&=\ln 2\\[6pt]t&={\frac {100\cdot \ln 2}{r}}\approx {\frac {69.3147}{r}}\end{aligned}}}$

• การเติบโตแบบทวีคูณ
• มูลค่าของเงินตามเวลา
• ความสนใจ
• ส่วนลด
• กฎ 16
• กฎสามข้อ (ทางสถิติ)

• Gould, John P.; Weil, Roman L. (1974). "กฎ 69". Journal of Business . 47 (3): 397– 398. doi : 10.1086/295653 .
• บรีฟ, ริชาร์ด พี. (1977). "หมายเหตุเกี่ยวกับ 'การค้นพบใหม่' และกฎ 69". วารสารการบัญชี 52 ( 4): 810– 812.

• หลักการ 70 – ขยายกฎ 72 ออกไปจากอัตราการเติบโตคงที่ไปสู่การเติบโตแบบทบต้นอัตราผันแปร รวมถึงอัตราบวกและอัตราลบด้วย