ในวิชาฟิสิกส์สมการไอออนไนเซชันของ Sahaเป็นสมการที่เชื่อมโยงสถานะไอออนไนเซชันของก๊าซที่อยู่ในสมดุลความร้อนกับอุณหภูมิและความดัน^{[ 1 ] [ 2 ]}สมการนี้เป็นผลมาจากการรวมแนวคิดของกลศาสตร์ควอนตัมและกลศาสตร์สถิติ และใช้ในการอธิบายการจำแนกสเปกตรัมของดาวฤกษ์ สมการนี้ได้รับการพัฒนาโดยนักฟิสิกส์Meghnad Sahaในปี 1920 ^{[ 3 ] [ 4 ]}มีการกล่าวถึงในตำราเรียนหลายเล่มเกี่ยวกับฟิสิกส์สถิติและฟิสิกส์พลาสมา^{[ 5 ]}

สำหรับก๊าซ ที่มี อุณหภูมิสูงพอ(ในที่นี้วัดเป็นหน่วยพลังงาน เช่น keV หรือ J) และ/หรือความหนาแน่นสูงพอ การชนกันทางความร้อนของอะตอมจะทำให้เกิดการแตกตัวเป็นไอออนของอะตอมบางส่วน ทำให้เกิดก๊าซไอออน เมื่ออิเล็กตรอนหลายตัวหรือมากกว่านั้นที่ปกติแล้วถูกผูกไว้กับอะตอมในวงโคจรรอบนิวเคลียสของอะตอมถูกปลดปล่อยออกมา พวกมันจะก่อตัวเป็นกลุ่มก๊าซอิเล็กตรอนอิสระที่อยู่ร่วมกับก๊าซไอออนของอะตอมและอะตอมที่เป็นกลางโดยรอบ เมื่อมีการแตกตัวเป็นไอออนมากพอ ก๊าซนั้นสามารถกลายเป็นสถานะของสสารที่เรียกว่าพลาสมาได้

สมการซาฮาอธิบายระดับการแตกตัวเป็นไอออนของก๊าซใดๆ ที่อยู่ในสมดุลทางความร้อน โดยขึ้นอยู่กับอุณหภูมิ ความหนาแน่น และพลังงานการแตกตัวเป็นไอออนของอะตอม

สำหรับก๊าซที่ประกอบด้วยอะตอมชนิดเดียว สมการของ Saha จะเขียนได้ดังนี้: โดยที่: $${\displaystyle {\frac {n_{i+1}n_{\text{e}}}{n_{i}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right]}$$

• ${\displaystyle n_{i}}$คือความหนาแน่นเชิงจำนวนของอะตอมในสถานะไอออนไนเซชันที่i ซึ่งก็คือมี อิเล็กตรอนถูกดึงออกไปi ตัว
• ${\displaystyle g_{i}}$คือภาวะเสื่อมของสถานะสำหรับไอออนi
• ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$คือพลังงานที่จำเป็นในการดึง อิเล็กตรอน i ตัวออก จากอะตอมที่เป็นกลาง ทำให้เกิดไอออนระดับi
• ${\displaystyle n_{\text{e}}}$คือความหนาแน่นของอิเล็กตรอน
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$คือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์
• ${\displaystyle \lambda _{\text{th}}}$คือความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ทางความร้อนของอิเล็กตรอน$${\displaystyle \lambda _{\text{th}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {h}{\sqrt {2\pi m_{\text{e}}k_{\text{B}}T}}}}$$
• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$คือมวลของอิเล็กตรอน
• ${\displaystyle T}$คืออุณหภูมิของแก๊ส
• ${\displaystyle h}$คือค่าคงที่ของพลังค์

นิพจน์นี้คือพลังงานที่จำเป็นในการทำให้สปีชีส์แตกตัวเป็นไอออนจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง^{[ 6 ] [ 7 ]}${\textstyle (\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i+1}$

ในกรณีที่ระดับการแตกตัวเป็นไอออนเพียงระดับเดียวมีความสำคัญ เราจะได้ H ⁺โดยกำหนดความหนาแน่นรวม H/H ⁺เป็นสมการ Saha ซึ่งจะลดรูปเหลือ: โดยที่คือพลังงานของการแตกตัวเป็นไอออน เราสามารถกำหนดระดับการแตกตัวเป็นไอออนและหาค่านี้ได้ ซึ่งจะได้สมการกำลังสองที่สามารถแก้ได้ (ในรูปแบบปิด): สำหรับอุณหภูมิต่ำ ๆ การแตกตัวเป็นไอออนจะลดลงเมื่อความหนาแน่นของจำนวนสูงขึ้น (ปัจจัย 10 ในทั้งสองกราฟ) ${\textstyle n_{1}=n_{\text{e}}}$${\textstyle n=n_{0}+n_{1},}$$${\displaystyle {\frac {n_{\text{e}}^{2}}{n-n_{\text{e}}}}={\frac {2}{\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]}$$${\displaystyle \varepsilon }$${\textstyle x=n_{1}/n}$$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{1-x}}=A={\frac {2}{n\lambda _{\text{th}}^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right]}$$$${\displaystyle x^{2}+Ax-A=0,x=(A{\sqrt {(1+{\tfrac {4}{A}})}}-A)/2}$$${\textstyle A(T),}$${\textstyle x\approx A^{1/2},\propto n^{-1/2},}$

โปรดทราบว่า ยกเว้นพลาสมาที่มีการแตกตัวเป็นไอออนอย่างอ่อน สภาพแวดล้อมของพลาสมาจะส่งผลต่อโครงสร้างอะตอม ส่งผลให้ศักยภาพการแตกตัวเป็นไอออนลดลง และเกิด "จุดตัด" ของฟังก์ชันการแบ่งส่วนดังนั้นและโดยทั่วไปจึงขึ้นอยู่กับและและการแก้สมการ Saha นั้นทำได้เฉพาะแบบวนซ้ำเท่านั้น ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle n_{\text{e}}}$

ตัวอย่างง่ายๆ สมมติว่าเป็นก๊าซไฮโดรเจนอะตอมเดี่ยว กำหนดให้และให้=${\displaystyle g_{0}=g_{1}}$${\displaystyle \varepsilon }$13.6  eV (158,000 K  )พลังงานไอออนไนเซชันของไฮโดรเจนจากสถานะพื้นฐานให้=${\displaystyle n}$2.69 × 10 ²⁵  m ⁻³ซึ่งเป็นค่าคงที่ของ Loschmidt (nสำหรับ N ) หรือความหนาแน่นของอนุภาคในชั้นบรรยากาศของโลกที่ความดันและอุณหภูมิมาตรฐาน At =${\displaystyle T}$ที่อุณหภูมิ 300 Kการแตกตัวเป็นไอออนแทบจะไม่มีเลย: =${\displaystyle x}$5 × 10 ⁻¹¹⁵และแทบจะไม่มีอะตอมที่แตกตัวเป็นไอออนอยู่ในปริมาตรของชั้นบรรยากาศโลกเลย แต่จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อ โดยจะถึง 0.35 สำหรับ =${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$20,000  K [ ^{8 ]}มีการแตกตัวเป็นไอออนจำนวนมาก แม้ว่า ^{จะมีพลังงานน้อยกว่าพลังงานการ แตก ตัวเป็นไอออนมาก (ถึงแม้ว่าจะขึ้นอยู่กับความหนาแน่นบ้างก็ตาม)} นี่เป็นปรากฏการณ์ทั่วไป ในทางกายภาพ เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าที่อุณหภูมิที่กำหนด อนุภาคจะมีพลังงานกระจายตัว รวมถึงบางอนุภาคที่มีพลังงานสูงกว่าหลายเท่าอนุภาคพลังงานสูงเหล่านี้มีประสิทธิภาพในการแตกตัวเป็นไอออนของอะตอมมากกว่ามาก ${\textstyle k_{B}T}$${\textstyle k_{B}T.}$

ในชั้นบรรยากาศของโลกกระบวนการแตกตัวเป็นไอออนนั้นไม่ได้ถูกควบคุมโดยสมการของซาฮา แต่ถูกควบคุมโดยรังสีคอสมิกที่ มีพลังงานสูงมาก ซึ่งส่วนใหญ่เป็นอนุภาคมีออน อนุภาคเหล่านี้ไม่ได้อยู่ในสมดุลทางความร้อนกับชั้นบรรยากาศ ดังนั้นจึงไม่ได้มีอุณหภูมิเท่ากับชั้นบรรยากาศ และตรรกะของซาฮาจึงใช้ไม่ได้

ตามหลักการแล้ว สมการ Saha ใช้ได้เฉพาะกับก๊าซเจือจางเท่านั้น เนื่องจาก สมมติฐาน ก๊าซอุดมคติที่ใช้ในการหาอนุพันธ์ สำหรับก๊าซหนาแน่น สมมติฐานนี้ใช้ไม่ได้อีกต่อไป เพราะปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคที่สำคัญจะเปลี่ยนแปลงศักยภาพทางเคมีของสปีชีส์ และความสามารถในการอัดตัวของก๊าซไอออนและพลาสมา ดังนั้น กรอบงานการแตกตัวเป็นไอออนของ Saha จึงได้รับการขยายเพื่อจัดการกับระบบที่มีความหนาแน่นมากกว่าขีดจำกัดก๊าซอุดมคติ p/ RT [ โมล /ม. ³ ] โดยการรวมการแก้ไขสำหรับปฏิสัมพันธ์ที่ไม่เป็นอุดมคติเหล่านี้เข้ากับศักยภาพทางเทอร์โมไดนามิก^{[ 9 ]}การแก้ไขนี้ทำให้ได้ค่าประมาณที่ดีขึ้นสำหรับระดับการแตกตัวเป็นไอออนในโคโรนาของดวง อาทิตย์

สมการซาฮาเป็นประโยชน์ในการหาอัตราส่วนของความหนาแน่นของอนุภาคสำหรับระดับการแตกตัวเป็นไอออนสองระดับที่แตกต่างกัน รูปแบบที่มีประโยชน์ที่สุดของสมการซาฮาสำหรับจุดประสงค์นี้คือโดยที่Zแทนฟังก์ชันการแบ่งส่วนของอะตอม/ไอออน หรืออิเล็กตรอน สมการซาฮาสามารถมองได้ว่าเป็นคำกล่าวใหม่ของเงื่อนไขสมดุลสำหรับศักยภาพทางเคมี :$${\displaystyle {\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}},}$$$${\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}\,}$$

สมการนี้กล่าวอย่างง่ายๆ ว่า ศักยภาพในการแตกตัวเป็นไอออนของอะตอมที่มีสถานะไอออนไนเซ ชัน iนั้นเท่ากับศักยภาพในการแตกตัวเป็นไอออนของอิเล็กตรอนและอะตอมที่มีสถานะไอออนไนเซชันi + 1เนื่องจากศักยภาพเท่ากัน ระบบจึงอยู่ในสภาวะสมดุลและจะไม่มี การเปลี่ยนแปลง สุทธิของการแตกตัวเป็นไอออนเกิดขึ้น

ในช่วงต้นทศวรรษที่ 1920 ราล์ฟ เอช. ฟาวเลอร์ (ร่วมกับชาร์ลส์ กัลตัน ดาร์วิน ) ได้พัฒนาวิธีการใหม่ในกลศาสตร์เชิงสถิติซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณคุณสมบัติสมดุลของสสารได้อย่างเป็นระบบ เขาใช้สิ่งนี้ในการหาที่มาอย่างเข้มงวดของสูตรการแตกตัวเป็นไอออน ซึ่งซาฮาได้มา โดยการขยายทฤษฎีบทของจาโคบัส เฮนริคัส ฟานต์ ฮอฟฟ์ที่ใช้ในเคมีกายภาพสำหรับการประยุกต์ใช้กับการแตกตัวของโมเลกุล ไปสู่การแตกตัวเป็นไอออนของอะตอม นอกจากนี้ การปรับปรุงที่สำคัญในสมการของซาฮาที่ฟาวเลอร์นำเสนอคือการรวมผลกระทบของสถานะกระตุ้นของอะตอมและไอออนด้วย ความก้าวหน้าที่สำคัญอีกประการหนึ่งเกิดขึ้นในปี 1923 เมื่อเอ็ดเวิร์ด อาร์เธอร์ มิลน์และอาร์เอช ฟาวเลอร์ ตีพิมพ์บทความในวารสารMonthly Notices of the Royal Astronomical Societyซึ่งแสดงให้เห็นว่าเกณฑ์ความเข้มสูงสุดของเส้นดูดกลืน (ซึ่งอยู่ในอนุกรมย่อยของอะตอมที่เป็นกลาง) มีประโยชน์มากกว่าในการให้ข้อมูลเกี่ยวกับพารามิเตอร์ทางกายภาพของชั้นบรรยากาศดาวฤกษ์ มากกว่าเกณฑ์ที่ซาฮาใช้ ซึ่งประกอบด้วยการปรากฏหรือหายไปของเส้นดูดกลืนเพียงเล็กน้อย เกณฑ์หลังนี้ต้องการความรู้เกี่ยวกับความดันที่เกี่ยวข้องในชั้นบรรยากาศดาวฤกษ์ และซาฮาตามทัศนะที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในขณะนั้น ได้สมมติค่าความดันไว้ที่ประมาณ 1 ถึง 0.1 บรรยากาศ มิลน์เขียนว่า:

ซาฮาได้มุ่งเน้นไปที่การปรากฏและการหายไปอย่างกระทันหันของเส้นดูดกลืนในลำดับของดาวฤกษ์ โดยสมมติค่าความดันในชั้นบรรยากาศของดาวฤกษ์ไว้ในระดับหนึ่ง และคำนวณอุณหภูมิที่การแตกตัวเป็นไอออนที่เพิ่มขึ้น เช่น จะยับยั้งการดูดกลืนของเส้นดังกล่าวต่อไปเนื่องจากการสูญเสียอิเล็กตรอนในลำดับนั้น วันหนึ่งขณะที่ฟาวเลอร์และผมกำลังเดินไปรอบๆ ห้องของผมในทรินิตี้และพูดคุยเรื่องนี้กันอยู่ จู่ๆ ผมก็คิดขึ้นมาได้ว่า ความเข้มสูงสุดของเส้นบัลเมอร์ของไฮโดรเจนเช่น สามารถอธิบายได้ง่ายๆ โดยพิจารณาว่าที่อุณหภูมิต่ำจะมีอะตอมที่ถูกกระตุ้นน้อยเกินไปที่จะทำให้เกิดการดูดกลืนที่เห็นได้ชัด ในขณะที่ที่อุณหภูมิสูงจะมีอะตอมที่เป็นกลางเหลือน้อยเกินไปที่จะทำให้เกิดการดูดกลืนใดๆ ... เย็นวันนั้น ผมได้ทำการคำนวณค่าขนาดของผลกระทบอย่างเร่งรีบ และพบว่าเพื่อให้สอดคล้องกับอุณหภูมิ 10,000° [K] สำหรับดาวฤกษ์ประเภท A0 ซึ่งเส้นบัลเมอร์มีค่าสูงสุดจำเป็นต้องมี ความดันในระดับ ^10⁻⁴ บรรยากาศ นี่เป็นเรื่องที่น่าตื่นเต้นมาก เพราะการกำหนดความดันมาตรฐานในชั้นบรรยากาศของดาวฤกษ์จากการเปลี่ยนแปลงของเส้นและความกว้างของเส้นนั้นควรจะบ่งชี้ถึงความดันในระดับหนึ่งบรรยากาศหรือมากกว่านั้น และฉันเริ่มไม่เชื่อเรื่องนี้ด้วยเหตุผลอื่น^{[ 10 ]}

ในขณะนั้น เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าองค์ประกอบของดาวฤกษ์นั้นคล้ายคลึงกับโลก อย่างไรก็ตาม ในปี พ.ศ. 2468 เซซิเลีย เพย์น ได้ใช้ทฤษฎีการแตกตัวเป็นไอออนของซาฮาในการคำนวณว่าองค์ประกอบของชั้นบรรยากาศของดาวฤกษ์นั้นเป็นอย่างที่เราทราบกันในปัจจุบัน คือส่วนใหญ่เป็นไฮโดรเจนและฮีเลียม ซึ่งเป็นการขยายความรู้เกี่ยวกับดาวฤกษ์^{[ 11 ]}

สมดุลของ Saha จะเกิดขึ้นเมื่อพลาสมาอยู่ในสมดุลทางอุณหพลศาสตร์เฉพาะที่ซึ่งไม่ใช่กรณีในโคโรนา ที่โปร่งแสง ในกรณีนี้ สถานะการแตกตัวเป็นไอออนที่สมดุลจะต้องได้รับการประเมินโดยการคำนวณทางสถิติอย่างละเอียดของอัตราการชนและการรวมตัวใหม่

สมดุลการแตกตัวเป็นไอออน ซึ่งอธิบายโดยสมการของซาฮา อธิบายถึงวิวัฒนาการในเอกภพยุคแรก หลังจากบิ๊กแบงอะตอมทั้งหมดแตกตัวเป็นไอออน เหลือเพียงโปรตอนและอิเล็กตรอนเป็นส่วนใหญ่ (เมื่อมองย้อนกลับไปในอดีต) ตามแนวทางของซาฮา เมื่อเอกภพขยายตัวและเย็นลงจนอุณหภูมิถึงประมาณที่อุณหภูมิ 3000 Kอิเล็กตรอน (รวมตัวใหม่) กับโปรตอน (10 fm ) ก่อตัวเป็น อะตอม ไฮโดรเจน (0.1 nm) ณ จุดนี้ ซึ่งผ่านมา 700,000 ปีนับตั้งแต่ที่อุณหภูมิ 100 ล้าน K จักรวาลก็โปร่งใสต่อรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าส่วนใหญ่พื้นผิวที่มีอุณหภูมิ 3000 Kซึ่งมีการเลื่อนไปทางสีแดงตามเวลาประมาณ 1,000 เท่า ก่อให้เกิดรังสีไมโครเวฟพื้นหลังของจักรวาลที่มีอุณหภูมิ 2.7 K ซึ่งแผ่กระจายไปทั่วจักรวาลในปัจจุบัน

• ที่มาและการอภิปรายโดย เฮล แบรดท์www.cambridge.org
• คำอธิบายโดยละเอียดจากภาควิชาฟิสิกส์มหาวิทยาลัยยูทาห์
• เอกสารประกอบการบรรยายจากภาควิชาดาราศาสตร์มหาวิทยาลัยแมริแลนด์