รูปทรง Sears –Haackเป็นรูปทรงที่มีแรงต้านคลื่น ตามทฤษฎีต่ำที่สุด ในการไหลแบบเหนือเสียง สำหรับวัตถุแข็งทรงกระบอกเรียวที่มีความยาวและปริมาตรที่กำหนด การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นั้นถือว่าการไหลแบบเหนือเสียงที่มีการรบกวนน้อย (เชิงเส้น) ซึ่งควบคุมโดยสมการ Prandtl–Glauertการพิสูจน์และรูปทรงนี้ได้รับการตีพิมพ์โดยอิสระจากนักวิจัยสองคน ได้แก่Wolfgang Haackในปี 1941 และต่อมาโดยWilliam Searsในปี 1947 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ทฤษฎีคาร์มัน-มัวร์ระบุว่า แรงต้านของคลื่นแปรผันตามกำลังสองของอนุพันธ์อันดับสองของการกระจายพื้นที่${\displaystyle D_{\text{wave}}\sim \left[S''\left(x\right)\right]^{2}}$(ดูนิพจน์เต็มด้านล่าง) ดังนั้นสำหรับแรงต้านคลื่นต่ำ จึงจำเป็นต้องมี${\displaystyle S(x)}$มีลักษณะเรียบเนียนดังนั้น รูปทรงของ Sears–Haack จึงมีลักษณะแหลมที่ปลายทั้งสองข้าง และค่อยๆ ขยายตัวอย่างราบรื่นไปจนถึงจุดสูงสุด จากนั้นจึงค่อยๆ ลดลงอย่างราบรื่นไปสู่จุดที่สอง

เนื่องจากสูตรเหล่านี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าอนุภาคมีรูปร่างเรียวจึงถือว่าL >> 2 R (กล่าวคืออัตราส่วนความละเอียด สูง f = ⁠ L / 2 R ⁠ ) แต่ไม่ได้ระบุขีดจำกัดบนที่เฉพาะเจาะจงสำหรับR (หรือขีดจำกัดล่างสำหรับความละเอียด) $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{max}}&={\frac {4}{\pi }}{\sqrt {\frac {V}{3L}}}\\V&={\frac {3\pi ^{2}}{16}}R_{\text{max}}^{2}L\\L&={\frac {16V}{3\pi ^{2}R_{\text{max}}^{2}}}\\f&:={\frac {L}{2R_{\text{max}}}}={\frac {\pi }{8}}{\sqrt {\frac {3L^{3}}{V}}}&&={\frac {8V}{3\pi ^{2}R_{\text{max}}^{3}}}\\S_{\text{max}}&={\frac {16V}{3\pi L}}&&=\pi R_{\text{max}}^{2}\\S(x)&={\frac {128V}{3\pi L}}{\bigl (}x(1-x){\bigr )}^{3/2}&&=8\pi R_{\text{max}}^{2}{\bigl (}x(1-x){\bigr )}^{3/2}\\r(x)&={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {\frac {2V}{3L}}}{\bigl (}x(1-x){\bigr )}^{3/4}&&=2{\sqrt {2}}R_{\text{max}}{\bigl (}x(1-x){\bigr )}^{3/4}\\r'(x)&={\frac {3R_{\text{max}}(1-2x)}{{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{x(1-x)}}}},&&S'(x)=12\pi R_{\text{max}}^{2}(1-2x){\sqrt {x(1-x)}}\\r''(x)&=-{\frac {3R_{\text{max}}{\bigl (}1+4x(1-x){\bigr )}}{4{\sqrt {2}}{\bigl (}x(1-x){\bigr )}^{5/4}}},&&S''(x)=-{\frac {6\pi R_{\text{max}}^{2}(8(1-x)x-1)}{\sqrt {x(1-x)}}}\\\end{aligned}}}$$

ที่ไหน:

• xคืออัตราส่วนของระยะห่างจากจมูกต่อความยาวลำตัวทั้งหมด (ซึ่งจะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ)
• ${\displaystyle r(x)}$คือรัศมีในพื้นที่
• ${\displaystyle r'(x)}$คือความลาดชันในพื้นที่
• ${\displaystyle S(x)}$คือพื้นที่หน้าตัดเฉพาะที่
• ${\displaystyle R_{\text{max}}}$คือรัศมีที่มีค่าสูงสุด (เกิดขึ้นที่x = 0.5 ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของรูปทรง)
• ${\displaystyle S_{\text{max}}}$คือพื้นที่หน้าตัดสูงสุดเมื่อx = 0.5 และ${\displaystyle r(x)}$=${\displaystyle R_{\text{max}}}$,
• Vคือปริมาตร
• Lคือความยาว
• fคือ อัตราส่วน ความละเอียด

จากทฤษฎีคาร์มาน–มัวร์สรุปได้ว่า: $${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{4\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }\int _{0}^{\ell }S''(x_{1})S''(x_{2})\ln |x_{1}-x_{2}|\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2},}$$

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง:

$${\displaystyle D_{\text{wave}}=-{\frac {1}{2\pi }}\rho U^{2}\int _{0}^{\ell }S''(x)\mathrm {d} x\int _{0}^{x}S''(x_{1})\ln(x-x_{1})\mathrm {d} x_{1}.}$$

สามารถนำสูตรเหล่านี้มาผสมผสานกันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\text{wave}}&={\frac {64V^{2}}{\pi L^{4}}}\rho U^{2}&&={\frac {9\pi ^{3}R_{max}^{4}}{4L^{2}}}\rho U^{2},\\C_{D_{\text{wave}}}&={\frac {24V}{L^{3}}}&&={\frac {9\pi ^{2}R_{max}^{2}}{2L^{2}}},\\a&={\frac {64V\rho }{\pi L^{4}\rho _{\text{b}}}}U^{2}&&={\frac {12\pi R_{max}^{2}\rho }{L^{3}\rho _{\text{b}}}}U^{2},\\\end{aligned}}}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle D_{\text{wave}}}$คือแรงต้านของคลื่น
• ${\displaystyle C_{D_{\text{wave}}}}$คือค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน (ปรับให้เป็นค่ามาตรฐานโดยความดันพลวัตและพื้นที่หน้าตัด)
• ρคือความหนาแน่นของของเหลว
• Uคือความเร็ว
• ρbความหนาแน่นเฉลี่ยของวัตถุ
• aคือขนาดของความเร่งเนื่องจากแรงต้านของคลื่น

เนื่องจากพลังงานจลน์Eของวัตถุขึ้นอยู่กับปริมาตร ความหนาแน่น และความเร็วเท่านั้น จึงสามารถแสดงได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {\rho _{\text{b}}VU^{2}}{2}}\Rightarrow U^{2}={\frac {2E}{\rho _{\text{b}}V}}\\a&={\frac {128\rho E}{\pi L^{4}\rho _{\text{b}}^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

ตามทฤษฎีของคาร์มัน-มัวร์แรงต้านของคลื่นมีค่าดังนี้

$${\displaystyle F=-{\frac {\rho u^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}S''(\xi _{1})S''(\xi _{2})\ln |\xi _{2}-\xi _{1}|d\xi _{1}d\xi _{2}}$$

ที่ไหน${\displaystyle S(x)}$คือพื้นที่หน้าตัดของร่างกายที่ตั้งฉากกับแกนของร่างกาย ในที่นี้${\displaystyle x=0}$แสดงถึงความล้ำหน้าและ${\displaystyle x=l}$คือขอบด้านท้ายแม้ว่าทฤษฎีของคาร์มัน-มัวร์จะไม่แยกแยะปลายทั้งสองนี้ เนื่องจากสัมประสิทธิ์แรงต้านไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางการเคลื่อนที่ในทฤษฎีเชิงเส้น แทนที่จะเป็น${\displaystyle S(x)}$เราสามารถกำหนดฟังก์ชันได้${\displaystyle f(x)=S'(x)}$และขยายความต่อไปเป็นชุดๆ

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta )&=-l\sum _{n=2}^{\infty }A_{n}\sin n\theta \\x(\theta )&={\frac {l}{2}}(1-\cos \theta )=l\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\theta (x)&=3\pi -2\arccos \left({\sqrt {\frac {x}{l}}}\right)=2\pi +2\arcsin \left({\sqrt {\frac {x}{l}}}\right)\\\end{aligned}}}$$

ที่ไหน${\textstyle 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq x\leq l}$ซีรีส์เรื่องนี้เริ่มต้นจาก${\displaystyle n=2}$เนื่องจากสภาพดังกล่าว${\displaystyle S(0)=S(l)=0}$เรามี

$${\displaystyle {\begin{aligned}&S(x)=\int _{0}^{x}f(x)dx,\quad V=\int _{0}^{l}S(x)dx={\frac {\pi }{16}}l^{3}A_{2}\\\end{aligned}}}$$

โปรดทราบว่าปริมาตรของวัตถุขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น${\displaystyle A_{2}}$.

ในการคำนวณแรงต้าน เราต้องเขียนสูตรแรงต้านใหม่ก่อน โดยใช้การอินทิเกรตโดยใช้การแยกส่วนหนึ่งครั้ง

$${\displaystyle F=\mathrm {p.v.} {\frac {\rho U^{2}}{2\pi }}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l}f(\xi _{1})f'(\xi _{2}){\frac {d\xi _{1}d\xi _{2}}{\xi _{1}-\xi _{2}}}}$$

ซึ่ง${\displaystyle \mathrm {p.v.} }$หมายถึงค่าหลักของโคชี (Cauchy principal value ) ตอนนี้เราสามารถแทนที่การกระจายสำหรับ${\displaystyle f}$และทำการอินทิเกรตนิพจน์โดยใช้เอกลักษณ์สองข้อต่อไปนี้

$${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos n\theta _{2}}{\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1}}}d\theta _{2}={\frac {\pi \sin n\theta _{1}}{\sin \theta _{1}}},\quad \int _{0}^{\pi }\sin n\theta _{1}\sin m\theta _{1}d\theta _{1}={\frac {\pi }{2}}{\begin{cases}1\,\,(m=n),\\0,\,\,(m\neq n).\end{cases}}}$$

ผลลัพธ์สุดท้ายที่แสดงในรูปของสัมประสิทธิ์แรงต้านC จะได้รับโดย^{[ 4 ​​]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\mathrm {d} }&={\frac {2F}{\rho u^{2}l^{2}}},l^{2}={\text{area}}\\&={\frac {\pi }{4}}\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}\\\end{aligned}}}$$

เนื่องจาก${\displaystyle V}$ขึ้นอยู่กับเท่านั้น${\displaystyle A_{2}}$ค่าต่ำสุดของ${\displaystyle F}$ถึงเมื่อ${\displaystyle A_{n}=0}$สำหรับ${\displaystyle n\geq 3}$.

ดังนั้น การกำหนด${\displaystyle A_{n}=0}$สำหรับ${\displaystyle n\geq 3}$เราจึงได้รับ

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {l^{3}A_{2}\sin ^{3}\theta }{3}}\\C_{d}&={\frac {128}{\pi }}\left({\frac {V}{l^{3}}}\right)^{2}={\frac {9\pi }{2}}\left({\frac {S_{\mathrm {max} }}{l^{2}}}\right)^{2}\\r(x)&={\frac {8}{\pi l^{2}}}{\sqrt {\frac {2V}{3}}}[x(l-x)]^{\frac {3}{4}}={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {\frac {2V}{3l}}}\left[{\frac {x}{l}}\left(1-{\frac {x}{l}}\right)\right]^{\frac {3}{4}}\\\end{aligned}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle r(x)}$รัศมีเป็นฟังก์ชันของx ;${\displaystyle {\frac {x}{l}}}$เวอร์ชันนี้แสดงสูตรที่xสัมพันธ์กับlดังเช่นใน ส่วน สูตรที่มีประโยชน์ด้านบน

การหาค่ารูปร่างของ Sears–Haack นั้นถูกต้องเฉพาะในกรณีที่รูปร่างนั้นเรียวบางเท่านั้น ทฤษฎีนี้ได้รับการขยายไปสู่รูปร่างที่เรียวบางแต่ไม่สมมาตรตามแกนโดยRobert T. Jonesในรายงาน NACA ฉบับที่ 1284 ^{[ 5 ]}ในส่วนขยายนี้ พื้นที่${\displaystyle S(x)}$ถูกกำหนดบนกรวยมัคซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ตำแหน่ง${\displaystyle x}$แทนที่จะอยู่บน${\displaystyle x={\text{constant}}}$ระนาบตามที่ Sears และ Haack สมมติไว้ ดังนั้น ทฤษฎีของ Jones จึงสามารถนำไปใช้กับรูปทรงที่ซับซ้อนกว่า เช่นเครื่องบินความเร็วเหนือเสียง ทั้งลำ ได้

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างผิวเผินคือกฎพื้นที่ของวิทคอมบ์ (Whitcomb area rule ) ซึ่งระบุว่า แรงต้านคลื่นเนื่องจากปริมาตรในกระแสลมความเร็วเหนือเสียงนั้นขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของพื้นที่หน้าตัดทั้งหมดเป็นหลัก และเพื่อให้แรงต้านคลื่นต่ำ การกระจายตัวนี้จะต้องราบเรียบ ความเข้าใจผิดที่พบบ่อยคือ รูปทรงของวัตถุแบบ Sears–Haack มีการกระจายพื้นที่ที่เหมาะสมตามกฎพื้นที่ แต่สิ่งนี้ไม่ถูกต้อง สมการ Prandtl–Glauertซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นในการหาที่มาของรูปทรงวัตถุแบบ Sears–Haack นั้นใช้ไม่ได้ในกระแสลมความเร็วเหนือเสียง ซึ่งเป็นบริเวณที่กฎพื้นที่ใช้ได้

• การแปลง Prandtl–Glauert
• หลักอากาศพลศาสตร์
• ตัวถังกันกระแทก
• กรวยจมูกซีรีส์ Haack
• กฎพื้นที่
• มะนาว (เรขาคณิต)

• กระสุนปืนไรเฟิล Haack ที่มีแรงต้านน้อยที่สุดถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 27 กันยายน 2007 บน เว็บไซต์ Wayback Machine ซึ่งเว็บไซต์ดังกล่าว ถูกปิดไปแล้ว – https://web.archive.org/web/20160306044740/http://www.lima-wiederladetechnik.de/englisch/haack_minimum_drag_bullet.htm
• Geschoßformen kleinsten Wellenwiderstandes โดย W. Haack, Bericht 139 der Lilienthal-Gesellschaft (1941)
• เครื่องคำนวณรูปร่าง Sears–Haack