ในพีชคณิตเชิงเส้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟแผนที่กึ่งเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์VและWบนฟิลด์Kคือฟังก์ชันที่เป็นแผนที่เชิงเส้น "จนถึงการบิด" ดังนั้นจึง เป็น กึ่งเชิงเส้น โดยที่ "การบิด" หมายถึง " การแปลงอัตโนมัติ ของฟิลด์K " กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันT  : V → Wที่มีคุณสมบัติดังนี้:

• บวกแบบบวกตามหลักการบวกเวกเตอร์:${\displaystyle T(วี+วี')=T(วี)+T(วี')}$
• มีออโตมอร์ฟิซึมฟิลด์θของKอยู่จริง โดยที่. ถ้ามีออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าวอยู่จริงและTไม่เป็นศูนย์ ออโตมอร์ฟิซึมนั้นจะมีเพียงหนึ่งเดียว และTเรียกว่าθ-เซมิลิเนียร์${\displaystyle T(\lambda v)=\theta (\lambda )T(v)}$

ในกรณีที่โดเมนและโคโดเมนเป็นปริภูมิเดียวกัน (เช่นT  : V → V ) เราอาจเรียกว่าการแปลงกึ่งเชิงเส้น การแปลงกึ่งเชิงเส้นที่ผกผันได้ของปริภูมิเวกเตอร์V ที่กำหนด (สำหรับทุกตัวเลือกของการแปลงอัตโนมัติของฟิลด์) จะก่อให้เกิดกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มกึ่งเชิงเส้นทั่วไปและใช้สัญลักษณ์โดยการเปรียบเทียบและขยายกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปกรณีพิเศษที่ฟิลด์เป็นจำนวนเชิงซ้อนและการแปลงอัตโนมัติเป็นการสังยุคเชิงซ้อนแผนที่กึ่งเชิงเส้นจะเรียกว่าแผนที่แอนติเชิงเส้น ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V),}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

มีการใช้สัญลักษณ์ที่คล้ายกัน (โดยแทนที่อักษรละตินด้วยอักษรกรีก) สำหรับอนาล็อกกึ่งเชิงเส้นของการแปลงเชิงเส้นที่จำกัดมากขึ้น กล่าวคือผลคูณกึ่งโดยตรงของกลุ่มเชิงเส้นกับกลุ่มกาโลอิสของการแปลงอัตโนมัติของฟิลด์ ตัวอย่างเช่น PΣU ใช้สำหรับอนาล็อกกึ่งเชิงเส้นของกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟ PSU อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าเพิ่งมีการสังเกตเมื่อไม่นานมานี้ว่ากลุ่มกึ่งเชิงเส้นทั่วไปเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างดี ดังที่ชี้ให้เห็นใน ( Bray, Holt & Roney-Dougal 2009 ) – กลุ่มคลาสสิกที่สมมาตรกันGและH (กลุ่มย่อยของ SL) อาจมีการขยายกึ่งเชิงเส้นที่ไม่สมมาตรกัน ในระดับของผลคูณกึ่งโดยตรง สิ่งนี้สอดคล้องกับการกระทำที่แตกต่างกันของกลุ่มกาโลอิสบนกลุ่มนามธรรมที่กำหนด ผลคูณกึ่งโดยตรงขึ้นอยู่กับสองกลุ่มและการกระทำ หากการขยายไม่ซ้ำกัน จะมีการขยายกึ่งเชิงเส้นสองแบบอย่างแน่นอน ตัวอย่างเช่น กลุ่มซิมเพล็กติกมีส่วนขยายกึ่งเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกัน ในขณะที่SU( n , q )มีส่วนขยายสองแบบหากnเป็นจำนวนคู่และqเป็นจำนวนคี่ และเช่นเดียวกันสำหรับ PSU

แผนที่f  : V → Wสำหรับปริภูมิเวกเตอร์VและWเหนือฟิลด์KและLตามลำดับ เรียกว่าσ-กึ่งเชิงเส้น หรือเรียกง่ายๆ ว่ากึ่งเชิงเส้นถ้ามีฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของฟิลด์σ  : K → L อยู่ ซึ่งสำหรับทุกx , yในVและλในKจะเป็นจริงว่า

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$
2. ${\displaystyle f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).}$

การฝังตัวσที่กำหนดของฟิลด์KในLช่วยให้เราสามารถระบุKกับฟิลด์ย่อยของLได้ ทำให้แผนที่กึ่งเชิงเส้นσ กลายเป็น แผนที่เชิงเส้น K ภายใต้การระบุนี้ อย่างไรก็ตาม แผนที่ที่เป็น กึ่งเชิงเส้น τสำหรับการฝังตัวที่แตกต่างกันτ ≠ σจะไม่เป็น เชิงเส้น Kเมื่อเทียบกับการระบุσ ดั้งเดิม เว้นแต่ว่าfจะเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันψ  : M → Nระหว่างโมดูลRทาง ขวา MและโมดูลS ทางซ้าย Nจะเป็น ฟังก์ชัน กึ่งเชิงเส้นσถ้ามีฟังก์ชันแอนติโฮโมมอร์ฟิซึม ของวงแหวน σ  : R → Sอยู่ ซึ่งสำหรับทุกx , yในMและλในRจะเป็นจริงว่า

1. ${\displaystyle \psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y),}$
2. ${\displaystyle \psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).}$

คำว่าsemilinearใช้ได้กับการรวมกันของโมดูลซ้ายและขวาใดๆ ก็ตาม โดยมีการปรับนิพจน์ข้างต้นให้เหมาะสม โดยที่σเป็น homomorphism ตามความจำเป็น^{[ 1 ] [ 2 ]}

คู่( ψ , σ )เรียกว่าไดมอร์ฟิซึม^{[ 3 ]}

ให้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนเป็นโมดูลขวาและเป็นโมดูลขวาและเป็นแผนที่กึ่งเชิงเส้น กำหนดทรานสโพสของเป็นแผนที่ที่สอดคล้องกับ^{[ 4 ]} นี่คือแผนที่กึ่งเชิงเส้น ${\displaystyle \sigma :R\to S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \psi :M\to N}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {}^{t}\psi :N^{*}\to M^{*}}$$${\displaystyle \langle y,\psi (x)\rangle =\sigma \left(\left\langle {}^{\text{t}}\psi (y),x\right\rangle \right)\quad {\text{ สำหรับทุก }}y\in N^{*},{\text{ และทุก }}x\in M.}$$${\displaystyle \sigma ^{-1}}$

ให้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนเป็นโมดูลขวาและเป็นโมดูลขวาและเป็นแผนที่กึ่งเชิงเส้น การแมป กำหนดรูปแบบเชิงเส้น^{[ 5 ]}${\displaystyle \sigma :R\to S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \psi :M\to N}$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle M\to R:x\mapsto \sigma ^{-1}(\langle y,\psi (x)\rangle ),\quad y\in N^{*}}$$${\displaystyle R}$

• ให้มีฐานมาตรฐานกำหนดแผนที่โดย ${\displaystyle K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle f\โคลอน V\ถึง V}$

  ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}}$

fเป็นฟังก์ชันกึ่งเชิงเส้น (เมื่อเทียบกับออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์การผันเชิงซ้อน) แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงเส้น

• ให้– เป็นฟิลด์กาโลอิสอันดับ, pคือลักษณะเฉพาะ ให้. จากความฝันของนักศึกษาปีหนึ่งเป็นที่ทราบกันว่านี่คือออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์ สำหรับทุกแผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์VและWบนKเราสามารถสร้างแผนที่กึ่งเชิงเส้น - ได้ ${\displaystyle K=\operatorname {GF} (q)}$${\displaystyle q=p^{i}}$${\displaystyle \ell ^{\theta }=\ell ^{p}}$${\displaystyle f\โคลอน V\ถึง W}$${\displaystyle \theta }$

  ${\displaystyle {\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).}$

อันที่จริง แผนที่เชิงเส้นทุกแบบสามารถแปลงเป็นแผนที่กึ่งเชิงเส้นได้ด้วยวิธีนี้ นี่เป็นส่วนหนึ่งของการสังเกตทั่วไปที่รวบรวมไว้ในผลลัพธ์ต่อไปนี้

• ให้เป็นวงแหวนที่ไม่สลับที่กันเป็นโมดูลซ้ายและเป็นองค์ประกอบที่ผกผันได้ของกำหนดแผนที่ดังนั้นและเป็นออโตมอร์ฟิซึมภายในของดังนั้นโฮโมเทตีไม่จำเป็นต้องเป็นแผนที่เชิงเส้น แต่เป็นกึ่งเชิงเส้น^{[ 6 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x}$${\displaystyle \varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle R}$${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$${\displaystyle \sigma }$

กำหนดให้ปริมาณเวกเตอร์Vเซตของการแปลงกึ่งเชิงเส้นผกผันได้ทั้งหมดV → V (เหนือออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์ทั้งหมด) คือกลุ่ม ΓL( V )

เมื่อกำหนดปริมาณเวกเตอร์VเหนือK แล้ว ΓL( V ) จะแยกออกเป็นผลคูณกึ่งตรง

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Aut} (K),}$

โดยที่ Aut( K ) คือออโตมอร์ฟิซึมของKในทำนองเดียวกัน การแปลงกึ่งเชิงเส้นของกลุ่มเชิงเส้นอื่นๆ สามารถกำหนดได้ว่าเป็นผลคูณกึ่งตรงกับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม หรือโดยเนื้อแท้แล้วคือกลุ่มของการแมปกึ่งเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ที่รักษาคุณสมบัติบางอย่างไว้

เรากำหนด Aut( K ) ให้เป็นกลุ่มย่อยของ ΓL( V ) โดยการกำหนดฐานBสำหรับVและกำหนดแผนที่กึ่งเชิงเส้น:

${\displaystyle \sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

สำหรับใดๆเราจะใช้สัญลักษณ์ Aut( K ) _B แทนกลุ่มย่อยนี้ เรายังเห็นว่าส่วนเติมเต็มของ GL( V ) ใน ΓL( V ) เหล่านี้จะถูกกระทำโดย GL( V ) อย่างสม่ำเสมอ เนื่องจากสอดคล้องกับ การ เปลี่ยน ฐาน${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (K)}$

ทุกแผนที่เชิงเส้นเป็นกึ่งเชิงเส้น ดังนั้น. กำหนดฐานBของVตอนนี้กำหนดแผนที่กึ่งเชิงเส้นf ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์σ ∈ Aut( K )แล้วกำหนดg  : V → Vโดย ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V)}$

${\displaystyle g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\right):=\sum _{b\in B}f\left(\ell _{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\sum _{b\in B}\ell _{b}f(b)}$

เนื่องจากf ( B ) ก็เป็นฐานของV เช่นกัน จึงสรุปได้ว่าgเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนฐานของVและเป็นแบบเชิงเส้นและผกผันได้: g ∈ GL( V )

ตั้งค่า. สำหรับทุก ๆในV , ${\displaystyle h:=fg^{-1}}$${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\ell _{b}b}$

${\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

ดังนั้นh จึง อยู่ในกลุ่มย่อย Aut( K ) สัมพันธ์กับฐานคงที่Bการแยกตัวประกอบนี้เป็นเอกลักษณ์เฉพาะสำหรับฐานคงที่Bยิ่งไปกว่านั้น GL( V ) ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานโดยการกระทำของ Aut( K ) _Bดังนั้นΓL( V ) = GL( V ) ⋊ Aut ( K )

กลุ่มเหล่า นี้ขยายกลุ่มคลาสสิก ทั่วไป ใน GL( V ) ความสำคัญในการพิจารณาแผนที่ดังกล่าวมาจากการพิจารณาเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟการกระทำที่เหนี่ยวนำของบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่เกี่ยวข้อง P( V ) ก่อให้เกิด${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$กลุ่มกึ่งเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ ขยายกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟPGL(V) ${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (V)}$

เรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟของปริภูมิเวกเตอร์Vซึ่งเขียนแทนด้วย PG( V ) คือแลตทิซของปริภูมิย่อยทั้งหมดของVแม้ว่าแผนที่กึ่งเชิงเส้นทั่วไปจะไม่ใช่แผนที่เชิงเส้น แต่ก็สรุปได้ว่าแผนที่กึ่งเชิงเส้นทุกแผนที่เหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่รักษาลำดับนั่นคือ แผนที่กึ่งเชิงเส้นทุกแผนที่เหนี่ยวนำให้เกิดความเป็นโปรเจกทีฟส่วนกลับของข้อสังเกตนี้ (ยกเว้นเส้นโปรเจกทีฟ) คือทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟดังนั้น แผนที่กึ่งเชิงเส้นจึงมีประโยชน์เพราะมันกำหนดกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟของปริภูมิเวกเตอร์ ${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle f\colon \operatorname {PG} (V)\to \operatorname {PG} (W)}$

กลุ่ม PΓL(3,4) สามารถใช้สร้างกลุ่ม Mathieu M ₂₄ซึ่งเป็นหนึ่งในกลุ่มง่ายแบบสปอร์าดิกได้ PΓL(3,4) เป็นกลุ่มย่อยสูงสุดของ M ₂₄และมีหลายวิธีในการขยายกลุ่มนี้ไปยังกลุ่ม Mathieu เต็มรูปแบบ

• แผนที่แอนติลิเนียร์
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนสังยุค