กราฟกึ่งลอการิทึม

Q: สมการ

สมการของเส้นตรงบนกราฟเชิงเส้น-ลอการิทึม ซึ่ง แกน abscissa ถูกปรับขนาดด้วยลอการิทึม (โดยมีฐานลอการิทึมเป็น n ) จะเป็นดังนี้

Q: การหาฟังก์ชันจากกราฟกึ่งลอการิทึม

ในกราฟเส้นตรง-ลอการิทึม ให้เลือกจุดคงที่จุดหนึ่ง x₀ , F₀ ) ที่ F₀ เป็น ตัวย่อของ F ( x₀ บนเส้นตรงในกราฟด้านบน และเลือก จุด อื่น อีกจุดหนึ่ง ( x₁ , ของ กราฟคือ:

Q: แผนภาพเฟสของน้ำ

ใน วิชาฟิสิกส์ และ เคมี กราฟ แสดงความสัมพันธ์ระหว่างลอการิทึมของความดันกับอุณหภูมิ สามารถใช้เพื่อแสดง สถานะ ต่างๆ ของสารได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้สำหรับ น้ำ :

กราฟกึ่งลอการิทึมแบบลอการิทึมเชิงเส้น กำหนดโดยมาตราส่วนลอการิทึมบน แกน y (แนวตั้ง) และ มาตราส่วน เชิงเส้นบน แกน x (แนวนอน) เส้นที่แสดงคือ: y = 10 ^x (สีแดง), y = x (สีเขียว), y = log( x ) (สีน้ำเงิน)

กราฟกึ่งลอการิทึมแบบเชิงเส้น-ลอการิทึม กำหนดโดยมาตราส่วนลอการิทึมบนแกน x และ มาตราส่วน เชิงเส้นบนแกน y เส้นที่วาดคือ: y = 10 ^x (สีแดง), y = x (สีเขียว), y = log( x ) (สีน้ำเงิน)

ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์แผนภูมิ/ กราฟกึ่งลอการิทึมหรือแผนภูมิ / กราฟกึ่งลอการิทึมจะมีแกนหนึ่งอยู่ในมาตราส่วนลอการิทึมอีกแกนหนึ่งอยู่ในมาตราส่วนเชิงเส้นมีประโยชน์สำหรับข้อมูลที่มี ความสัมพันธ์ แบบเลขชี้กำลังซึ่งตัวแปร หนึ่ง ครอบคลุมช่วงค่าที่กว้าง^[¹^]

สมการทั้งหมดในรูปแบบนี้จะให้เส้นตรงเมื่อพล็อตแบบกึ่งลอการิทึม เนื่องจากเมื่อทำการหาลอการิทึมทั้งสองข้างจะได้ $y=\lambda a^{\gamma x}$

\log _{a}y=\gamma x+\log _{a}\lambda .

นี่คือเส้นตรงที่มีความชันและจุดตัดแกนตั้ง มาตราส่วนลอการิทึมมักจะระบุเป็นฐาน 10 บางครั้งอาจระบุเป็นฐาน 2: $\gamma$ $\log _{a}\lambda$

\log(y)=(\gamma \log(a))x+\log(\lambda ).

กราฟแบบ ลอการิทึม-เชิงเส้น (บางครั้งเรียกว่า ลอการิทึม-ลิน) จะมีมาตราส่วนลอการิทึมบน แกน yและ มาตราส่วน เชิงเส้นบนแกนx ส่วนกราฟ แบบเชิงเส้น-ลอการิทึม (บางครั้งเรียกว่า ลิน-ลอการิทึม) จะตรงกันข้าม การตั้งชื่อคือผลลัพธ์-อินพุต ( y – x ) ซึ่งเป็นลำดับตรงข้ามกับ ( x , y )

ในกราฟแบบกึ่งลอการิทึม ระยะห่างของมาตราส่วนบน แกน y (หรือ แกน x ) จะเป็นสัดส่วนกับลอการิทึมของตัวเลข ไม่ใช่ตัวเลขนั้นเอง กล่าวคือ เทียบเท่ากับการแปลง ค่า y (หรือ ค่า x ) เป็นลอการิทึม แล้วพล็อตข้อมูลบนมาตราส่วนเชิงเส้น ส่วนกราฟแบบลอการิทึม ทั้งสองแกน (log–log plot)จะใช้มาตราส่วนลอการิทึมสำหรับทั้งสองแกน ดังนั้นจึงไม่ใช่กราฟแบบกึ่งลอการิทึม

สมการ

สมการของเส้นตรงบนกราฟเชิงเส้น-ลอการิทึม ซึ่ง แกน abscissaถูกปรับขนาดด้วยลอการิทึม (โดยมีฐานลอการิทึมเป็นn ) จะเป็นดังนี้

F(x)=m\log _{n}(x)+b.\,

สมการสำหรับเส้นตรงบนกราฟลอการิทึมเชิงเส้น โดยที่แกนตั้ง มี มาตราส่วนลอการิทึม (โดยมีฐานลอการิทึมเป็นn ) จะเป็นดังนี้:

\log _{n}(F(x))=mx+b

F(x)=n^{mx+b}=(n^{mx})(n^{b}).

การหาฟังก์ชันจากกราฟกึ่งลอการิทึม

กราฟเชิงเส้น-ลอการิทึม

ในกราฟเส้นตรง-ลอการิทึม ให้เลือกจุดคงที่จุดหนึ่งx₀ , F₀ ) ที่ F₀ เป็นตัวย่อของF ( x₀ บนเส้นตรงในกราฟด้านบน และเลือกจุด อื่น อีกจุดหนึ่ง ( x₁ , ของกราฟคือ:

m={\frac {F_{1}-F_{0}}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}

ซึ่งนำไปสู่

F_{1}-F_{0}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})

หรือ

F_{1}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})+F_{0}=m\log _{n}(x_{1})-m\log _{n}(x_{0})+F_{0}

ซึ่งหมายความว่า $F(x)=m\log _{n}(x)+\mathrm {constant}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งFเป็นสัดส่วนกับลอการิทึมของxคูณด้วยความชันของเส้นตรงในกราฟ lin-log บวกด้วยค่าคงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นตรงบนกราฟ lin-log ที่มีจุด ( F₀ , x₀ และ ( F₁ จะมีฟังก์ชันดังนี้:

F(x)=(F_{1}-F_{0}){\left[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}\right]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}+F_{0}

กราฟลอการิทึมเชิงเส้น

แบบลอการิทึม (แกน y ใช้มาตราส่วนลอการิทึม) ให้เลือกจุดคงที่จุด หนึ่ง ( x₀ , F₀ ) โดยที่F₀เป็นตัวย่อของF ( ) บนเส้นตรงในกราฟด้านบน และเลือกจุด อื่น ๆ จุด หนึ่ง( x₁ F₁ กราฟคือ:

m={\frac {\log _{n}(F_{1}/F_{0})}{x_{1}-x_{0}}}

ซึ่งนำไปสู่

\log _{n}(F_{1}/F_{0})=m(x_{1}-x_{0})

โปรดสังเกตว่าn ^{log ( F )} = F ดังนั้น เราสามารถกลับค่าลอการิทึมเพื่อหาค่าต่อไปนี้:

{\frac {F_{1}}{F_{0}}}=n^{m(x_{1}-x_{0})}

หรือ

F_{1}=F_{0}n^{m(x_{1}-x_{0})}

สิ่งนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้กับจุดใดๆ ก็ได้ แทนที่จะใช้แค่กับF เท่านั้น :

F(x)={F_{0}}n^{\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\log _{n}(F_{1}/F_{0})}

ตัวอย่างในโลกแห่งความเป็นจริง

แผนภาพเฟสของน้ำ

ในวิชาฟิสิกส์และเคมี กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างลอการิทึมของความดันกับอุณหภูมิ สามารถใช้เพื่อแสดงสถานะ ต่างๆ ของสารได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้สำหรับน้ำ :

ความคืบหน้าของ "ไข้หวัดหมู" ปี 2009

แม้ว่าเลขสิบจะเป็น ฐานที่ใช้กันทั่วไปแต่บางครั้งฐานอื่นๆ ก็เหมาะสมกว่า ดังเช่นในตัวอย่างนี้:

กราฟ แสดง ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนผู้ป่วยและผู้เสียชีวิตจาก การระบาดของไข้หวัดใหญ่สายพันธุ์ A (H1N1)ในปี 2009 ในรูปแบบกึ่งลอการิทึม

โปรดสังเกตว่า ในขณะที่แกนแนวนอน (เวลา) เป็นเส้นตรง โดยมีวันที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กัน แกนแนวตั้ง (จำนวนผู้ป่วย) เป็นกราฟลอการิทึม โดยส่วนแบ่งที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันจะถูกกำกับด้วยเลขยกกำลังของสองที่เรียงลำดับกันไป กราฟแบบกึ่งลอการิทึมทำให้เห็นได้ง่ายขึ้นว่าเมื่อใดที่การติดเชื้อหยุดแพร่กระจายในอัตราสูงสุด นั่นคือเส้นตรงในกราฟแบบเลขชี้กำลังนี้ และเริ่มโค้งงอเพื่อแสดงอัตราที่ช้าลง ซึ่งอาจบ่งชี้ว่ามาตรการบรรเทาผลกระทบบางอย่างได้ผล เช่น การเว้นระยะห่างทางสังคม

การเจริญเติบโตของจุลินทรีย์

ในชีววิทยาและวิศวกรรมชีวภาพการเปลี่ยนแปลงจำนวนจุลินทรีย์เนื่องจากการสืบพันธุ์แบบไม่อาศัยเพศและการหมดไปของสารอาหาร มักแสดงด้วยกราฟกึ่งลอการิทึม โดยปกติเวลาจะเป็นแกนอิสระ และลอการิทึมของจำนวนหรือมวลของแบคทีเรียหรือจุลินทรีย์อื่นๆ เป็นตัวแปรตาม ซึ่งจะทำให้ได้กราฟที่มีสี่ช่วงที่แตกต่างกัน ดังแสดงด้านล่าง

ดูเพิ่มเติม

โนโมแกรมคือ แผนภาพที่ออกแบบมาเพื่อประมาณค่าฟังก์ชันในรูปแบบกราฟ
การถดถอยแบบไม่เชิงเส้น #การแปลงสำหรับการแปลงรูปแบบไม่เชิงเส้นให้เป็นรูปแบบกึ่งลอการิทึมที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณแบบไม่วนซ้ำ
กราฟลอการิทึมคู่

[