ในทฤษฎีเกมแบบร่วมมือค่า Shapleyเป็นวิธีการ ( แนวคิดการแก้ปัญหา ) สำหรับการกระจายผลกำไรหรือต้นทุนโดยรวมอย่างยุติธรรมในกลุ่มผู้เล่นที่ร่วมมือกัน ตัวอย่างเช่น ในโครงการทีมที่สมาชิกแต่ละคนมีส่วนร่วมแตกต่างกัน ค่า Shapley เป็นวิธีในการกำหนดว่าสมาชิกแต่ละคนสมควรได้รับเครดิตหรือถูกตำหนิมากน้อยเพียงใด ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่Lloyd Shapleyผู้ซึ่งนำเสนอในปี 1951 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ค่า Shapley กำหนดการมีส่วนร่วมของผู้เล่นแต่ละคนโดยพิจารณาว่าผลลัพธ์โดยรวมเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยเพียงใดเมื่อพวกเขาร่วมกลุ่มกับผู้เล่นคนอื่นๆ ที่เป็นไปได้แต่ละกลุ่ม จากนั้นจึงหาค่าเฉลี่ยของการเปลี่ยนแปลงเหล่านั้น โดยพื้นฐานแล้ว ค่านี้จะคำนวณการมีส่วนร่วมส่วนเพิ่มเฉลี่ยของผู้เล่นแต่ละคนในทุกกลุ่มที่เป็นไปได้^{[ 3 ] [ 4 ]}เป็นวิธีเดียวที่ตรงตามคุณสมบัติพื้นฐานสี่ประการ ได้แก่ ประสิทธิภาพ ความสมมาตร การบวก และคุณสมบัติของผู้เล่นหุ่นจำลอง (หรือผู้เล่นว่างเปล่า) ^{[ 5 ]}ซึ่งได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าเป็นตัวกำหนดการกระจายที่เป็นธรรม

วิธีการนี้ถูกนำไปใช้ในหลายสาขา ตั้งแต่การแบ่งผลกำไรในธุรกิจร่วมทุน ไปจนถึงการทำความเข้าใจความสำคัญของคุณลักษณะต่างๆ ใน การเรียน รู้ของเครื่องจักร

สมมติว่าเรามีสถานการณ์ที่ผู้เล่นสามารถได้รับรางวัลบางอย่างโดยการร่วมมือกัน (รวมกลุ่มกัน) เพื่อทำภารกิจให้สำเร็จ สถานการณ์เช่นนี้มักเรียกว่าเกมร่วมมือ (coalitional games ) สำหรับกลุ่มผู้เล่น (coalition) เรากำหนดฟังก์ชันผลตอบแทนหรือฟังก์ชันมูลค่าเป็นผลรวมของผลตอบแทนทั้งหมดที่สมาชิกในกลุ่มจะได้รับจากการร่วมมือกัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle v(S)}$${\displaystyle S}$

ค่า Shapley เป็นวิธีหนึ่งในการแบ่งค่าที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มพันธมิตรระหว่างสมาชิก เป็นการแจกจ่ายที่ "ยุติธรรม" ในแง่ที่ว่าเป็นการแจกจ่ายเพียงวิธีเดียวที่มีคุณสมบัติที่พึงประสงค์บางประการ (ระบุไว้ด้านล่าง) ตามค่า Shapley ^{[ 6 ]}จำนวนเงินที่ผู้เล่นได้รับในเกมแบบกลุ่มพันธมิตรคือ ${\displaystyle i}$${\displaystyle (v,N)}$

${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}{\frac {|S|!\;(n-|S|-1)!}{n!}}(v(S\cup \{i\})-v(S))}$

${\displaystyle \quad \quad \quad ={\frac {1}{n}}\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}{n-1 \choose |S|}^{-1}(v(S\cup \{i\})-v(S))}$

โดยที่คือจำนวนผู้เล่นทั้งหมด และผลรวมนั้นครอบคลุมเซตย่อยทั้งหมดของ ที่ไม่รวมผู้เล่นรวมถึงเซตว่างด้วย นอกจากนี้ โปรดทราบว่าคือสัมประสิทธิ์ทวินามสูตรนี้สามารถตีความได้ดังนี้: ลองจินตนาการว่ากลุ่มพันธมิตรเกิดขึ้นทีละคน โดยแต่ละคนเรียกร้องส่วนแบ่งของตนเป็นค่าตอบแทนที่เป็นธรรม จากนั้นสำหรับแต่ละคน ให้หาค่าเฉลี่ยของส่วนแบ่งนี้จากลำดับการเรียงสับเปลี่ยน ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในกลุ่มพันธมิตร ${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {n \choose k}}$${\displaystyle v(S\cup \{i\})-v(S)}$

สูตรทางเลือกที่เทียบเท่ากันสำหรับค่า Shapley คือ:

${\displaystyle \varphi _{i}(v)={\frac {1}{n!}}\sum _{R}\left[v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})\right]}$

โดยผลรวมจะครอบคลุมลำดับ ทั้งหมด ของผู้เล่น และเป็นเซตของผู้เล่นที่อยู่ก่อนหน้าในลำดับนั้น ${\displaystyle n!}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P_{i}^{R}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle R}$

จากฟังก์ชันลักษณะเฉพาะเราสามารถคำนวณผลประโยชน์ร่วม ( เงินปันผลฮาร์ซานยี ) ที่แต่ละกลุ่มผู้เล่นมอบให้ได้ ผลประโยชน์ร่วมนี้เป็นฟังก์ชันเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันโดยที่ ${\displaystyle v}$${\displaystyle w\colon 2^{N}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle v(S)=\sum _{R\subseteq S}w(R)}$

สำหรับกลุ่มย่อยของผู้เล่นแต่ละกลุ่ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง 'มูลค่ารวม' ของกลุ่มพันธมิตรมาจากการรวม ผลลัพธ์ของ การทำงานร่วมกัน ของกลุ่ม ย่อย ที่เป็นไปได้แต่ละกลุ่ม${\displaystyle S\subseteq N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

เมื่อกำหนดฟังก์ชันลักษณะเฉพาะแล้ว ฟังก์ชันการทำงานร่วมกันจะถูกคำนวณโดยใช้ ${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle w(S)=\sum _{R\subseteq S}(-1)^{|S|-|R|}v(R)}$

โดย ใช้หลักการรวมและการแยก

ค่า Shapley จะแสดงในรูปของฟังก์ชันการทำงานร่วมกันโดย^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\sum _{i\in S\subseteq N}{\frac {w(S)}{|S|}}}$

โดยผลรวมนั้นครอบคลุมทุกเซตย่อยที่รวมถึงผู้เล่นด้วย ${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$

สามารถตีความได้ว่า

${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\sum _{\text{coalitions including i}}{\frac {\text{synergy of the coalition}}{\text{number of members in the coalition}}}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ พลังแห่งการประสานงานของแต่ละกลุ่มพันธมิตรจะถูกแบ่งอย่างเท่าเทียมกันระหว่างสมาชิกทั้งหมด

สามารถตีความได้ด้วยภาพโดยใช้แผนภาพเวนน์ในแผนภาพตัวอย่างแรกด้านบน แต่ละภูมิภาคได้ถูกระบุด้วยโบนัสการทำงานร่วมกันของกลุ่มพันธมิตรที่เกี่ยวข้อง มูลค่ารวมที่กลุ่มพันธมิตรสร้างขึ้นคือผลรวมของโบนัสการทำงานร่วมกันของกลุ่มย่อยที่ประกอบกันเป็นกลุ่มพันธมิตรนั้น ในตัวอย่าง กลุ่มพันธมิตรของผู้เล่นที่ระบุว่า "คุณ" และ "เอ็มม่า" จะสร้างกำไรได้จำนวนดอลลาร์ เมื่อเทียบกับกำไรส่วนบุคคลของพวกเขาซึ่งมีจำนวน ดอลลาร์ และดอลลาร์ ตามลำดับ จากนั้นโบนัสการทำงานร่วมกันจะถูกแบ่งเท่าๆ กันในหมู่สมาชิกแต่ละคนของกลุ่มย่อยที่ให้โบนัสการทำงานร่วมกันนั้น ดังแสดงในแผนภาพที่สอง ${\displaystyle 30+20+40=90}$${\displaystyle 30}$${\displaystyle 20}$

ลองพิจารณาคำอธิบายอย่างง่ายของธุรกิจแห่งหนึ่ง เจ้าของธุรกิจ ( o ) เป็นผู้ให้ทุนที่สำคัญ เพราะหากปราศจากเขา/เธอแล้ว ก็จะไม่มีผลกำไรใดๆ เกิดขึ้นได้ มีคนงานm คน _(w₁ , ..., wₙ ₎โดยแต่ละคนมีส่วนร่วมในกำไรทั้งหมด เป็นจำนวนเงิน p ให้ แทน

${\displaystyle N=\{o,w_{1},\ldots ,w_{m}\}.}$

ฟังก์ชันค่าสำหรับเกมร่วมมือนี้คือ

${\displaystyle v(S)={\begin{cases}(|S|-1)p&{\text{if }}o\in S\;,\\0&{\text{otherwise}}\;.\\\end{cases}}}$

การคำนวณค่า Shapley สำหรับเกมพันธมิตรนี้จะได้ค่าเท่ากับ⁠ม.พ./2สำหรับเจ้าของและพี/2สำหรับคนงาน แต่ละคนจากทั้งหมดm คน

สามารถทำความเข้าใจเรื่องนี้ได้จากมุมมองของการทำงานร่วมกัน หน้าที่ของการทำงานร่วมกันคือ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w(S)={\begin{cases}p,&{\text{if }}S=\{o,w_{i}\}\\0,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

ดังนั้น การรวมกลุ่มเพียงอย่างเดียวที่ก่อให้เกิดผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ร่วมกันได้ คือ การรวมกลุ่มแบบตัวต่อตัวระหว่างเจ้าของและพนักงานแต่ละคน

โดยใช้สูตรข้างต้นสำหรับค่า Shapley ในรูปของเราจะคำนวณได้ดังนี้ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varphi _{w_{i}}={\frac {w(\{o,w_{i}\})}{2}}={\frac {p}{2}}}$

และ

${\displaystyle \varphi _{o}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {w(\{o,w_{i}\})}{2}}={\frac {mp}{2}}}$

ผลลัพธ์นี้สามารถเข้าใจได้จากมุมมองของการหาค่าเฉลี่ยจากคำสั่งซื้อทั้งหมด คนงานแต่ละคนเข้าร่วมกลุ่มหลังจากเจ้าของ (และดังนั้นจึงมีส่วนร่วมp ) ในครึ่งหนึ่งของคำสั่งซื้อทั้งหมด และด้วยเหตุนี้จึงมีส่วนร่วมโดยเฉลี่ยเท่ากับเมื่อเข้าร่วมกลุ่ม เมื่อเจ้าของเข้าร่วม โดยเฉลี่ยแล้วครึ่งหนึ่งของคนงานได้เข้าร่วมแล้ว ดังนั้นส่วนร่วมโดยเฉลี่ยของเจ้าของเมื่อเข้าร่วมกลุ่มจึงเป็น ${\displaystyle {\frac {p}{2}}}$${\displaystyle {\frac {mp}{2}}}$

เกมถุงมือเป็นเกมแบบร่วมมือกัน โดยผู้เล่นจะมีถุงมือข้างซ้ายและข้างขวา และเป้าหมายคือการจับคู่กัน

${\displaystyle N=\{1,2,3\},}$

โดยที่ผู้เล่นคนที่ 1 และ 2 สวมถุงมือข้างขวา และผู้เล่นคนที่ 3 สวมถุงมือข้างซ้าย

ฟังก์ชันค่าสำหรับเกมร่วมมือนี้คือ

${\displaystyle v(S)={\begin{cases}1&{\text{if }}S\in \left\{\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\right\};\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}}$

สูตรสำหรับการคำนวณค่า Shapley คือ

${\displaystyle \varphi _{i}(v)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}\left[v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})\right],}$

โดยที่Rคือลำดับของผู้เล่น และคือเซตของผู้เล่นในN ที่อยู่ก่อนหน้าiในลำดับR${\displaystyle P_{i}^{R}}$

ตารางต่อไปนี้แสดงผลรวมส่วนเพิ่มของผู้เล่นที่ 1

${\displaystyle {\begin{array}{|c|r|}{\text{Order }}R\,\!&MC_{1}\\\hline {1,2,3}&v(\{1\})-v(\varnothing )=0-0=0\\{1,3,2}&v(\{1\})-v(\varnothing )=0-0=0\\{2,1,3}&v(\{1,2\})-v(\{2\})=0-0=0\\{2,3,1}&v(\{1,2,3\})-v(\{2,3\})=1-1=0\\{3,1,2}&v(\{1,3\})-v(\{3\})=1-0=1\\{3,2,1}&v(\{1,3,2\})-v(\{3,2\})=1-1=0\end{array}}}$

สังเกต

${\displaystyle \varphi _{1}(v)=\!\left({\frac {1}{6}}\right)(1)={\frac {1}{6}}.}$

จากการใช้เหตุผลเชิงสมมาตร สามารถแสดงได้ว่า

${\displaystyle \varphi _{2}(v)=\varphi _{1}(v)={\frac {1}{6}}.}$

เนื่องจากสัจพจน์ประสิทธิภาพ ผลรวมของค่า Shapley ทั้งหมดจึงเท่ากับ 1 ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle \varphi _{3}(v)={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}.}$

ค่า Shapley มีคุณสมบัติที่พึงประสงค์หลายประการ รวมถึงการตอบสนองคุณสมบัติทั้งสี่ประการ ได้แก่ ประสิทธิภาพ ความสมมาตร ความเป็นเส้นตรง และผู้เล่นที่เป็นศูนย์ (หรือผู้เล่นจำลอง) ^{[ 5 ]}

ผลรวมของค่า Shapley ของตัวแทนทั้งหมดเท่ากับค่าของกลุ่มพันธมิตรใหญ่ ดังนั้นผลกำไรทั้งหมดจึงถูกกระจายไปในหมู่ตัวแทน:

${\displaystyle \sum _{i\in N}\varphi _{i}(v)=v(N)}$

การพิสูจน์ :${\displaystyle \sum _{i\in N}\varphi _{i}(v)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}\sum _{i\in N}v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})}$${\displaystyle ={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}v(N)={\frac {1}{|N|!}}|N|!\cdot v(N)=v(N)}$

เนื่องจากเป็นผลรวมแบบเทเลสโคปิกและมีลำดับที่แตกต่างกัน ${\displaystyle \sum _{i\in N}v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})}$${\displaystyle |N|!}$${\displaystyle R}$

ถ้าและเป็นนักแสดงสองคนที่เทียบเท่ากันในแง่ที่ว่า ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle v(S\cup \{i\})=v(S\cup \{j\})}$

สำหรับทุกเซตย่อยของ ซึ่งไม่มีทั้งหรือแล้ว${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\varphi _{j}(v)}$

คุณสมบัตินี้เรียกอีกอย่างว่าการปฏิบัติต่อทุกคนที่เท่าเทียมกันอย่างเท่าเทียมกัน

หากเกมพันธมิตรสองเกมที่อธิบายด้วยฟังก์ชันกำไรและถูกรวมเข้าด้วยกัน กำไรที่กระจายควรสอดคล้องกับกำไรที่ได้จากและกำไรที่ได้จาก: ${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varphi _{i}(v+w)=\varphi _{i}(v)+\varphi _{i}(w)}$

สำหรับทุกๆใน  . นอกจากนี้ สำหรับจำนวนจริงใดๆ, ${\displaystyle i}$${\displaystyle N}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \varphi _{i}(av)=a\varphi _{i}(v)}$

สำหรับทุกๆใน  . ${\displaystyle i}$${\displaystyle N}$

ค่า Shapley ของผู้เล่นที่เป็นค่าว่างในเกมคือศูนย์ ผู้เล่นจะเป็นค่าว่างก็ ต่อ เมื่อสำหรับทุกกลุ่มพันธมิตรที่ไม่มีผู้เล่นนั้นอยู่ด้วย ${\displaystyle \varphi _{i}(v)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v(S\cup \{i\})=v(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันเซตย่อยบวก กล่าวคือ ถ้าแล้วสำหรับแต่ละเอเจนต์ :${\displaystyle v}$${\displaystyle v(S\cup T)\leq v(S)+v(T)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \varphi _{i}(v)\leq v(\{i\})}$

ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นฟังก์ชันเซตแบบซูเปอร์แอดดิทีฟกล่าว คือ ถ้าสำหรับแล้ว สำหรับแต่ละเอเจนต์: ${\displaystyle v}$${\displaystyle v(S\cup T)\geq v(S)+v(T)}$${\displaystyle S\cap T=\emptyset }$${\displaystyle i}$${\displaystyle \varphi _{i}(v)\geq v(\{i\})}$

ดังนั้น หากความร่วมมือมีผลเสริมฤทธิ์เชิงบวก ตัวแทนทั้งหมดจะได้รับผลประโยชน์ (อย่างอ่อน) และหากมีผลเสริมฤทธิ์เชิงลบ ตัวแทนทั้งหมดจะเสียผลประโยชน์ (อย่างอ่อน) ^{[ 9 ] : 147–156}

ถ้าและเป็นตัวแทนสองตัว และเป็นฟังก์ชันกำไรที่เหมือนกับยกเว้นว่าบทบาทของและได้ถูกสลับกันแล้วนั่นหมายความว่าการติดป้ายกำกับให้กับตัวแทนไม่มีบทบาทในการกำหนดกำไรของพวกเขา ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\varphi _{j}(w)}$

ค่า Shapley สามารถนิยามได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่ใช้เพียงส่วนร่วมเล็กน้อยของผู้เล่นเป็นตัวแปร เท่านั้น${\displaystyle i}$

ในหนังสือปี 1974 ของพวกเขาLloyd ShapleyและRobert Aumannได้ขยายแนวคิดของค่า Shapley ไปยังเกมอนันต์ (กำหนดโดยสัมพันธ์กับการวัดที่ไม่ใช่อะตอม ) โดยสร้างสูตรแนวทแยง^{[ 10 ]}ต่อมาJean-François MertensและAbraham Neymanได้ ขยายแนวคิดนี้

ดังที่กล่าวมาข้างต้น คุณค่าของเกมที่มีผู้เล่น n คนนั้นเกี่ยวข้องกับผู้เล่นแต่ละคนโดยอ้างอิงจากความคาดหวังในการมีส่วนร่วมของพวกเขาต่อคุณค่าของกลุ่มผู้เล่นทั้งหมดก่อนหน้าพวกเขาในลำดับแบบสุ่มของผู้เล่นทั้งหมด เมื่อมีผู้เล่นจำนวนมากและแต่ละคนมีบทบาทเพียงเล็กน้อย กลุ่มผู้เล่นทั้งหมดก่อนหน้าผู้เล่นคนใดคนหนึ่งจะถูกมองว่าเป็นตัวอย่างที่ดีของผู้เล่นทั้งหมด คุณค่าของผู้เล่นแต่ละคนdsจึงถูกกำหนดให้เป็นการมีส่วนร่วม "ของพวกเขา" ต่อคุณค่าของตัวอย่าง "ที่สมบูรณ์แบบ" ของผู้เล่นทั้งหมด

ในเชิงสัญลักษณ์ ถ้าvคือฟังก์ชันมูลค่าของกลุ่มพันธมิตรที่เชื่อมโยงกลุ่มพันธมิตรc แต่ละกลุ่ม กับมูลค่าของมัน และกลุ่มพันธมิตรc แต่ละกลุ่ม เป็นเซตย่อยที่วัดได้ของเซตที่วัดได้Iของผู้เล่นทั้งหมด ซึ่งเราสมมติโดยไม่เสียความเป็นทั่วไป มูลค่าของผู้เล่นds ที่มีขนาดเล็กมาก ในเกมคือ ${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle (Sv)(ds)}$

${\displaystyle (Sv)(ds)=\int _{0}^{1}(\,v(tI+ds)-v(tI)\,)\,dt.}$

ในที่นี้tIเป็นตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบของชุดผู้เล่นทั้งหมดIซึ่งประกอบด้วยสัดส่วนtของผู้เล่นทั้งหมด และเป็นกลุ่มพันธมิตรที่ได้มาหลังจากdsเข้าร่วมtIนี่คือรูปแบบฮิวริสติกของสูตรแนวทแยง^{[ 10 ]}${\displaystyle tI+ds}$

โดยสมมติว่าฟังก์ชันมูลค่ามีความสม่ำเสมอในระดับหนึ่ง เช่น สมมติว่าv สามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของการวัดที่ไม่ใช่อะตอมบน I , μโดยมีฟังก์ชันความหนาแน่นโดยที่คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของcภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ${\displaystyle v(c)=f(\mu (c))}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mu (c)=\int 1_{c}(u)\varphi (u)\,du,}$${\displaystyle 1_{c}(\bullet )}$

${\displaystyle \mu (tI)=t\mu (I)}$,

ดังที่สามารถแสดงได้โดยการประมาณความหนาแน่นด้วยฟังก์ชันขั้นบันไดและคงสัดส่วนtสำหรับแต่ละระดับของฟังก์ชันความหนาแน่นไว้ และ

${\displaystyle v(tI+ds)=f(t\mu (I))+f'(t\mu (I))\mu (ds).}$

สูตรแนวทแยงจึงมีรูปแบบที่พัฒนาโดย Aumann และ Shapley (1974)

${\displaystyle (Sv)(ds)=\int _{0}^{1}f'_{t\mu (I)}(\mu (ds))\,dt}$

μข้างต้นสามารถเป็นเวกเตอร์ได้ (ตราบใดที่ฟังก์ชันนั้นถูกกำหนดและหาอนุพันธ์ได้ในช่วงของμสูตรข้างต้นก็สมเหตุสมผล)

ในข้อโต้แย้งข้างต้น หากการวัดนั้นมีอะตอมอยู่ด้วย ข้อนี้จะไม่เป็นจริงอีกต่อไป—นี่คือเหตุผลที่สูตรแนวทแยงส่วนใหญ่ใช้ได้กับเกมที่ไม่มีอะตอมเป็นองค์ประกอบ ${\displaystyle \mu (tI)=t\mu (I)}$

มีการใช้สองแนวทางเพื่อขยายสูตรแนวทแยงนี้เมื่อฟังก์ชันfไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อีกต่อไป Mertens กลับไปที่สูตรเดิมและหาอนุพันธ์หลังจากอินทิกรัล ซึ่งได้รับประโยชน์จากผลของการทำให้เรียบ Neyman ใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป กลับไปที่การประยุกต์ใช้ขั้นพื้นฐานของแนวทางของ Mertens จาก Mertens (1980): ^{[ 11 ]}

${\displaystyle (Sv)(ds)=\lim _{\varepsilon \to 0,\varepsilon >0}{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{0}^{1-\varepsilon }(f(t+\varepsilon \mu (ds))-f(t))\,dt}$

ตัวอย่างเช่น วิธีนี้ใช้ได้กับเกมส่วนใหญ่—ในขณะที่สูตรแนวทแยงดั้งเดิมไม่สามารถนำมาใช้ได้โดยตรง เมอร์เทนส์ขยายสิ่งนี้เพิ่มเติมโดยการระบุสมมาตรที่ค่า Shapley ควรคงที่ และหาค่าเฉลี่ยเหนือสมมาตรดังกล่าวเพื่อสร้างเอฟเฟกต์การปรับให้เรียบยิ่งขึ้นโดยการสลับค่าเฉลี่ยกับการดำเนินการอนุพันธ์ดังที่กล่าวมาข้างต้น^{[ 12 ]}การสำรวจค่าที่ไม่ใช่อะตอมิกพบได้ใน Neyman (2002) ^{[ 13 ]}

ค่า Shapley จะกำหนดค่าให้กับตัวแทนแต่ละรายเท่านั้น ได้มีการขยายความ^{[ 14 ]}ให้ใช้กับกลุ่มตัวแทนCดังนี้

${\displaystyle \varphi _{C}(v)=\sum _{T\subseteq N\setminus C}{\frac {(n-|T|-|C|)!\;|T|!}{(n-|C|+1)!}}\sum _{S\subseteq C}(-1)^{|C|-|S|}v(S\cup T)\;.}$

ในแง่ของฟังก์ชันการทำงานร่วมกันข้างต้น อ่านได้ว่า^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varphi _{C}(v)=\sum _{C\subseteq T\subseteq N}{\frac {w(T)}{|T|-|C|+1}}}$

โดยผลรวมจะครอบคลุมทุกเซตย่อยของที่ประกอบด้วย ${\displaystyle T}$${\displaystyle N}$${\displaystyle C}$

สูตรนี้ชี้ให้เห็นถึงการตีความว่า ค่า Shapley ของกลุ่มพันธมิตรนั้นควรถูกมองว่าเป็นค่า Shapley มาตรฐานของผู้เล่นคนเดียว หากกลุ่มพันธมิตรนั้นถูกมองว่าเป็นผู้เล่นคนเดียว ${\displaystyle C}$

ค่า Shapley ถูกแยกส่วนโดย Hausken และ Matthias ^{[ 15 ]}ออกเป็นเมทริกซ์ของค่าต่างๆ ${\displaystyle \varphi _{i}(v)}$

${\displaystyle \varphi _{ij}(v)=\sum _{S\subseteq N}{\frac {(|S|-1)!\;(n-|S|)!}{n!}}(v(S)-v(S\setminus \{i\})-v(S\setminus \{j\})+v(S\setminus \{i,j\}))\sum _{t=|S|}^{n}{\frac {1}{t}}}$

แต่ละค่าแสดงถึงมูลค่าของผู้เล่นต่อผู้เล่นเมทริกซ์นี้เป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle \varphi _{ij}(v)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \varphi _{i}(v)=\sum _{j\in N}\varphi _{ij}(v)}$

กล่าวคือ คุณค่าของผู้เล่นคนหนึ่งต่อเกมโดยรวม คือผลรวมของคุณค่าที่ผู้เล่นคนนั้นมีต่อผู้เล่นคนอื่นๆ ทุกคน ${\displaystyle i}$

ในแง่ของความร่วมมือที่ได้นิยามไว้ข้างต้น จะอ่านได้ดังนี้ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varphi _{ij}(v)=\sum _{\{i,j\}\subseteq S\subseteq N}{\frac {w(S)}{|S|^{2}}}}$

โดยผลรวม จะ ครอบคลุมเซตย่อยทั้งหมดของที่ประกอบด้วยและ${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

สามารถตีความได้ว่าเป็นผลรวมของเซตย่อยทั้งหมดที่ประกอบด้วยผู้เล่นและโดยที่สำหรับแต่ละเซตย่อยคุณ ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle S}$

• พิจารณาถึงการทำงานร่วมกันของกลุ่มย่อยนั้น${\displaystyle w(S)}$
• หารด้วยจำนวนผู้เล่นในกลุ่มย่อยนั้นตีความว่านั่นคือมูลค่าส่วนเกินที่ผู้เล่นได้รับจากกลุ่มพันธมิตรนี้${\displaystyle |S|}$${\displaystyle i}$
• จากนั้นหารค่านี้ด้วยเพื่อให้ได้ส่วนของค่าของผู้เล่นที่ถูกกำหนดให้กับผู้เล่น${\displaystyle |S|}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณค่าของการทำงานร่วมกันของแต่ละกลุ่มพันธมิตรจะถูกแบ่งอย่างเท่าเทียมกันในหมู่ผู้เล่นทุกคู่ ในกลุ่มพันธมิตรนั้น ซึ่งก่อให้เกิดส่วนเกินสำหรับ${\displaystyle |S|^{2}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

การถดถอยค่า Shapley เป็นวิธีการทางสถิติที่ใช้ในการวัดการมีส่วนร่วมของตัวทำนายแต่ละตัวในแบบจำลองการถดถอย ในบริบทนี้ "ผู้เล่น" คือตัวทำนายหรือตัวแปรแต่ละตัวในแบบจำลอง และ "กำไร" คือความแปรปรวนที่อธิบายได้ทั้งหมดหรือพลังการทำนายของแบบจำลอง วิธีนี้รับประกันการกระจายกำไรทั้งหมดอย่างยุติธรรมในหมู่ตัวทำนาย โดยกำหนดค่าให้กับตัวทำนายแต่ละตัวซึ่งแสดงถึงการมีส่วนร่วมต่อประสิทธิภาพของแบบจำลอง Lipovetsky (2006) ได้กล่าวถึงการใช้ค่า Shapley ในการวิเคราะห์การถดถอย โดยให้ภาพรวมที่ครอบคลุมเกี่ยวกับพื้นฐานทางทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ^{[ 16 ]}

ค่า Shapley ได้รับการยอมรับว่ามีความสมดุลระหว่างความเสถียรและพลังในการจำแนก ทำให้เหมาะสมสำหรับการวัดความสำคัญของคุณลักษณะการบริการในการวิจัยตลาดได้อย่างแม่นยำ^{[ 17 ]}มีการศึกษาหลายชิ้นที่ใช้การถดถอยค่า Shapley ในการวิเคราะห์ปัจจัยขับเคลื่อนหลักในการวิจัยการตลาด Pokryshevskaya และ Antipov (2012) ใช้วิธีนี้ในการวิเคราะห์ความตั้งใจในการซื้อซ้ำของลูกค้าออนไลน์ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงประสิทธิภาพในการทำความเข้าใจพฤติกรรมผู้บริโภค^{[ 18 ]}ในทำนองเดียวกัน Antipov และ Pokryshevskaya (2014) ใช้การถดถอยค่า Shapley เพื่ออธิบายความแตกต่างในอัตราการแนะนำโรงแรมในไซปรัสตอนใต้ ซึ่งเน้นย้ำถึงประโยชน์ในอุตสาหกรรมการบริการ^{[ 19 ]}การตรวจสอบเพิ่มเติมเกี่ยวกับประโยชน์ของค่า Shapley ในการวิเคราะห์ปัจจัยขับเคลื่อนหลักนั้นจัดทำโดย Vriens, Vidden และ Bosch (2021) ซึ่งเน้นย้ำถึงข้อดีในการวิเคราะห์การตลาดประยุกต์^{[ 20 ]}

ค่า Shapley นำเสนอวิธีการที่มีหลักการในการอธิบายการคาดการณ์ของแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นซึ่งพบได้ทั่วไปในสาขาการเรียนรู้ของเครื่องโดยการตีความแบบจำลองที่ฝึกฝนบนชุดคุณลักษณะเป็นฟังก์ชันค่าบนกลุ่มผู้เล่น ค่า Shapley นำเสนอวิธีการที่เป็นธรรมชาติในการคำนวณคุณลักษณะที่ส่งผลต่อการคาดการณ์^{[ 21 ]}หรือส่งผลต่อความไม่แน่นอนของการคาดการณ์^{[ 22 ]}ซึ่งรวมวิธีการอื่นๆ หลายวิธีเข้าด้วยกัน รวมถึงคำอธิบายที่ไม่ขึ้นกับแบบจำลองที่ตีความได้ในระดับท้องถิ่น⁽ LIME) ^{[ 23 ]} DeepLIFT [ ^{24 ]}และ การแพร่ กระจายความเกี่ยวข้องแบบเลเยอร์^{[ 25 ] [ 26 ]}

ค่าการกระจายตัวเป็นส่วนขยายของค่า Shapley และตัวดำเนินการค่าที่เกี่ยวข้องซึ่งออกแบบมาเพื่อรักษาผลลัพธ์ความน่าจะเป็นของแบบจำลองการทำนายในการเรียนรู้ของเครื่อง รวมถึงตัวจำแนกเครือข่ายประสาทและแบบจำลองภาษาขนาดใหญ่^{[ 27 ]}

ความเข้าใจทางสถิติของค่า Shapley ยังคงเป็นคำถามวิจัยที่กำลังดำเนินอยู่ เวอร์ชันที่เรียบกว่าที่เรียกว่า^เส้นโค้ง Shapley [ ^{28 ]}บรรลุอัตรา minimaxและแสดงให้เห็นว่าเป็นแบบ Gaussian ในเชิง อะซิมโทติกในการตั้งค่าแบบ ไม่ใช้พารามิเตอร์ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับตัวอย่างจำกัดสามารถหาได้ผ่านบูตสแตรปแบบไวด์

• ปัญหาที่สนามบิน
• ดัชนีอำนาจบันซาฟ
• ดัชนีกำลัง Shapley–Shubik

• ฟรีดแมน, เจมส์ ดับเบิลยู. (1986). ทฤษฎีเกมกับการประยุกต์ใช้ในเศรษฐศาสตร์ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. หน้า  209–215 . ISBN 0-19-503660-3.

• "ค่า Shapley" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• เครื่องคำนวณค่า Shapley
• การคำนวณค่าโดยสารแท็กซี่โดยใช้ค่า Shapley