ในทฤษฎีจำนวน ลำดับไซดอน ( Sidon sequence)คือลำดับของจำนวนธรรมชาติที่ผลรวมระหว่างคู่(สำหรับ) ทั้งหมด แตกต่างกัน ลำดับไซดอนเรียกอีกอย่างว่าเซตไซดอน (Sidon sets ) ซึ่งตั้งชื่อตาม ไซมอน ไซดอนนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีผู้ริเริ่มแนวคิดนี้ในการศึกษาอนุกรมฟูริเยร์ ${\displaystyle A=\{a_{0},a_{1},a_{2},\dots \}}$${\displaystyle a_{i}+a_{j}}$${\displaystyle i\leq j}$

ปัญหาหลักในการศึกษาลำดับ Sidon ซึ่งตั้งโดย Sidon ^{[ 1 ]}คือการหาจำนวนองค์ประกอบสูงสุดที่ลำดับ Sidon สามารถมีได้ โดยไม่เกินขอบเขตที่กำหนดแม้จะมีงานวิจัยจำนวนมาก^{[ 2 ]} แต่ คำถามนี้ก็ยังไม่สามารถหาคำตอบได้^{[ 3 ]}${\displaystyle x}$

Paul ErdősและPál Turánพิสูจน์ว่าสำหรับทุกๆจำนวนองค์ประกอบที่เล็กกว่าในลำดับ Sidon จะมีค่าสูงสุดเพียงเท่านั้นหลายปีก่อนหน้านี้ James Singer ได้สร้างลำดับ Sidon ที่มีพจน์น้อยกว่าxขอบเขตบนได้รับการปรับปรุงเป็นในปี 1969 ^{[ 4 ]}และเป็นในปี 2023 ^{[ 5 ]}${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\sqrt {x}}+O({\sqrt[{4}]{x}})}$${\displaystyle {\sqrt {x}}(1-o(1))}$${\displaystyle {\sqrt {x}}+{\sqrt[{4}]{x}}+1}$${\displaystyle {\sqrt {x}}+0.998{\sqrt[{4}]{x}}}$

ในปี พ.ศ. 2537 Erdős เสนอเงิน 500 ดอลลาร์เพื่อพิสูจน์หรือ หักล้างขอบเขต^{[ 6 ]}${\displaystyle {\sqrt {x}}+o(x^{\varepsilon })}$

เซตย่อย Sidon เรียกว่าหนาแน่นถ้าโดยที่ค่าสูงสุดจะถูกหาจากเซตย่อย Sidon ทั้งหมดของโครงสร้างของเซต Sidon ที่หนาแน่นมีวรรณกรรมมากมาย^{[ 7 ] [ 8 ]}และการสร้างแบบคลาสสิกโดย Erdős–Turán, ^{[ 9 ]} Singer, ^{[ 10 ]} Bose , ^{[ 11 ]} Spence, ^{[ 12 ] [ 13 ]} Hughes ^{[ 14 ]}และ Cilleruelo ^{[ 15 ]}ได้พิสูจน์แล้วว่าเซต Sidon ที่หนาแน่นเป็นไปตามเงื่อนไข ดังที่ Ruzsaได้กล่าวไว้ว่า"การสร้างเซต Sidon ที่หนาแน่นที่รู้จักทั้งหมดเกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะ" ^{[ 16 ]}${\displaystyle A\subset [n]:=\{1,2,\dots ,n\}}$${\displaystyle \left|A\right|=\max \left|S\right|}$${\displaystyle [n]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left|A\right|\geq \left(1-o(1)\right){\sqrt {n}}}$

ผลลัพธ์ล่าสุดของBalasubramanianและ Dutta ^{[ 17 ]}แสดงให้เห็นว่าหากเซต Sidon หนาแน่นมีจำนวนสมาชิกเท่ากับ แล้ว ${\displaystyle A=\{a_{1},\dots ,a_{\left|A\right|}\}\subset [n]}$${\displaystyle |A|=n^{1/2}-L^{\prime }}$

${\displaystyle a_{m}=m\cdot n^{1/2}+{\mathcal {O}}\left(n^{7/8}\right)+{\mathcal {O}}\left(L^{1/2}\cdot n^{3/4}\right)}$

โดยที่. สิ่งนี้ให้ผลลัพธ์เชิงอะซิมโทติกที่มีประโยชน์บางประการโดยตรง รวมถึง ${\displaystyle L=\สูงสุด\{0,L^{\prime }\}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}a^{\ell }={\frac {1}{\ell +1}}\cdot n^{\frac {2\ell +1}{2}}+{\mathcal {O}}\left(n^{\frac {8\ell +3}{8}}\right)+{\mathcal {O}}\left(L^{1/2}\cdot n^{\frac {4\ell +1}{4}}\right)}$

สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ ${\displaystyle \ell }$

ชุด Sidon ที่หนาแน่นมักแสดงสมมาตรที่น่าประหลาดใจ ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันว่าชุด Sidon ที่หนาแน่นมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}กระจายอย่างเท่าเทียมกันในคลาสเศษ^{[ 21 ] [ 22 ]}และแม้กระทั่งในบริเวณใกล้เคียง Bohr ที่เรียบ^{[ 23 ]}

นอกจากนี้ Erdős ยังแสดงให้เห็นว่า สำหรับลำดับ Sidon อนันต์ใดๆโดยที่แทนจำนวนสมาชิกจนถึงนั่น คือ ลำดับ Sidon อนันต์จะบางกว่าลำดับ Sidon จำกัดที่หนาแน่นที่สุด ${\displaystyle A}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \liminf _{x\to \infty }{\frac {A(x){\sqrt {\log x}}}{\sqrt {x}}}\leq 1.}$$

สำหรับทิศทางอื่นChowla และ Mian สังเกตว่าอัลกอริทึม ^แบบโลภให้ลำดับ Sidon ที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับทุกๆ^{[ 24} ] Ajtai , KomlósและSzemerédiได้ปรับปรุงสิ่งนี้ด้วยการสร้าง^{[ 25 ]}ลำดับ Sidon ที่มี ${\displaystyle A(x)>c{\sqrt[{3}]{x}}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle A(x)>{\sqrt[{3}]{x\log x}}.}$$

ขอบล่างที่ดีที่สุดจนถึงปัจจุบันได้รับจากImre Z. Ruzsaซึ่งพิสูจน์^{[ 26 ]}ว่าลำดับ Sidon มีอยู่จริง Erdős ตั้งข้อสันนิษฐานว่ามีเซต Sidon อนันต์อยู่ซึ่ง เป็นไปตาม เงื่อนไข เขาและRényiแสดงให้เห็น^{[ 27 ]}การมีอยู่ของลำดับที่มีความหนาแน่นตามข้อสันนิษฐาน แต่เป็นไปตามคุณสมบัติที่อ่อนกว่าเท่านั้น คือมีค่าคงที่ที่ทำให้สำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน จะมี คำตอบของสมการไม่เกิน(การจะเป็นลำดับ Sidon จะต้องมีเงื่อนไขว่า) $${\displaystyle A(x)>x^{{\sqrt {2}}-1-o(1)}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A(x)>x^{1/2-o(1)}}$${\displaystyle \{a_{0},a_{1},\dots \}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{i}+a_{j}=n}$${\displaystyle k=1}$

เออร์โดสตั้งข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมว่ามีพหุ นามที่มี สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มที่ ไม่คงที่ ซึ่งค่าของพหุนามนั้นที่จำนวนธรรมชาติจะก่อให้เกิดลำดับไซดอน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาถามว่าเซตของกำลังห้าเป็นเซตไซดอนหรือไม่ รูซาเข้าใกล้ข้อสันนิษฐานนี้โดยแสดงให้เห็นว่ามีจำนวนจริงn ที่ทำให้ช่วงของฟังก์ชันเป็นลำดับไซดอน โดยที่ n แทนส่วนจำนวนเต็มเนื่องจากn เป็นจำนวนอตรรกยะ ฟังก์ชันนี้จึงไม่ใช่พหุนาม ข้อความที่ว่าเซตของกำลังห้าเป็นเซตไซดอนเป็นกรณีพิเศษของข้อสันนิษฐานในภายหลังของแลนเดอร์ ปาร์กิน และเซลฟริดจ์ ${\displaystyle c}$${\displaystyle 0<c<1}$${\displaystyle f(x)=x^{5}+\lfloor cx^{4}\rfloor }$${\displaystyle \lfloor \ \rfloor }$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(x)}$

การมีอยู่ของลำดับ Sidon ที่สร้างฐานเชิงเส้นกำกับของลำดับ(หมายความว่าจำนวนธรรมชาติขนาดใหญ่เพียงพอทุกจำนวนสามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนจากลำดับได้) ได้รับการพิสูจน์แล้วในปี 2010 ^{[ 28 ]}ในปี 2014 ^{[ 29 ]} (ผลรวมของสี่พจน์ที่มีหนึ่งพจน์เล็กกว่าสำหรับค่าบวกที่เล็กมาก) ในปี 2015 ^{[ 30 ]}และในปี 2024 ^{[ 31 ] [ 32 ]}ข้อสุดท้ายนี้ถูกตั้งเป็นปัญหาในบทความของ Erdős, SárközyและSósในปี 1994 ^{[ 33 ]}${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m=5}$${\displaystyle m=4}$${\displaystyle m=3+\varepsilon }$${\displaystyle n^{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle m=3}$

เซตไซดอนจำกัดทั้งหมดเป็นผู้ปกครองโกลอมบ์และในทางกลับกัน

เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองสมมติว่ามีข้อขัดแย้งที่ว่าเป็นเซตไซดอนและไม่ใช่โกลอมบ์รูเลอร์ เนื่องจากไม่ใช่โกลอมบ์รูเลอร์ จึงต้องมีสมาชิกสี่ตัวที่ทำให้ ซึ่งสรุปได้ว่าซึ่งขัดแย้งกับข้อเสนอที่ว่าเป็นเซตไซดอน ดังนั้น เซตไซดอนทั้งหมดต้องเป็นโกลอมบ์รูเลอร์ ด้วยเหตุผลที่คล้ายกัน โกลอมบ์รูเลอร์ทั้งหมดก็ต้องเป็นเซตไซดอนเช่นกัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle a_{i}-a_{j}=a_{k}-a_{l}}$${\displaystyle a_{i}+a_{l}=a_{k}+a_{j}}$${\displaystyle S}$

• ลำดับโมเซอร์-เดอ บรูอิน
• ซัมเซ็ต