ในทฤษฎี จำนวน จำนวนเซี ยร์ปินสกี (Sierpiński number)คือจำนวนธรรมชาติคี่kที่มีคุณสมบัติเป็นจำนวนประกอบสำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุกตัว ในปี 1960 วาคลาฟ เซียร์ปินสกี (Wacław Sierpiński)พิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มคี่kที่มีคุณสมบัตินี้อยู่ เป็นอนันต์${\displaystyle k\times 2^{n}+1}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อkเป็นจำนวน Sierpiński สมาชิกทั้งหมดในเซต ต่อไปนี้ จะเป็นจำนวนประกอบ:

${\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

ถ้ารูปแบบเป็น แทนแล้วkจะเป็น เลข รี เซล${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$

ลำดับของเลข Sierpiński ที่รู้จัก ในปัจจุบันเริ่มต้นด้วย:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, ... (ลำดับA076336ในOEIS )

จอ ห์น เซลฟริดจ์ พิสูจน์ ในปี 1962 ว่าจำนวน 78557 เป็นจำนวน Sierpiński โดยแสดงให้เห็นว่าจำนวนทั้งหมดในรูปแบบ78557⋅2 ⁿ + 1มีตัวประกอบในเซตปกคลุม{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 } สำหรับจำนวน Sierpiński ที่รู้จักอีกจำนวนหนึ่งคือ 271129 เซตปกคลุมคือ{3, 5, 7, 13, 17, 241 } จำนวน Sierpiński ที่รู้จักในปัจจุบันส่วนใหญ่มีเซตปกคลุมที่คล้ายกัน^{[ 1 ]}

อย่างไรก็ตาม ในปี 1995 AS Izotov ได้แสดงให้เห็นว่ากำลังสี่บางค่าสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจำนวน Sierpiński โดยไม่ต้องสร้างเซตครอบคลุมสำหรับค่าn ทั้งหมด การพิสูจน์ของเขาขึ้นอยู่กับการแยกตัวประกอบแบบออริเฟยเลียนt ⁴ ⋅2 ^{4 m +2} + 1 = ( t ² ⋅2 ^{2 m +1 +} t ⋅2 ^{m +1} + 1)⋅( t ² ⋅2 ^{2 m +1} − t ⋅2 ^{m +1} + 1) ซึ่งแสดงให้เห็นว่า n ≡ 2 (mod 4)ทั้งหมดก่อให้เกิดจำนวนประกอบ ดังนั้นจึงเหลือเพียงการกำจัดn ≡ 0, 1, 3 (mod 4)โดยใช้เซตครอบคลุม^{[ 2 ]}

ปัญหาSierpińskiถามถึงค่าของจำนวน Sierpiński ที่เล็กที่สุด ในการติดต่อส่วนตัวกับPaul Erdős นั้น Selfridge ได้ตั้งข้อสันนิษฐานว่า 78,557 เป็นจำนวน Sierpiński ที่เล็กที่สุด^{[ 3 ]}ยังไม่มีการค้นพบจำนวน Sierpiński ที่เล็กกว่านี้ และในปัจจุบันเชื่อกันว่า 78,557 เป็นจำนวนที่เล็กที่สุด^{[ 4 ]}

เพื่อแสดงว่า 78,557 เป็นจำนวน Sierpiński ที่เล็กที่สุดจริง ๆ จะต้องแสดงว่าจำนวนคี่ทั้งหมดที่เล็กกว่า 78,557 ไม่ใช่จำนวน Sierpiński นั่นคือ สำหรับk ที่เป็นจำนวนคี่ทุกตัวที่ น้อยกว่า 78,557 จะต้องมีจำนวนเต็มบวกn อยู่จริง ๆ โดยที่k 2 ⁿ + 1เป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 1 ]}โครงการคอมพิวเตอร์อาสาสมัครแบบกระจายPrimeGridกำลังพยายามกำจัดค่าk ที่เหลือทั้งหมด : ^{[ 5 ]}

k = 21181, 22699, 24737, 55459 และ 67607

สถานะปัจจุบันของตัวคูณที่เหลือสามารถดูได้ที่เว็บไซต์ของ PrimeGrid ^{[ 6 ]}

ในปี พ.ศ. 2519 นาธาน เมนเดลโซห์น ได้พิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะ 271,129 เป็นจำนวนเซียร์ปินสกี เป็นจำนวนเซียร์ปินสกีที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสองที่รู้จัก และเป็นจำนวนเฉพาะเซียร์ปินสกีที่เล็กที่สุดที่รู้จัก แต่ยังไม่ทราบว่าจะมีจำนวนอื่นที่เล็กกว่านี้หรือไม่ ปัญหา จำนวน เฉพาะ เซียร์ปินสกี ถามถึงค่าของจำนวนเฉพาะเซียร์ปินสกีที่เล็กที่สุด และมีการ "ค้นหาจำนวนเฉพาะเซียร์ปินสกี" ที่กำลังดำเนินอยู่ ซึ่งพยายามพิสูจน์ว่า 271129 เป็นจำนวนเซียร์ปินสกีตัวแรกที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วย^{[ 7 ]}

สมมติว่า 78,557 เป็นจำนวน Sierpiński ที่เล็กที่สุด และ 271,129 เป็นจำนวน Sierpiński ที่เป็นจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุด ดังนั้นจึงยัง ไม่ทราบจำนวน Sierpiński ตัวที่สอง : อาจมีจำนวน Sierpiński ที่เป็นจำนวนประกอบอยู่ระหว่าง 78,557 และ 271,129 การค้นหาที่กำลังดำเนินอยู่กำลังพยายามพิสูจน์ว่า 271,129 เป็นจำนวน Sierpiński ตัวที่สองโดยการทดสอบจำนวนเต็มทั้งหมดในช่วงนั้น ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็ตาม^{[ 8 ]}

ตัวเลขที่เป็นทั้ง Sierpiński และRieselเรียกว่าตัวเลข Brier (ตั้งชื่อตามÉric Brier ) ตัวอย่างที่เล็กที่สุดห้าตัวอย่างที่ทราบคือ 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787 และ 17855036657007596110949 ( A076335 ) ไม่ทราบว่ามีตัวเลข Brier อื่นๆ ที่เล็กกว่านี้หรือไม่ (กล่าวคือ อาจไม่ใช่ห้าตัวเลขที่เล็กที่สุด) ^{[ 9 ]}

• หมายเลขคัลเลน
• หมายเลขโปรธ
• หมายเลขวูดอลล์

• กาย, ริชาร์ด เค. (2004), ปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกในทฤษฎีจำนวน , นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก , หน้า 120, ISBN 0-387-20860-7

• ปัญหาเซียร์ปินสกี: คำจำกัดความและสถานะ
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทจำนวนประกอบของเซียร์ปินสกี" . MathWorld .
• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Grime, Dr. James (13 November 2017). "78557 and Proth Primes"(video). YouTube. Brady Haran. Retrieved 13 November 2017.