ในทางคณิตศาสตร์ตัวดำเนินการลายเซ็นเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์วงรีที่กำหนดบนปริภูมิย่อยบางส่วนของปริภูมิของรูปแบบเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์รีมันน์ขนาดกะทัดรัด มิติคู่ ซึ่งดัชนีวิเคราะห์จะเหมือนกับ ลายเซ็นทาง โทโพโลยีของแมนิโฟลด์หากมิติของแมนิโฟลด์เป็นพหุคูณของสี่^{[ 1 ]}เป็นตัวอย่างหนึ่งของตัวดำเนินการประเภท Dirac

ให้เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์ แบบกระชับ ที่มีมิติเป็นเลขคู่ให้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle 2l}$

${\displaystyle d:\Omega ^{p}(M)\rightarrow \Omega ^{p+1}(M)}$

เป็นอนุพันธ์ภายนอกบนรูปแบบเชิงอนุพันธ์อันดับที่บนเมตริกแบบรีมันน์บนช่วยให้เราสามารถกำหนดตัวดำเนินการดาวฮอดจ์และด้วยเหตุนี้จึงสามารถกำหนดผลคูณภายในได้ ${\displaystyle i}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \star }$

${\displaystyle \langle \omega ,\eta \rangle =\int _{M}\omega \wedge \star \eta }$

ในแบบฟอร์ม ระบุด้วย

${\displaystyle d^{*}:\Omega ^{p+1}(M)\rightarrow \Omega ^{p}(M)}$

ตัวดำเนินการผกผันของอนุพันธ์ภายนอกตัวดำเนินการนี้สามารถแสดงได้โดยใช้ตัวดำเนินการดาวของ Hodge เพียงอย่างเดียว ดังนี้: ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d^{*}=(-1)^{2l(p+1)+2l+1}\star d\star =-\star d\star }$

ทีนี้ลองพิจารณาการกระทำบนปริภูมิของรูปแบบทั้งหมดวิธีหนึ่งในการพิจารณาสิ่งนี้ในฐานะตัวดำเนินการแบบแบ่งระดับคือดังต่อไปนี้: ให้เป็นการผกผันบนปริภูมิของ รูปแบบ ทั้งหมดที่กำหนดโดย: ${\displaystyle d+d^{*}}$${\displaystyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{2l}\Omega ^{p}(M)}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau (\omega )=i^{p(p-1)+l}\star \omega \quad ,\quad \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

ได้รับการยืนยันแล้วว่ามีการสลับกันแบบผกผันกับและด้วยเหตุนี้จึงสลับพื้นที่ไอ เกน ของ${\displaystyle d+d^{*}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (\pm 1)}$${\displaystyle \Omega _{\pm }(M)}$${\displaystyle \tau }$

เพราะเหตุนี้,

${\displaystyle d+d^{*}={\begin{pmatrix}0&D\\D^{*}&0\end{pmatrix}}}$

คำจำกัดความ:ตัวดำเนินการ^ที่มีการจัดระดับข้างต้นหรือตัวดำเนินการข้างต้นเรียกว่าตัวดำเนินการลายเซ็นของ[ ^{1 ]}${\displaystyle d+d^{*}}$${\displaystyle D:\Omega _{+}(M)\rightarrow \Omega _{-}(M)}$${\displaystyle M}$

ในกรณีที่มีมิติเป็นเลขคี่ จะกำหนดให้ตัวดำเนินการลายเซ็นกระทำกับรูปแบบที่มีมิติเป็นเลขคู่ของ ${\displaystyle i(d+d^{*})\tau }$${\displaystyle M}$

ถ้าซึ่งมิติของเป็นพหุคูณของสี่ทฤษฎีของ Hodgeบ่งชี้ว่า: ${\displaystyle l=2k}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {index} (D)=\mathrm {sign} (M)}$

โดยที่ด้านขวามือคือลายเซ็นเชิงโทโพโลยี ( กล่าวคือลายเซ็นของรูปแบบกำลังสองบนที่กำหนดโดยผลคูณแบบถ้วย ) ${\displaystyle H^{2k}(M)\ }$

จากนั้นจึงสามารถใช้วิธีการสมการความร้อนเพื่อพิสูจน์ ทฤษฎีบทดัชนี Atiyah -Singer ได้ว่า:

${\displaystyle \mathrm {sign} (M)=\int _{M}L(p_{1},\ldots ,p_{l})}$

พหุนาม L ของ^Hirzebruchอยู่ที่ไหน[ ^{2 ]}และรูป^แบบ Pontrjaginบน[ ^{3 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle p_{i}\ }$${\displaystyle M}$

Kaminker และ Miller พิสูจน์แล้วว่าดัชนีที่สูงกว่าของตัวดำเนินการลายเซ็นนั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงโฮโมโทปี^{[ 4 ]}

• ทฤษฎีลายเซ็นของ Hirzebruch
• ชั้นเรียนปอนทรียาจิน
• ฟรีดริช ฮีร์เซบรุค
• ไมเคิล อาติยาห์
• อิซาดอร์ ซิงเกอร์