แบบจำลองสมการพร้อมกัน เป็น แบบจำลองทางสถิติประเภทหนึ่งที่ตัวแปรตามเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตามอื่น ๆ แทนที่จะเป็นเพียงตัวแปรอิสระ^{[ 1 ]}ซึ่งหมายความว่าตัวแปรอธิบายบางตัวถูกกำหนดร่วมกับตัวแปรตาม ซึ่งในทางเศรษฐศาสตร์มักจะเป็นผลมาจากกลไกสมดุล พื้นฐานบางอย่าง ลองพิจารณา แบบจำลอง อุปสงค์และอุปทาน ทั่วไป : โดยทั่วไปแล้วปริมาณอุปทานและอุปสงค์จะเป็นฟังก์ชันของราคาที่กำหนดโดยตลาด แต่ก็เป็นไปได้เช่นกันที่ในทางกลับกันจะเป็นจริง โดยที่ผู้ผลิตสังเกตปริมาณที่ผู้บริโภคต้องการแล้วจึงกำหนดราคา^{[ 2 ]}

ความพร้อมกันก่อให้เกิดความท้าทายในการประมาณค่าพารามิเตอร์ทางสถิติที่สนใจ เนื่องจากสมมติฐาน Gauss–Markovของ ความ เป็นเอกพันธุ์อย่างเคร่งครัดของตัวแปรอิสระถูกละเมิด และในขณะที่การประมาณค่าสมการพร้อมกันทั้งหมดในคราวเดียวจะเป็นเรื่องปกติ แต่สิ่งนี้มักนำไปสู่ปัญหาการหาค่า เหมาะสมที่สุด แบบไม่เชิงเส้นที่มีต้นทุน การ คำนวณ สูง แม้แต่สำหรับระบบสมการเชิงเส้น ที่ง่ายที่สุดก็ตาม ^{[ 3 ]}สถานการณ์นี้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาเทคนิคต่างๆ ที่ประมาณค่าสมการแต่ละสมการในแบบจำลองตามลำดับ ซึ่งนำโดยคณะกรรมการ Cowlesในช่วงทศวรรษ 1940 และ 1950 ^{[ 4 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดแบบจำกัดข้อมูลและ กำลังสองน้อย ที่สุดแบบสองขั้นตอน^{[ 5 ]}

สมมติว่ามี สมการถดถอย mสมการในรูปแบบต่อไปนี้

${\displaystyle y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,}$

โดยที่iคือหมายเลขสมการ และt = 1, ..., Tคือดัชนีการสังเกต ในสมการเหล่านี้x _itคือ เวกเตอร์ k _i × 1 ของตัวแปรภายนอกy _itคือตัวแปรตามy _−i,tคือ เวกเตอร์ n _i × 1 ของตัวแปรภายในอื่นๆ ทั้งหมดที่ปรากฏใน สมการ ^ที่iทางด้านขวามือ และu _itคือพจน์ความคลาดเคลื่อน สัญลักษณ์ “− i ” แสดงว่าเวกเตอร์y _−i,t อาจมีค่า yใดๆ ก็ได้ยกเว้นy _it (เนื่องจากมีอยู่แล้วทางด้านซ้ายมือ) สัมประสิทธิ์การถดถอยβ _iและγ _iมีมิติk _i × 1 และn _i × 1 ตามลำดับ เมื่อเรียง การสังเกต T ครั้ง ที่สอดคล้องกับสมการที่i ^ในแนวตั้ง เราสามารถเขียนแต่ละสมการในรูปแบบเวกเตอร์ได้ดังนี้

${\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,}$

โดยที่y _iและu _iเป็น เวกเตอร์ขนาด T× 1, X _iเป็น เมทริกซ์ขนาด T×k _iของตัวแปรอิสระภายนอก และY _−iเป็น เมทริกซ์ขนาด T×n _iของตัวแปรอิสระภายในทางด้านขวามือของ สมการ ^ที่iสุดท้าย เราสามารถย้ายตัวแปรอิสระภายในทั้งหมดไปทางด้านซ้ายมือและเขียน สมการทั้ง mสมการร่วมกันในรูปแบบเวกเตอร์ได้ดังนี้

${\displaystyle Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,}$

การแสดงผลนี้เรียกว่ารูปแบบโครงสร้างในสมการนี้Y = [ y ₁ y ₂ ... y _m ]คือ เมทริกซ์ T×mของตัวแปรตาม เมทริกซ์Y _−i แต่ละตัว เป็น เมทริกซ์ย่อยที่มี n _iคอลัมน์ของY นี้ เมท ริกซ์ Γ ขนาด m×mซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตาม มีโครงสร้างที่ซับซ้อน มีค่า 1 อยู่บนแนวทแยง และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดของแต่ละคอลัมน์iจะเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์−γ _iหรือศูนย์ ขึ้นอยู่กับว่าคอลัมน์ใดของYถูกรวมอยู่ในเมทริกซ์Y _−iเมทริกซ์XขนาดT×kประกอบด้วยตัวแปรอิสระภายนอกทั้งหมดจากทุกสมการ แต่ไม่มีการซ้ำกัน (นั่นคือ เมทริกซ์Xควรมีอันดับเต็ม) ดังนั้นX _i แต่ละตัวจึง เป็น เมทริกซ์ย่อยที่มี k _iคอลัมน์ของXเมทริกซ์ Β มีขนาดk×mและแต่ละคอลัมน์ประกอบด้วยส่วนประกอบของเวกเตอร์β _iและศูนย์ ขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรอิสระใดจากXถูกรวมหรือถูกแยกออกจากX _iสุดท้ายU = [ u ₁ u ₂ ... u _m ]คือ เมทริกซ์ T×mของพจน์ความคลาดเคลื่อน

เมื่อคูณสมการโครงสร้างด้วยΓ ⁻¹ แล้ว ระบบสามารถเขียนในรูปแบบลดรูปได้ดังนี้

${\displaystyle Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,}$

นี่เป็นแบบจำลองเชิงเส้นทั่วไป ที่เรียบง่ายอยู่แล้ว และสามารถประมาณค่าได้ เช่น โดยวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาอย่างไรก็ตาม การแยกเมทริกซ์ที่ประมาณค่าได้ออกเป็นปัจจัยแต่ละตัว Β และΓ ⁻¹นั้นค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นรูปแบบที่ลดทอนแล้วจึงเหมาะสมกว่าสำหรับการทำนาย แต่ไม่เหมาะสำหรับการอนุมาน ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\Pi }}}$

ประการแรก อันดับของเมทริกซ์Xของตัวแปรอิสระภายนอกต้องเท่ากับkทั้งในตัวอย่างจำกัดและในลิมิตเมื่อT → ∞ (ข้อกำหนดหลังนี้หมายความว่าในลิมิต นิพจน์ควรลู่เข้าสู่ เมทริกซ์ k×k ที่ไม่เสื่อมสภาพ ) เมทริกซ์ Γ ก็ถือว่าไม่เสื่อมสภาพเช่นกัน ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X}$

ประการที่สอง สมมติว่าพจน์ความคลาดเคลื่อนเป็นอิสระต่อกันและมีการกระจายเหมือนกันทุก ประการ กล่าวคือ ถ้า แถว ^ที่tของเมทริกซ์Uถูกกำหนดโดยu _{( t )}แล้ว ลำดับของเวกเตอร์ { u _{( t )} } ควรจะเป็นอิสระและมีการ กระจาย เหมือนกัน ทุกประการ โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม Σ (ซึ่งไม่ทราบค่า) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้หมายความว่าE[ U ] = 0และE[ U′U ] = TΣ

สุดท้ายนี้ จำเป็นต้องมีข้อสมมติฐานเพื่อการระบุตัวตน

เงื่อนไขการระบุตัวตนกำหนดให้ระบบสมการเชิงเส้นต้องสามารถหาคำตอบสำหรับพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเงื่อนไขลำดับซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการระบุตัวตน คือ สำหรับแต่ละสมการk _i + n _i ≤ kซึ่งสามารถกล่าวได้ว่า “จำนวนตัวแปรภายนอกที่ถูกตัดออกนั้นมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนตัวแปรภายในที่รวมอยู่”

เงื่อนไขอันดับซึ่งเป็นเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าและเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ คืออันดับของΠ _{i 0}เท่ากับn _iโดยที่Π _{i 0}เป็น เมทริกซ์ขนาด ( k − k _i )× n _iซึ่งได้มาจากΠโดยการตัดคอลัมน์ที่สอดคล้องกับตัวแปรภายในที่ถูกยกเว้น และแถวที่สอดคล้องกับตัวแปรภายนอกที่ถูกรวมไว้

ในแบบจำลองสมการพร้อมกัน วิธีที่พบได้บ่อยที่สุดเพื่อให้ได้การระบุตัวตนคือการกำหนดข้อจำกัดพารามิเตอร์ภายในสมการ^{[ 6 ]} อย่างไรก็ตาม การระบุตัวตนยังสามารถทำได้โดยใช้ข้อจำกัดข้ามสมการ

เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อจำกัดของสมการไขว้สามารถใช้สำหรับการระบุตัวตนได้อย่างไร ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้จาก Wooldridge ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{12}z_{2}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}\\y_{2}&=\gamma _{21}y_{1}+\delta _{21}z_{1}+\เดลต้า _{22}z_{2}+u_{2}\end{aligned}}}$

โดยที่ z ไม่มีความสัมพันธ์กับ u และ y เป็น ตัวแปร ภายในหากไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม สมการแรกจะไม่สามารถระบุได้เนื่องจากไม่มีตัวแปรภายนอกที่ถูกยกเว้น สมการที่สองจะสามารถระบุได้ก็ต่อเมื่อδ ₁₃ ≠ 0ซึ่งถือว่าเป็นจริงตลอดการอธิบายต่อไป

ตอนนี้เรากำหนดข้อจำกัดสมการไขว้ของδ ₁₂ = δ ₂₂เนื่องจากสมการที่สองได้รับการระบุแล้ว เราจึงสามารถถือว่าδ ₁₂เป็นที่ทราบแล้วเพื่อวัตถุประสงค์ในการระบุ จากนั้นสมการแรกจะกลายเป็น:

${\displaystyle y_{1}-\delta _{12}z_{2}=\gamma _{12}y_{2}+\delta _{11}z_{1}+\delta _{13}z_{3}+u_{1}}$

จากนั้น เราสามารถใช้( z ₁ , z ₂ , z ₃ )เป็นเครื่องมือในการประมาณค่าสัมประสิทธิ์ในสมการข้างต้น เนื่องจากมีตัวแปรภายในหนึ่งตัว ( y ₂ ) และตัวแปรภายนอกที่ถูกยกเว้นหนึ่งตัว ( z ₂ ) ทางด้านขวามือ ดังนั้น ข้อจำกัดข้ามสมการแทนที่จะเป็นข้อจำกัดภายในสมการ สามารถทำให้เกิดการระบุตัวตนได้

วิธีการประมาณค่าที่ง่ายที่สุดและเป็นที่นิยมที่สุดสำหรับแบบจำลองสมการพร้อมกันคือวิธีที่เรียกว่าวิธีสองขั้นตอนกำลังสองน้อยที่สุด^{[ 7 ]}ซึ่งพัฒนาโดยอิสระโดยTheil (1953) ^{และ Basmann (1957) [} 8 ] [ ^{9 ] [ 10 ] เป็นเทคนิคแบบ}สมการต่อสมการ โดยตัวแปรอิสระภายในทางด้านขวามือของแต่ละสมการจะถูกใช้ตัวแปรอิสระXจากสมการอื่นๆ ทั้งหมดเป็นตัวแปรเครื่องมือ วิธีนี้เรียกว่า "สองขั้นตอน" เพราะทำการประมาณค่าในสองขั้นตอน: ^{[ 7 ]}

ขั้นตอนที่ 1 : ทำการวิเคราะห์การถดถอยของY _−iกับXและหาค่าที่ทำนายได้;${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}}$

ขั้นตอนที่ 2 : ประมาณค่าγ _i , β _iโดยใช้การ ถดถอย กำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาของy _iบนและX _i${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}}$

ถ้า สมการ ^ที่iในแบบจำลองเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},}$

โดยที่Z _iเป็น เมทริกซ์ T× ( n _i + k _i ) ของตัวแปรอิสระทั้งภายในและภายนอกใน สมการ ^ที่iและδ _iเป็นเวกเตอร์สัมประสิทธิ์การถดถอยมิติ ( n _i + k _i ) จากนั้นตัวประมาณค่า 2SLS ของδ _iจะได้รับจาก^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\big (}{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\big (}Z'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},}$

โดยที่P = X ( X ′ X ) ⁻¹ X ′คือเมทริกซ์การฉายภาพลงบนปริภูมิเชิงเส้นที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรอิสระภายนอก X

วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดทางอ้อมเป็นแนวทางในเศรษฐศาสตร์เชิง ปริมาณ ที่ค่าสัมประสิทธิ์ในแบบจำลองสมการพร้อมกันจะถูกประมาณจาก แบบจำลอง รูปแบบลดรูปโดยใช้ กำลังสองน้อยที่สุด แบบธรรมดา^{[ 11 ] [ 12 ]} สำหรับวิธีนี้ระบบสมการเชิงโครงสร้างจะถูกแปลงเป็นรูปแบบลดรูปก่อน เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ได้รับการประมาณแล้ว แบบจำลองจะถูกนำกลับไปอยู่ในรูปแบบเชิงโครงสร้าง

วิธีการหาค่าความน่าจะเป็นสูงสุดแบบ “ข้อมูลจำกัด” ได้รับการเสนอแนะโดยMA Girshickในปี พ.ศ. 2490 ^{[ 13 ]}และได้รับการกำหนดรูปแบบอย่างเป็นทางการโดยTW AndersonและH. Rubinในปี พ.ศ. 2492 ^{[ 14 ]}วิธีนี้ใช้เมื่อสนใจที่จะประมาณสมการโครงสร้างเพียงสมการเดียวในแต่ละครั้ง (จึงเป็นที่มาของชื่อข้อมูลจำกัด) เช่น สำหรับการสังเกต i:

${\displaystyle y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i}}$

สมการโครงสร้างสำหรับตัวแปรภายในที่เหลือ Y _−iไม่ได้ระบุไว้ และแสดงในรูปแบบย่อ:

${\displaystyle Y_{-i}=X\Pi +U_{-i}}$

สัญลักษณ์ในบริบทนี้จะแตกต่างจาก กรณี IV แบบง่าย โดยมีรูปแบบดังนี้:

• ${\displaystyle Y_{-i}}$ตัวแปรภายใน (Endogenous variable(s))
• ${\displaystyle X_{-i}}$ตัวแปรภายนอก
• ${\displaystyle X}$: เครื่องดนตรี (มักระบุด้วยสัญลักษณ์)${\displaystyle Z}$

สูตรที่ชัดเจนสำหรับ LIML คือ: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\hat {\delta }}_{i}={\Big (}Z'_{i}(I-\lambda M)Z_{i}{\Big )}^{\!-1}Z'_{i}(I-\lambda M)y_{i},}$

โดยที่M = I − X ( X ′ X ) ⁻¹ X ′และλคือรากเฉพาะที่เล็กที่สุดของเมทริกซ์:

${\displaystyle {\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}{\Big (}{\begin{bmatrix}y_{i}\\Y_{-i}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big )}^{\!-1}}$

โดยที่ในทำนองเดียวกัน M _i = I − X _i ( X _i ′ X _i ) ⁻¹ X _i ′ .

กล่าวอีกนัยหนึ่งλคือคำตอบที่เล็กที่สุดของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปดูTheil (1971 , หน้า 503):

${\displaystyle {\Big |}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M_{i}{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}'M{\begin{bmatrix}y_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}{\Big |}=0}$

LIML เป็นกรณีพิเศษของตัวประมาณค่าคลาส K: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\hat {\delta }}={\Big (}Z'(I-\kappa M)Z{\Big )}^{\!-1}Z'(I-\kappa M)y,}$

กับ:

• ${\displaystyle \delta ={\begin{bmatrix}\beta _{i}&\gamma _{i}\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}X_{i}&Y_{-i}\end{bmatrix}}}$

ตัวประมาณค่าหลายตัวจัดอยู่ในกลุ่มนี้:

• κ=0: OLS
• κ=1: 2SLS โปรดสังเกตว่าในกรณีนี้เมทริกซ์การฉายภาพปกติของ 2SLS${\displaystyle I-\kappa M=I-M=P}$
• κ=λ: LIML
• κ=λ - α / (nK): ตัวประมาณค่าของFuller (1977) ^{[ 17 ]}โดยที่ K แทนจำนวนเครื่องมือ n แทนขนาดตัวอย่าง และ α แทนค่าคงที่บวกที่ต้องระบุ ค่า α=1 จะให้ตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงโดยประมาณ^{[ 16 ]}

ตัวประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุดแบบสามขั้นตอนได้รับการแนะนำโดยZellner & Theil (1962) [ ^{18 ] [ 19 ] สามารถ} มองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของGMM แบบหลายสมการ โดยที่ชุดของตัวแปรเครื่องมือเป็นตัวแปรทั่วไปสำหรับทุกสมการ^{[ 20 ]}หากตัวแปรอิสระทั้งหมดถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าแล้ว 3SLS จะลดลงเหลือการถดถอยที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกัน (SUR) ดังนั้นจึงอาจมองได้ว่าเป็นการรวมกันของกำลังสองน้อยที่สุดแบบสองขั้นตอน (2SLS) กับ SUR

แบบจำลองสมการพร้อมกันถูกนำไปใช้กับปรากฏการณ์การสังเกตต่างๆ ในหลายสาขาและสาขาวิชา สมการเหล่านี้ถูกนำมาใช้เมื่อถือว่าปรากฏการณ์มีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุซึ่งกันและกัน ตัวอย่างคลาสสิกคืออุปสงค์และอุปทานในเศรษฐศาสตร์ในสาขาวิชาอื่นๆ มีตัวอย่างเช่น การประเมินผู้สมัครและการระบุตัวตนของพรรค^{[ 21 ]}หรือความคิดเห็นสาธารณะและนโยบายสังคมในรัฐศาสตร์ [ ^{22 ] [ 23 ] การ}ลงทุนด้านถนนและความต้องการการเดินทางในภูมิศาสตร์^{[ 24 ]}และความสำเร็จทางการศึกษาและการเข้าสู่การเป็นพ่อแม่ในสังคมวิทยาหรือประชากรศาสตร์^{[ 25 ]}แบบจำลองสมการพร้อมกันต้องใช้ทฤษฎีของความเป็นเหตุเป็นผลซึ่งกันและกัน ซึ่งรวมถึงคุณลักษณะพิเศษ หากผลกระทบเชิงสาเหตุจะถูกประเมินเป็นการป้อนกลับพร้อมกัน แทนที่จะเป็น 'บล็อก' ด้านเดียวของสมการที่นักวิจัยสนใจผลกระทบเชิงสาเหตุของ X ต่อ Y ในขณะที่คงผลกระทบเชิงสาเหตุของ Y ต่อ X ไว้คงที่ หรือเมื่อนักวิจัยรู้ระยะเวลาที่แน่นอนที่ใช้สำหรับผลกระทบเชิงสาเหตุแต่ละอย่างเกิดขึ้น กล่าวคือ ความยาวของความล่าช้าเชิงสาเหตุ แทนที่จะเป็นผลกระทบที่ล่าช้า การป้อนกลับพร้อมกันหมายถึงการประเมินผลกระทบพร้อมกันและต่อเนื่องของ X และ Y ที่มีต่อกัน ซึ่งต้องใช้ทฤษฎีที่ว่าผลกระทบเชิงสาเหตุเกิดขึ้นพร้อมกันในเวลา หรือมีความซับซ้อนมากจนดูเหมือนว่าจะมีพฤติกรรมพร้อมกัน ตัวอย่างทั่วไปคืออารมณ์ของเพื่อนร่วมห้อง^{[ 26 ]}ในการประมาณแบบจำลองการป้อนกลับพร้อมกัน จำเป็นต้องมีทฤษฎีสมดุลด้วย กล่าวคือ X และ Y อยู่ในสถานะคงที่หรือเป็นส่วนหนึ่งของระบบ (สังคม ตลาด ห้องเรียน) ที่อยู่ในสถานะที่ค่อนข้างคงที่^{[ 27 ]}

• แบบจำลองเชิงเส้นทั่วไป
• การถดถอยที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกัน
• รูปแบบย่อ
• ปัญหาการระบุพารามิเตอร์

• Asteriou, Dimitrios; Hall, Stephen G. (2011). เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). Basingstoke: Palgrave Macmillan. หน้า 395. ISBN 978-0-230-27182-1.
• Chow, Gregory C. (1983). เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ . นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า  117–121 . ISBN 0-07-010847-1.
• Fomby, Thomas B.; Hill, R. Carter; Johnson, Stanley R. (1984). "แบบจำลองสมการพร้อมกัน" วิธีการทางเศรษฐมิติขั้นสูงนิวยอร์ก: Springer. หน้า  437–552 . ISBN 0-387-90908-7.
• Maddala, GS ; Lahiri, Kajal (2009). "แบบจำลองสมการพร้อมกัน". บทนำสู่เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ (ฉบับที่สี่). นิวยอร์ก: Wiley. หน้า  355–400 . ISBN 978-0-470-01512-4.
• Ruud, Paul A. ( 2000). "สมการพร้อมกัน" บทนำสู่ทฤษฎีเศรษฐมิติแบบคลาสสิกสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด หน้า  697–746 ISBN 0-19-511164-8.
• Sargan, Denis (1988). Lectures on Advanced Econometric Theory . Oxford: Basil Blackwell. หน้า  68–89 . ISBN 0-631-14956-2.
• วูลดริดจ์, เจฟฟรีย์ เอ็ม. (2013). "แบบจำลองสมการพร้อมกัน" เศรษฐศาสตร์เบื้องต้น (ฉบับที่ห้า). เซาท์-เวสเทิร์น. หน้า  554–582 . ISBN 978-1-111-53104-1.

• วิดีโอบรรยายเรื่องปัญหาการระบุตัวตนใน 2SLS และการประมาณค่าบน YouTubeโดย Mark Thoma