เมทริกซ์เอกฐานคือเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่สามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ ซึ่งแตกต่างจากเมทริกซ์ไม่เอกฐานที่สามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งเมทริกซ์ขนาด -by- จะเป็น เมทริกซ์เอกฐานก็ต่อเมื่อดีเทอ ร์มิแนนต์ , . ^{[ 1 ]}ในพีชคณิตเชิงเส้นแบบคลาสสิก เมทริกซ์เรียกว่าไม่เอกฐาน (หรือหาเมทริกซ์ผกผันได้) เมื่อมีเมทริกซ์ ผกผัน ; ตามคำนิยาม เมทริกซ์ที่ไม่ตรงตามเกณฑ์นี้จะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน ในแง่พีชคณิต เมทริกซ์ ขนาด -by- A จะเป็นเมทริกซ์เอกฐานก็ต่อเมื่อคอลัมน์ (และแถว) ของเมทริกซ์นั้นเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นแผนที่เชิงเส้นจึงไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \det(A)=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\rightarrow Ax}$

ในกรณีนี้ เคอร์เนล ( ปริภูมิว่าง ) ของ A ไม่ใช่ปริภูมิว่าง (มีมิติ ≥1) และระบบเอกพันธุ์ยอมรับคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ ลักษณะเฉพาะเหล่านี้เป็นผลมาจาก ทฤษฎีบท อันดับ-ปริภูมิว่างและทฤษฎีบทผกผันมาตรฐาน: สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส A ก็ต่อเมื่อ และก็ต่อ เมื่อ${\displaystyle Ax=0}$${\displaystyle \det(A)\neq 0}$${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=n}$${\displaystyle \det(A)=0}$${\displaystyle \operatorname {rank} (A)<n}$

เมทริกซ์ผกผันช่วยในอัลกอริทึมโดยการให้สมมติฐานว่าการแปลง การคำนวณ และระบบบางอย่างสามารถย้อนกลับและแก้ไขได้อย่างไม่ซ้ำกัน เช่น การแปลงเป็นสิ่งนี้ช่วยให้ตัวแก้ปัญหาแน่ใจได้ว่าคำตอบนั้นมีเพียงหนึ่งเดียวหรือไม่ ${\displaystyle Ax=B}$${\displaystyle x=A^{-1}B}$

ในการกำจัดแบบเกาส์เซียนความสามารถในการผกผันของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ทำให้มั่นใจได้ว่าอัลกอริทึมจะสร้างคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อเมทริกซ์สามารถผกผันได้ ค่าหลักจะไม่เป็นศูนย์ ทำให้สามารถสลับแถวได้หากจำเป็นและแก้ระบบได้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีของเมทริกซ์เอกฐาน ค่าหลักบางค่าอาจเป็นศูนย์ ซึ่งไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการสลับแถวเพียงอย่างเดียว^{[ 2 ]}สิ่งนี้ก่อให้เกิดปัญหาที่การกำจัดอาจล้มเหลวหรือให้ผลลัพธ์ที่ไม่สอดคล้องกัน ปัญหาอีกประการหนึ่งที่เมทริกซ์เอกฐานก่อให้เกิดเมื่อแก้ปัญหาการกำจัดแบบเกาส์เซียนคือไม่สามารถแก้ปัญหาการแทนที่ย้อนกลับได้ เนื่องจากในการแทนที่ย้อนกลับ ค่าในแนวทแยงของเมทริกซ์ต้องไม่เป็นศูนย์ กล่าวคืออย่างไรก็ตาม ในกรณีของเมทริกซ์เอกฐาน ผลลัพธ์มักจะเป็นคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \det(A)\neq 0}$

ในระบบกลไกและหุ่นยนต์ เมทริกซ์ Jacobian เอกฐาน บ่งชี้ถึง ความผิดปกติ ทางจลนศาสตร์ตัวอย่างเช่น Jacobian ของหุ่นยนต์แขนกล (ซึ่งแปลงความเร็วของข้อต่อเป็นความเร็วของปลายแขนกล) จะมีอันดับลดลงเมื่อหุ่นยนต์อยู่ในสถานะที่มีการเคลื่อนที่จำกัด ในสถานะเอกฐาน หุ่นยนต์จะไม่สามารถเคลื่อนที่หรือออกแรงในทิศทางใดทิศทางหนึ่งได้^{[ 3 ]}

ในทฤษฎีกราฟและฟิสิกส์เครือข่ายเมทริกซ์ลาปลาเซียนของกราฟเป็นเมทริกซ์เอกฐานโดยเนื้อแท้ (มีค่าไอเกนเป็นศูนย์) เนื่องจากผลรวมของแต่ละแถวเป็นศูนย์^{[ 4 ]}ซึ่งสะท้อนให้เห็นว่าเวกเตอร์เอกรูปอยู่ในปริภูมิว่าง

ในการเรียนรู้ของเครื่องและสถิติ เมทริกซ์เอกฐานมักปรากฏขึ้นเนื่องจากความสัมพันธ์เชิงเส้นหลายตัวตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ข้อมูล จะนำไปสู่เมทริกซ์ความแปรปรวน ร่วม หรือเมทริกซ์เอกฐานหากคุณลักษณะมีความสัมพันธ์เชิงเส้น สิ่งนี้เกิดขึ้นใน การถดถอย เชิงเส้นเมื่อตัวทำนายมีความสัมพันธ์เชิงเส้น ทำให้เมทริกซ์สมการปกติเป็นเอกฐาน^{[ 5 ]}วิธีแก้ไขมักจะเป็นการตัดทิ้งหรือรวมคุณลักษณะ หรือใช้ผกผันเทียมเทคนิคการลดมิติเช่นการวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก (PCA) ใช้ประโยชน์จาก SVD: การแยกส่วนค่าเอกฐานให้ค่าประมาณอันดับต่ำของข้อมูล ซึ่งถือว่าความแปรปรวนร่วมของข้อมูลเป็นเอกฐานโดยการทิ้งค่าเอกฐานขนาดเล็ก^{[ 5 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{T}X}$${\displaystyle X^{T}X}$

การแปลงบางอย่าง (เช่นการฉายภาพจาก 3 มิติไป 2 มิติ) จะถูกจำลองโดยเมทริกซ์เอกฐาน เนื่องจากเมทริกซ์เหล่านี้ยุบมิติ การจัดการเมทริกซ์เหล่านี้ต้องใช้ความระมัดระวัง (ไม่สามารถผกผันการฉายภาพได้) ในการเข้ารหัสและทฤษฎีการเข้ารหัสเมทริกซ์ที่ผกผันได้จะถูกใช้สำหรับการดำเนินการผสม เมทริกซ์เอกฐานจะถูกหลีกเลี่ยงหรือตรวจพบว่าเป็นข้อผิดพลาด^{[ 6 ]}

การศึกษาเมทริกซ์เอกฐานมีรากฐานมาจากประวัติศาสตร์ยุคแรกของพีชคณิตเชิงเส้น ดีเท อร์มิ แนนต์ได้รับการพัฒนาครั้งแรกในญี่ปุ่นโดยเซกิในปี 1683 และในยุโรปโดยไลบ์นิซและเครเมอร์ในช่วงทศวรรษ 1690 ^{[ 7 ]}ในฐานะเครื่องมือสำหรับการแก้ระบบสมการ ไลบ์นิซตระหนักอย่างชัดเจนว่าระบบมีคำตอบก็ต่อเมื่อนิพจน์ดีเทอร์มิแนนต์บางอย่างเท่ากับศูนย์ ในแง่นั้น เอกฐาน (ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์) ถูกเข้าใจว่าเป็นเงื่อนไขวิกฤตสำหรับความสามารถในการหาคำตอบ ตลอดศตวรรษที่ 18 และ 19 นักคณิตศาสตร์ ( ลาปลาซ , โคชีฯลฯ) ได้สร้างคุณสมบัติมากมายของดีเทอร์มิแนนต์และเมทริกซ์ผกผัน โดยทำให้แนวคิดที่ บ่งบอกถึงความไม่สามารถผกผันเป็น ทางการ${\displaystyle \det(A)=0}$

คำว่า "เมทริกซ์เอกฐาน" เกิดขึ้นในภายหลัง แต่ความสำคัญเชิงแนวคิดยังคงอยู่ ในศตวรรษที่ 20 มีการนำแนวคิดทั่วไปเช่น ผกผันเทียม ของมัวร์-เพนโรสมาใช้เพื่อจัดการกับกรณีเอกฐานหรือกรณีที่ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัสอย่างเป็นระบบ ดังที่งานวิจัยล่าสุดระบุไว้ แนวคิดของผกผันเทียมได้รับการเสนอโดยEH Mooreในปี 1920 และค้นพบใหม่โดย R. Penrose ในปี 1955 ^{[ 8 ]}ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงประโยชน์ที่มีมายาวนาน ผกผันเทียมและการแยกส่วนค่าเอกฐานกลายเป็นพื้นฐานทั้งในทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ (เช่น ในกลศาสตร์ควอนตัม การประมวลผลสัญญาณ และอื่นๆ) สำหรับการจัดการกับเอกฐาน ปัจจุบัน เมทริกซ์เอกฐานเป็นหัวข้อสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น: พวกมันกำหนดขอบเขตระหว่างกรณีที่ผกผันได้ (มีพฤติกรรมที่ดี) และ กรณี ที่เสื่อมสภาพ (ไม่เสถียร) ในเชิงนามธรรม เมทริกซ์เอกฐานสอดคล้องกับความไม่สมมาตรในการแมปเชิงเส้น และดังนั้นจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อทฤษฎีของปริภูมิเวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้น

พิจารณาเนื่องจากคอลัมน์ที่สองเป็นผลคูณของคอลัมน์แรก ค่าดีเทอร์มิแนนต์จึงเป็นศูนย์ และเมทริกซ์จึงเป็นเมทริกซ์เอกฐาน หรืออีกวิธีหนึ่งคือ การใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียนกับ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\2&-6\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}$

$${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr|r}1&-3&a\\2&-6&b\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rr|r}1&-3&a\\0&0&b-2a\end{array}}\right],}$$

เราจะเห็นข้อจำกัดและคำตอบหลายแบบซึ่งแตกต่างจากเมทริกซ์ผกผันที่มีคำตอบเดียว ${\displaystyle \operatorname {rank} (A)<2}$${\displaystyle b-2a=0}$${\displaystyle x-3y=a}$