สเกลลัม
ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น ตัวอย่างฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลสำหรับการกระจายแบบสเกลลัม แกนแนวนอนคือดัชนีk (ฟังก์ชันนี้กำหนดได้เฉพาะที่ค่าk เป็นจำนวนเต็ม เท่านั้น เส้นเชื่อมไม่ได้แสดงถึงความต่อเนื่อง)
พารามิเตอร์	${\displaystyle \mu _{1}\geq 0,~~\mu _{2}\geq 0}$
สนับสนุน	${\displaystyle k\in \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}}$
พีเอ็มเอฟ	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}\!+\!\mu _{2})}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k/2}\!\!I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$
หมายถึง	${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}\,}$
ค่ามัธยฐาน	ไม่มีข้อมูล
ความแปรปรวน	${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}\,}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle {\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{(\mu _{1}+\mu _{2})^{3/2}}}}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{1}+\mu _{2}}}}$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{t}+\mu _{2}e^{-t}}}$
ซีเอฟ	${\displaystyle e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}e^{it}+\mu _{2}e^{-it}}}$

การแจกแจงสเกลลัม (Skellam distribution)คือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องของผลต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระทางสถิติ สองตัว โดยแต่ละตัว มี การแจกแจงแบบปัวซง (Poisson distribution)ด้วยค่าคาดหวัง σ และτ ตามลำดับ การแจกแจง นี้ มีประโยชน์ในการอธิบายสถิติของผลต่างระหว่างภาพสองภาพที่มีสัญญาณรบกวนโฟ ตอนอย่างง่าย รวมถึงการอธิบาย การแจกแจงการ กระจายคะแนนในกีฬาที่คะแนนทุกอย่างเท่ากัน เช่นเบสบอลฮอกกี้และฟุตบอล${\displaystyle N_{1}-N_{2}}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2},}$${\displaystyle \mu _{1}}$${\displaystyle \mu _{2}}$

การแจกแจงนี้ยังสามารถนำไปใช้กับกรณีพิเศษของผลต่างของตัวแปรสุ่มปัวซงที่ขึ้นอยู่กันได้ แต่เฉพาะกรณีที่เห็นได้ชัดเจนซึ่งตัวแปรทั้งสองมีส่วนร่วมสุ่มแบบบวกที่เหมือนกันซึ่งถูกหักล้างโดยผลต่าง: ดูรายละเอียดและการประยุกต์ใช้ได้ใน Karlis & Ntzoufras (2003)

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลสำหรับการแจกแจงสเกลลัมสำหรับผลต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวที่แจกแจงปัวซงซึ่งมีค่าเฉลี่ยและนั้นกำหนดโดย: ${\displaystyle K=N_{1}-N_{2}}$${\displaystyle \mu _{1}}$${\displaystyle \mu _{2}}$

$${\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2})=\Pr\{K=k\}=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{k}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$$

โดยที่I _k ( z ) คือฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดแรก เนื่องจากkเป็นจำนวนเต็ม เราจึงได้ว่าI _k ( z ) =  I _{| k |} ( z )

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลของ ตัวแปรสุ่ม ที่มีการแจกแจงแบบปัวซงซึ่งมีค่าเฉลี่ย μ กำหนดโดย

$${\displaystyle p(k;\mu )={\mu ^{k} \over k!}e^{-\mu }.\,}$$

สำหรับ(และเป็นศูนย์ในกรณีอื่น) ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลของสเกลลัมสำหรับความแตกต่างของการนับอิสระสองครั้งคือการสังเคราะห์ของการแจกแจงปัวซงสองแบบ: ( สเกลลัม , 1946) ${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle K=N_{1}-N_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(k;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }p(k+n;\mu _{1})p(n;\mu _{2})\\&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\sum _{n=\max(0,-k)}^{\infty }{{\mu _{1}^{k+n}\mu _{2}^{n}} \over {n!(k+n)!}}\end{aligned}}}$$ เนื่องจากการแจกแจงปัวซงมีค่าเป็นศูนย์สำหรับค่าลบของจำนวนนับ ผลรวมที่สองจึงคำนวณเฉพาะสำหรับพจน์ที่และ เท่านั้นสามารถแสดงได้ว่าผลรวมข้างต้นบ่งชี้ว่า ${\displaystyle (p(N<0;\mu )=0)}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle n+k\geq 0}$

$${\displaystyle {\frac {p(k;\mu _{1},\mu _{2})}{p(-k;\mu _{1},\mu _{2})}}=\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\right)^{k}}$$

ดังนั้น:

$${\displaystyle p(k;\mu _{1},\mu _{2})=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}\left({\mu _{1} \over \mu _{2}}\right)^{k/2}I_{|k|}(2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}})}$$

โดยที่I  _k (z) คือฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดแรก กรณีพิเศษสำหรับถูกกำหนดโดย Irwin (1937): ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}(=\mu )}$

$${\displaystyle p{\left(k;\mu ,\mu \right)}=e^{-2\mu }I_{|k|}(2\mu ).}$$

เมื่อใช้ค่าจำกัดของฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงสำหรับอาร์กิวเมนต์ขนาดเล็ก เราสามารถกู้คืนการแจกแจงปัวซงได้ในฐานะกรณีพิเศษของการแจกแจงสเกลลัมสำหรับ ${\displaystyle \mu _{2}=0}$

เนื่องจากเป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของ Skellam จึงถูกทำให้เป็นมาตรฐาน:

$${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})=1.}$$

เราทราบว่าฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น (pgf) สำหรับการแจกแจงปัวซงคือ:

$${\displaystyle G\left(t;\mu \right)=e^{\mu (t-1)}.}$$

ดังนั้น pgf, , สำหรับฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลของ Skellam จะเป็นดังนี้: ${\displaystyle G(t;\mu _{1},\mu _{2})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(t;\mu _{1},\mu _{2})&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(k;\mu _{1},\mu _{2})t^{k}\\[4pt]&=G\left(t;\mu _{1}\right)G\left(1/t;\mu _{2}\right)\\[4pt]&=e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})+\mu _{1}t+\mu _{2}/t}.\end{aligned}}}$$

โปรดสังเกตว่ารูปแบบของฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็นบ่งชี้ว่าการแจกแจงของผลรวมหรือผลต่างของตัวแปรอิสระที่แจกแจงแบบสเกลลัมจำนวนใด ๆ ก็จะยังคงแจกแจงแบบสเกลลัมอยู่เช่นกัน บางครั้งมีการอ้างว่าการรวมเชิงเส้นใด ๆ ของตัวแปรที่แจกแจงแบบสเกลลัมสองตัวก็จะแจกแจงแบบสเกลลัมเช่นกัน แต่เห็นได้ชัดว่าไม่เป็นความจริง เนื่องจากตัวคูณอื่นใดที่ไม่ใช่ ตัวคูณ 1 จะเปลี่ยนขอบเขตของการแจกแจงและเปลี่ยนแปลงรูปแบบของโมเมนต์ในลักษณะที่ไม่มีการแจกแจงแบบสเกลลัมใด ๆ สามารถตอบสนองได้ ${\displaystyle \pm 1}$

ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์กำหนดโดย:

$${\displaystyle M\left(t;\mu _{1},\mu _{2}\right)=G(e^{t};\mu _{1},\mu _{2})=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}\,m_{k}}$$

ซึ่งให้ค่าโมเมนต์ดิบm _k  นิยาม:

$${\displaystyle \Delta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mu _{1}-\mu _{2}}$$

$${\displaystyle \mu \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\tfrac {1}{2}}(\mu _{1}+\mu _{2}).}$$

จากนั้นโมเมนต์ดิบm _kคือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\Delta \\m_{2}&=2\mu +\Delta ^{2}\\m_{3}&=\Delta \left(1+6\mu +\Delta ^{2}\right)\end{aligned}}}$$

โมเมนต์กลางM _kคือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{2}&=2\mu ,\\M_{3}&=\Delta ,\\M_{4}&=2\mu +12\mu ^{2}.\,\end{aligned}}}$$

ค่าเฉลี่ยความแปรปรวนค่าความเบี่ยงเบนและค่าความโค้งส่วนเกินมีค่าดังนี้ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (n)&=\Delta ,\\[4pt]\sigma ^{2}&=2\mu ,\\[4pt]\gamma _{1}&=\Delta /(2\mu )^{3/2},\\[4pt]\gamma _{2}&=1/2.\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันสร้างค่าคุมูลันต์มีดังนี้:

$${\displaystyle K(t;\mu _{1},\mu _{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \ln(M(t;\mu _{1},\mu _{2}))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\,\kappa _{k}}$$

ซึ่งจะได้ค่าคูมูลันต์ ดังนี้ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{2k}&=2\mu ,\\\kappa _{2k+1}&=\Delta .\end{aligned}}}$$

สำหรับกรณีพิเศษเมื่อμ ₁ = μ ₂การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกของฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดแรกจะให้ผลลัพธ์สำหรับμ ที่มีค่ามาก ดังนี้:

$${\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {\frac {1}{\sqrt {4\pi \mu }}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n}{\frac {\left\{4k^{2}-1^{2}\right\}\left\{4k^{2}-3^{2}\right\}\cdots \left\{4k^{2}-(2n-1)^{2}\right\}}{n!\,2^{3n}\,(2\mu )^{n}}}\right].}$$

(Abramowitz & Stegun 1972, หน้า 377) นอกจากนี้ สำหรับกรณีพิเศษนี้ เมื่อkมีขนาดใหญ่ และอยู่ในลำดับของรากที่สองของ 2μ การแจกแจงจะมีแนวโน้มไปสู่การแจกแจงแบบปกติ :

$${\displaystyle p(k;\mu ,\mu )\sim {\frac {e^{-k^{2}/4\mu }}{\sqrt {4\pi \mu }}}.}$$

ผลลัพธ์พิเศษเหล่านี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับกรณีทั่วไปของการหาค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกันได้อย่างง่ายดาย

ถ้าโดยที่แล้ว ​${\displaystyle X\sim \operatorname {Skellam} (\mu _{1},\mu _{2})}$${\displaystyle \mu _{1}<\mu _{2}}$

$${\displaystyle {\frac {\exp \left[-\left({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}}\right)^{2}\right]}{\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)^{2}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{2{\sqrt {\mu _{1}\mu _{2}}}}}-{\frac {e^{-(\mu _{1}+\mu _{2})}}{4\mu _{1}\mu _{2}}}\leq \Pr\{X\geq 0\}\leq \exp \left[-\left({\sqrt {\mu _{1}}}-{\sqrt {\mu _{2}}}\right)^{2}\right]}$$

รายละเอียดเพิ่มเติมสามารถดูได้ในหัวข้อการแจกแจงปัวซง § การแข่งขันปัวซง

• การแจกแจงอัตราส่วนสำหรับการแจกแจงปัวซง (แบบตัดทอน)