สำหรับมุม เล็กๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ สามารถคำนวณได้ด้วยความแม่นยำพอสมควรโดยใช้การประมาณค่า อย่างง่ายดังต่อไปนี้ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \tan \theta \approx \theta ,\\[5mu]\cos \theta &\approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}\approx 1,\end{aligned}}}$$

โดยที่มุมนั้นวัดเป็นเรเดียนมุมที่วัดเป็นองศา จะต้องแปลงเป็นเรเดียนก่อนโดยการคูณด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \pi /180}$

การประมาณค่าเหล่านี้มีประโยชน์มากมายในสาขาฟิสิกส์และวิศวกรรมรวมถึงกลศาสตร์แม่เหล็กไฟฟ้าทัศนศาสตร์การทำแผนที่ ดาราศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์[ 1 ^{] [ 2 ]เหตุผลหนึ่ง}ก็ คือ การ ประมาณ ค่า เหล่านี้สามารถทำให้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่จำเป็นต้องตอบด้วยความแม่นยำสัมบูรณ์ ง่ายขึ้นมาก

มีหลายวิธีในการสาธิตความถูกต้องของการประมาณมุมเล็ก วิธีที่ตรงที่สุดคือการตัดทอนอนุกรม Maclaurinสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละฟังก์ชัน ขึ้นอยู่กับลำดับของการประมาณจะ^ถูกประมาณเป็นหรือ เป็น[ ^{3 ]}${\displaystyle \textstyle \cos \theta }$${\displaystyle 1}$${\textstyle 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$

สำหรับมุมเล็กๆHและAจะมีความยาวเกือบเท่ากัน ดังนั้นcos θจึงมีค่าเกือบเท่ากับ 1 ส่วนของเส้นตรงd (เส้นสีแดงทางด้านขวา) คือผลต่างระหว่างความยาวของ ด้านตรง ข้ามมุมฉากHและด้านประชิดAและมีความยาวซึ่งสำหรับมุมเล็กๆ จะมีค่าประมาณเท่ากับ โดยประมาณแล้วในการประมาณค่าอันดับที่สอง ${\displaystyle \textstyle H-{\sqrt {H^{2}-O^{2}}}}$${\displaystyle \textstyle O^{2}\!/2H\approx {\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}H}$$${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}.}$$

ด้านตรงข้ามOมีความยาวประมาณเท่ากับความยาวของส่วนโค้งสีน้ำเงินsส่วนโค้งsมีความยาวθAและตามนิยามsin θ = ⁠โอ/ชมและ tan θ =​​โอ/เอและสำหรับมุมเล็กๆ O ≈ sและ H ≈ Aซึ่งนำไปสู่: $${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

หรือกล่าวให้กระชับยิ่งขึ้นก็คือ $${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

โดยใช้ทฤษฎีบทการบีบอัด^{[ 4 ]}สามารถพิสูจน์ได้ว่า ซึ่งเป็นการกล่าวซ้ำอย่างเป็นทางการของการประมาณค่าสำหรับค่าθ ขนาด เล็ก $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$$${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทการบีบอัดอย่างระมัดระวังมากขึ้นพิสูจน์ได้ว่าซึ่งเราสรุปได้ว่าสำหรับค่าθที่ มีขนาดเล็ก$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$

สุดท้ายกฎของ L'Hôpitalบอกเราว่าซึ่งจัดเรียงใหม่ได้เป็นสำหรับค่าθ ที่มีขนาดเล็ก หรืออีกวิธีหนึ่ง เราสามารถใช้สูตรมุมสองเท่าได้โดยให้เราจะได้ว่า $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}$${\displaystyle \theta =2A}$${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

การขยายอนุกรม เทย์เลอร์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ใกล้ศูนย์มีดังนี้: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}+{\frac {1}{120}}\theta ^{5}-\cdots ,\\[6mu]\cos \theta &=1-{\frac {1}{2}}{\theta ^{2}}+{\frac {1}{24}}\theta ^{4}-\cdots ,\\[6mu]\tan \theta &=\theta +{\frac {1}{3}}\theta ^{3}+{\frac {2}{15}}\theta ^{5}+\cdots .\end{aligned}}}$$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$คือมุมในหน่วยเรเดียน สำหรับมุมที่เล็กมาก กำลังที่สูงกว่าของ⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$จะมีค่าน้อยมาก ตัวอย่างเช่น ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \theta =0.01}$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \theta ^{3}=0.000\,001}$จะมีค่าเพียงหนึ่งในหมื่นของ⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$ เท่านั้น ดังนั้นสำหรับหลายๆ กรณี จึงเพียงพอที่จะ ตัด พจน์กำลังสามและพจน์ที่สูงกว่าออก และประมาณค่าไซน์และแทนเจนต์ของมุมเล็กๆ โดยใช้ค่ามุมในหน่วยเรเดียน⁠ ⁠${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta }$และตัดพจน์กำลังสองออก และประมาณค่าโคไซน์เป็น⁠ ⁠${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$

หากต้องการความแม่นยำเพิ่มเติม สามารถรวมพจน์กำลังสองและกำลังสามเข้าไปด้วย ได้ ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -{\tfrac {1}{6}}\theta ^{3}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$และ ⁠ ⁠${\displaystyle \tan \theta \approx \theta +{\tfrac {1}{3}}\theta ^{3}}$

เมื่อค่าใกล้ศูนย์ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของการประมาณค่า⁠ ⁠${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \tan \theta \approx \theta }$จะเป็นฟังก์ชันกำลังสองของ⁠ ⁠ กล่าวคือ สำหรับแต่ละอันดับของขนาดที่มุมเล็กลง ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของการประมาณค่าเหล่านี้จะลดลงสองอันดับของขนาด การประมาณค่า⁠ ⁠ ${\displaystyle \theta }$มีความ${\displaystyle \textstyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$คลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่เป็นฟังก์ชันกำลังสี่ของ⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$กล่าวคือ สำหรับแต่ละอันดับของขนาดที่มุมเล็กลง ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์จะลดลงสี่อันดับของขนาด

รูปที่ 3 แสดงข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการประมาณค่ามุมเล็ก มุมที่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เกิน 1% มีดังต่อไปนี้:

• ที่มุมประมาณ${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$ 0.14 เรเดียน (8.1°)
• ที่มุมประมาณ${\displaystyle \tan \theta \approx \theta }$ 0.17 เรเดียน (9.9°)
• ที่มุมประมาณ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$ 0.24 เรเดียน (14.0°)
• ที่มุมประมาณ${\displaystyle \textstyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$ 0.66 เรเดียน (37.9°)

ไม้บรรทัดคำนวณหลายแบบโดยเฉพาะแบบ "ตรีโกณมิติ" และแบบที่สูงกว่า จะมีมาตราส่วน "ST" (ไซน์และแทนเจนต์) หรือ "SRT" (ไซน์ เรเดียน และแทนเจนต์) อยู่ด้านหน้าหรือด้านหลังของไม้บรรทัด เพื่อใช้ในการคำนวณด้วยไซน์และแทนเจนต์ของมุมที่มีขนาดเล็กกว่าประมาณ 0.1 เรเดียน^{[ 6 ]}

ปลายด้านขวาของมาตราส่วน ST หรือ SRT ไม่สามารถให้ความแม่นยำถึงทศนิยมสามตำแหน่งได้ทั้งสำหรับ arcsine(0.1) = 5.74 องศา และ arctangent(0.1) = 5.71 องศา ดังนั้นค่าไซน์และแทนเจนต์ของมุมใกล้ 5 องศาจึงให้ค่าที่คลาดเคลื่อนกว่าความแม่นยำของไม้บรรทัดคำนวณที่คาดหวังไว้ตามปกติ ไม้บรรทัดคำนวณบางชนิด เช่น K&E Deci-Lon ในภาพ ปรับเทียบค่า 0.1 ให้แม่นยำสำหรับการแปลงเป็นเรเดียนที่ 5.73 องศา (คลาดเคลื่อนเกือบ 0.4% สำหรับแทนเจนต์และ 0.2% สำหรับไซน์สำหรับมุมประมาณ 5 องศา) ส่วนไม้บรรทัดคำนวณอื่นๆ ปรับเทียบที่ 5.725 องศา เพื่อให้ค่าความคลาดเคลื่อนของไซน์และแทนเจนต์ต่ำกว่า 0.3%

ทฤษฎีบทการบวกและการลบมุมสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้เมื่อมุมหนึ่งมีขนาดเล็ก (ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \beta }$มีขนาดเล็กมากแล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \cos \beta \approx 1}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \beta \approx \beta }$ ): $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&\approx \cos \alpha -\beta \sin \alpha ,\\\cos(\alpha -\beta )&\approx \cos \alpha +\beta \sin \alpha ,\\\sin(\alpha +\beta )&\approx \sin \alpha +\beta \cos \alpha ,\\\sin(\alpha -\beta )&\approx \sin \alpha -\beta \cos \alpha .\end{aligned}}}$$

ในทางดาราศาสตร์ขนาดเชิงมุมหรือมุมที่ภาพของวัตถุที่อยู่ไกลครอบคลุมนั้น มักจะมีเพียงไม่กี่อาร์คเซคอนด์ (แสดงด้วยสัญลักษณ์ ″) ดังนั้นจึงเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการประมาณมุมเล็ก^{[ 7 ]}ขนาดเชิงเส้น ( D ) สัมพันธ์กับขนาดเชิงมุม ( X ) และระยะห่างจากผู้สังเกต ( d ) ด้วยสูตรง่ายๆ ดังนี้:

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265{''}}}}$

โดยที่Xมีหน่วยวัดเป็นวินาทีเชิงมุม

ปริมาณ206 265 ″มีค่าประมาณเท่ากับจำนวนอาร์คเซคอนด์ใน 1 เรเดียน ซึ่งเป็นจำนวนอาร์คเซคอนด์ในวงกลม (1,296,000 ″ )หารด้วย 2π​

สูตรที่แน่นอนคือ

${\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}}\right)}$

และการประมาณค่าข้างต้นจะเป็นไปตามเมื่อแทนค่า tan X ด้วย X

ตัวอย่างเช่นพาร์เซกถูกกำหนดโดยค่าของ d เมื่อD = 1 AU, X = 1 อาร์คเซคอนด์ แต่คำจำกัดความที่ใช้คือการประมาณมุมเล็ก (สมการแรกข้างต้น)

การประมาณค่าโคไซน์ลำดับที่สองมีประโยชน์อย่างยิ่งในการคำนวณพลังงานศักยภาพของลูกตุ้มซึ่งสามารถนำไปใช้กับลากรางจ์เพื่อหาสมการการเคลื่อนที่ทางอ้อม (พลังงาน) ได้ เมื่อคำนวณคาบของลูกตุ้มอย่างง่าย จะใช้การประมาณค่ามุมเล็กสำหรับไซน์เพื่อให้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยการเปรียบเทียบกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย^{[ 8 ]}

ในทางทัศนศาสตร์ การประมาณค่ามุมเล็กเป็นพื้นฐานของการประมาณค่าแบบพาราแอ็กเซียล

การประมาณมุมเล็กของไซน์และแทนเจนต์ถูกนำมาใช้ในความสัมพันธ์กับการทดลองช่องคู่หรือตะแกรงเลี้ยวเบนเพื่อพัฒนาสมการที่ง่ายขึ้นดังต่อไปนี้ โดยที่yคือระยะห่างของแถบจากศูนย์กลางของความเข้มแสงสูงสุดmคือลำดับของแถบDคือระยะห่างระหว่างช่องและหน้าจอฉายภาพ และdคือระยะห่างระหว่างช่อง: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle y\approx {\frac {m\lambda D}{d}}}$$

การประมาณค่ามุมเล็กยังปรากฏในกลศาสตร์โครงสร้างโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เสถียรภาพและการแตกแขนง (ส่วนใหญ่ในเสาที่รับแรงตามแนวแกนซึ่งพร้อมจะเกิดการโก่งงอ ) ซึ่งนำไปสู่การลดทอนความซับซ้อนอย่างมาก แม้ว่าจะแลกมาด้วยความแม่นยำและข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับพฤติกรรมที่แท้จริงที่ลดลงก็ตาม

กฎ1 ใน 60ที่ใช้ในการนำทางอากาศมีพื้นฐานมาจากการประมาณค่ามุมเล็ก บวกกับข้อเท็จจริงที่ว่า 1 เรเดียนมีค่าประมาณ 60 องศา

สูตรการบวกและการลบที่เกี่ยวข้องกับมุมเล็กๆสามารถใช้สำหรับการประมาณ ค่า ระหว่าง ค่า ในตารางตรีโกณมิติได้ :

ตัวอย่าง: sin(0.755) โดยที่ค่าของ sin(0.75) และ cos(0.75) ได้มาจากตารางตรีโกณมิติ ผลลัพธ์มีความแม่นยำถึงทศนิยมสี่ตำแหน่ง $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}$$

• สามเหลี่ยมเรียวเล็ก
• เวอร์ซีน
• เอ็กเซแคนท์