วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์แบบเรียบ ( S-FEM ) ^{[ 1 ]} เป็นอัลก อริธึมการจำลองเชิงตัวเลขเฉพาะสำหรับการจำลองปรากฏการณ์ทางกายภาพ ได้รับการพัฒนาโดยการรวมวิธีการไร้ตาข่าย^{[ 2 ]}เข้ากับวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ S-FEM สามารถใช้ได้กับ ปัญหา กลศาสตร์ของแข็งและพลศาสตร์ของไหลแม้ว่าจนถึงปัจจุบันส่วนใหญ่จะนำไปใช้กับกลศาสตร์ของแข็งเป็นหลัก

แนวคิดหลักใน S-FEM คือการใช้ตาข่ายองค์ประกอบจำกัด (โดยเฉพาะตาข่ายสามเหลี่ยม) เพื่อสร้างแบบจำลองเชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพดี ซึ่งทำได้โดยการปรับเปลี่ยนฟิลด์ความเครียดที่เข้ากันได้ หรือสร้างฟิลด์ความเครียดโดยใช้เฉพาะการกระจัด โดยหวังว่าแบบจำลอง Galerkin ที่ใช้ฟิลด์ความเครียดที่ปรับเปลี่ยน/สร้างขึ้นจะให้คุณสมบัติที่ดี การปรับเปลี่ยน/การสร้างดังกล่าวสามารถทำได้ภายในองค์ประกอบ แต่บ่อยครั้งที่ทำนอกองค์ประกอบ (แนวคิดแบบไร้ตาข่าย): นำข้อมูลจากองค์ประกอบข้างเคียงเข้ามา โดยธรรมชาติแล้ว ฟิลด์ความเครียดต้องเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ และรูปแบบอ่อนของ Galerkin มาตรฐานจำเป็นต้องได้รับการปรับเปลี่ยนให้เหมาะสมเพื่อให้มั่นใจถึงเสถียรภาพและการลู่เข้า บทวิจารณ์ที่ครอบคลุมเกี่ยวกับ S-FEM ทั้งในด้านระเบียบวิธีและการใช้งานสามารถพบได้ใน^{[ 3 ]} ("วิธีการองค์ประกอบจำกัดแบบเรียบ (S-FEM): ภาพรวมและการพัฒนาล่าสุด")

การพัฒนา S-FEM เริ่มต้นจากงานเกี่ยวกับวิธีไร้ตาข่าย ซึ่งมีการพัฒนาสูตรอ่อน (W2) ที่เรียกว่า weakened weak โดยอิงตามทฤษฎีG space ^{[ 4 ]}สูตร W2 นำเสนอความเป็นไปได้ในการกำหนดสูตรโมเดล "อ่อน" ต่างๆ (อย่างสม่ำเสมอ) ที่ทำงานได้ดีกับตาข่ายสามเหลี่ยม เนื่องจากตาข่ายสามเหลี่ยมสามารถสร้างได้โดยอัตโนมัติ จึงทำให้การสร้างตาข่ายใหม่ง่ายขึ้นมาก และทำให้การสร้างแบบจำลองและการจำลองเป็นไปโดยอัตโนมัติ นอกจากนี้ โมเดล W2 ยังสามารถทำให้อ่อนพอ (ในลักษณะที่สม่ำเสมอ) เพื่อสร้างโซลูชันขอบเขตบน (สำหรับปัญหาที่ขับเคลื่อนด้วยแรง) เมื่อรวมกับโมเดลแข็ง (เช่น โมเดล FEM ที่เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์) เราสามารถกำหนดขอบเขตของโซลูชันจากทั้งสองด้านได้อย่างสะดวก ซึ่งช่วยให้การประมาณค่าความผิดพลาดสำหรับปัญหาที่ซับซ้อนโดยทั่วไปทำได้ง่าย ตราบใดที่สามารถสร้างตาข่ายสามเหลี่ยมได้ โมเดล W2 ทั่วไปคือ วิธีการแทรกสอดจุดเรียบ (หรือ S-PIM) ^{[ 5 ]} S-PIM สามารถเป็นแบบอิงโหนด (เรียกว่า NS-PIM หรือ LC-PIM) ^{[ 6 ]}แบบอิงขอบ (ES-PIM) ^{[ 7 ]}และแบบอิงเซลล์ (CS-PIM) ^{[ 8 ]} NS-PIM ได้รับการพัฒนาโดยใช้เทคนิคที่เรียกว่า SCNI ^{[ 9 ]}ต่อมาพบว่า NS-PIM สามารถสร้างโซลูชันขอบเขตบนและปราศจากการล็อกปริมาตร^{[ 10 ]}พบว่า ES-PIM มีความแม่นยำสูงกว่า และ CS-PIM มีประสิทธิภาพอยู่ระหว่าง NS-PIM และ ES-PIM ยิ่งไปกว่านั้น สูตร W2 อนุญาตให้ใช้ฟังก์ชันฐานพหุนามและรัศมีในการสร้างฟังก์ชันรูปร่าง (รองรับฟังก์ชันการกระจัดที่ไม่ต่อเนื่อง ตราบใดที่อยู่ในพื้นที่ G1) ซึ่งเปิดโอกาสเพิ่มเติมสำหรับการพัฒนาในอนาคต

S-FEM ส่วนใหญ่เป็นเวอร์ชันเชิงเส้นของ S-PIM แต่มีคุณสมบัติส่วนใหญ่ของ S-PIM และเรียบง่ายกว่ามาก นอกจากนี้ยังมีรูปแบบต่างๆ ของ NS-FEM, ES-FEM และ CS-FEM คุณสมบัติหลักของ S-PIM สามารถพบได้ใน S-FEM เช่นกัน^{[ 11 ]}

• FEM แบบเรียบตามโหนด (NS-FEM) ^{[ 12 ]}
• FEM แบบเรียบตามขอบ (ES-FEM) ^{[ 13 ]}
• FEM แบบเรียบตามใบหน้า (FS-FEM) ^{[ 14 ]}
• FEM แบบเรียบตามเซลล์ (CS-FEM) ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}
• FEM แบบเรียบตามโหนด/ขอบ (NS/ES-FEM) ^{[ 18 ] [ 19 ]}
• วิธีAlpha FEM (Alpha FEM) ^{[ 20 ] [ 21 ]}
• วิธีBeta FEM (Beta FEM) ^{[ 22 ] [ 23 ]}

S-FEM ได้ถูกนำมาประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ต่อไปนี้:

1. กลศาสตร์สำหรับโครงสร้างของแข็งและเพียโซอิเล็กทริก; ^{[ 24 ] [ 25 ]}
2. กลศาสตร์การแตกหักและการแพร่กระจายของรอยแตก; ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}
3. ปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นและปัญหาการสัมผัส^{[ 30 ] [ 31 ]}
4. การวิเคราะห์เชิงสุ่ม; ^{[ 32 ]}
5. การถ่ายเทความร้อน; ^{[ 33 ] [ 34 ]}
6. อะคูสติกเชิงโครงสร้าง; ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}
7. การวิเคราะห์แบบปรับตัว; ^{[ 38 ] [ 18 ]}
8. การวิเคราะห์แบบจำกัด; ^{[ 39 ]}
9. การสร้างแบบจำลองพลาสติกของผลึก^{[ 40 ]}

ปัญหาพื้นฐานที่ SFEM กล่าวถึงโดยทั่วไปคือการแก้สมการปัวซง (Poisson's equation) ด้วยเงื่อนไขขอบเขตแบบดิริชเลต์ (Dirichlet boundary conditions) ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

Δu+f=0 ใน Ω, u=g บน ΓD

โดยที่ Ω คือโดเมน และ Γ คือขอบเขตของโดเมน ซึ่งประกอบด้วย ΓD=Γ ในที่นี้ u: Ω→R คือคำตอบทดลอง f: Ω→R คือฟังก์ชันที่กำหนด และ g แทนเงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet

S-FEM เกี่ยวข้องกับการแบ่งโดเมน Ω ออกเป็นส่วนย่อยโดยใช้ตาข่ายไฟไนต์เอเลเมนต์ ซึ่งอาจเป็นแบบทั่วโลกหรือแบบเฉพาะที่ ตาข่ายทั่วโลกแสดงถึงโดเมนทั้งหมด ในขณะที่ตาข่ายเฉพาะที่ใช้สำหรับแบ่งส่วนบริเวณที่ต้องการความละเอียดสูงภายในโดเมนทั่วโลก โดยถือว่าโดเมนเฉพาะที่นั้นรวมอยู่ในโดเมนทั่วโลก (ΩL​⊆ΩG)

รูปแบบอ่อนของปัญหาได้มาจากการคูณสมการด้วยฟังก์ชันทดสอบที่เหมาะสมและทำการอินทิเกรตเหนือโดเมน ใน SFEM รูปแบบอ่อนแสดงได้ดังนี้: กำหนด f และ g แล้ว จงหา u∈U ที่ทำให้สำหรับทุก w∈V

aΩ​(w,u)=LΩ​(w)

โดยที่ aΩ เป็นรูปแบบทวิเชิงเส้น และ LΩ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น

ใน S-FEM นั้น โซลูชันทดลอง u และฟังก์ชันทดสอบ w จะถูกกำหนดแยกกันสำหรับโดเมนทั่วโลก (ΩG) และโดเมนเฉพาะที่ (ΩL) พื้นที่โซลูชันทดลอง UG, UL และพื้นที่ฟังก์ชันทดสอบ VG, VL จะถูกกำหนดตามลำดับ รูปแบบอ่อนในสูตร S-FEM จึงเป็นดังนี้:

aΩ′​(w,u)=LΩ′​(w)

โดยที่ aΩ′​(⋅,⋅) และ LΩ′​(⋅) เป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นและฟังก์ชันเชิงเส้นที่ได้รับการดัดแปลง เพื่อรองรับวิธีการ S-FEM

หนึ่งในความท้าทายหลักของ S-FEM คือความยากลำบากในการหาปริพันธ์ที่แม่นยำของเมทริกซ์ย่อยที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเมชทั่วโลกและเมชเฉพาะที่ (KGL และ KLG) นอกจากนี้ เมทริกซ์ K อาจกลายเป็นเมทริกซ์เอกฐาน ซึ่งก่อให้เกิดความท้าทายเชิงตัวเลขในการแก้สมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เกิดขึ้น

ความท้าทายและแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้เหล่านี้ได้รับการอธิบายโดยละเอียดในเอกสาร โดยมีเป้าหมายเพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพและความแม่นยำของ S-FEM สำหรับการใช้งานต่างๆ^{[ 41 ]}

S-FEM สามารถจำลองโดเมนเชิงวิเคราะห์ได้อย่างเหมาะสมโดยการซ้อนทับตาข่ายที่มีความละเอียดเชิงพื้นที่ต่างกัน มีข้อดีโดยเนื้อแท้คือความแม่นยำสูงในระดับท้องถิ่น เวลาในการคำนวณต่ำ และขั้นตอนการสร้างตาข่ายที่ง่าย อย่างไรก็ตาม มีข้อเสีย เช่น ความแม่นยำของการอินทิเกรตเชิงตัวเลขและความผิดปกติของเมทริกซ์ แม้ว่าจะมีการเสนอเทคนิคเพิ่มเติมหลายอย่างเพื่อลดข้อจำกัดเหล่านี้ แต่เทคนิคเหล่านั้นมีค่าใช้จ่ายในการคำนวณสูงหรือเป็นแบบเฉพาะกิจ และลดทอนจุดแข็งของวิธีการ ปัญหาเหล่านี้สามารถแก้ไขได้โดยการรวมฟังก์ชัน B-spline ลูกบาศก์ที่ มีความต่อเนื่อง C กำลังสองข้ามขอบเขตขององค์ประกอบเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน ทั่วโลก เพื่อหลีกเลี่ยงความผิดปกติของเมทริกซ์ ให้ใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่แตกต่างกันกับตาข่ายที่แตกต่างกัน ในการศึกษาล่าสุด ฟังก์ชันพื้นฐานของ Lagrange ถูกใช้เป็นฟังก์ชันพื้นฐานในระดับท้องถิ่น ด้วยวิธีนี้ การอินทิเกรตเชิงตัวเลขสามารถคำนวณได้ด้วยความแม่นยำที่เพียงพอโดยไม่ต้องใช้เทคนิคเพิ่มเติมใดๆ ที่ใช้ใน S-FEM แบบดั้งเดิม นอกจากนี้ วิธีการที่เสนอจะหลีกเลี่ยงความผิดปกติของเมทริกซ์และเหนือกว่าวิธีการแบบดั้งเดิมในแง่ของการลู่เข้าสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น ดังนั้น วิธีการที่เสนอจึงมีศักยภาพในการลดเวลาในการคำนวณในขณะที่ยังคงรักษาความแม่นยำที่เทียบเท่ากับ S-FEM แบบดั้งเดิม^{[ 41 ]}

• วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์
• วิธีการไร้ตาข่าย
• รูปแบบที่อ่อนแอลง
• ลูบิญญักรุ่นพิเศษ

• [1]