ในสาขาคณิตศาสตร์ของทฤษฎีเซตโมเดล Solovayเป็นโมเดลที่สร้างขึ้นโดยRobert M. Solovay ^{[ 1 ]}ซึ่งสัจพจน์ทั้งหมดของทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel (ZF) เป็นจริง ยกเว้นสัจพจน์ของการเลือกแต่เซตของจำนวนจริง ทั้งหมด สามารถ วัด ได้แบบ Lebesgueการสร้างนี้อาศัยการมีอยู่ของคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้

ด้วยวิธีนี้ โซโลเวย์แสดงให้เห็นว่า ในการพิสูจน์การมีอยู่ของเซตที่ไม่สามารถวัดได้จากZFC (ทฤษฎีเซตของเซอร์เมโล-แฟรงเคิลบวกกับสัจพจน์ของการเลือก) สัจพจน์ของการเลือกนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง อย่างน้อยที่สุดก็ถือว่าการมีอยู่ของจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้นั้นสอดคล้องกับ ZFC

ZF ย่อมาจากทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel และ DC ย่อมาจากสัจพจน์ ของการเลือกแบบพึ่งพา

ทฤษฎีบทของโซโลเวย์มีดังนี้ สมมติว่ามีคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้อยู่จริง จะมีแบบจำลองภายในของ ZF + DC ของส่วนขยายบังคับ ที่เหมาะสม V [ G ] เช่นนั้น เซตของจำนวนจริงทุกเซตสามารถวัดได้แบบเลเบส มีคุณสมบัติเซตสมบูรณ์และมีคุณสมบัติแบร์

โซโลเวย์สร้างแบบจำลองของเขาในสองขั้นตอน โดยเริ่มจากแบบจำลองM ของ ZFC ที่มีคาร์ดินัลκ ที่เข้าถึงไม่ได้ ^{[ 1 ]}

ขั้นตอนแรกคือการยุบแบบเลวีM [ G ] ของMโดยการเพิ่มเซตทั่วไปGสำหรับแนวคิดของการบังคับที่ยุบจำนวนคาร์ดินัลทั้งหมดที่น้อยกว่าκไปยัง ω จากนั้นM [ G ] จะเป็นแบบจำลองของ ZFC ที่มีคุณสมบัติว่าเซตของจำนวนจริงทุกเซตที่สามารถนิยามได้เหนือลำดับเชิงอันดับนับได้นั้นสามารถวัดได้แบบเลเบส และมีคุณสมบัติของเซตแบร์และเซตสมบูรณ์ (ซึ่งรวมถึงเซตของจำนวนจริงที่นิยามได้และเซตเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมด อย่างไรก็ตาม ด้วยเหตุผลที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทที่ไม่สามารถนิยามได้ของทาร์สกีแนวคิดของเซตของจำนวนจริงที่นิยามได้นั้นไม่สามารถนิยามได้ในภาษาของทฤษฎีเซต ในขณะที่แนวคิดของเซตของจำนวนจริงที่นิยามได้เหนือลำดับเชิงอันดับนับได้นั้นสามารถนิยามได้)

ขั้นตอนที่สองคือการสร้างแบบจำลองN ของ Solovay ในฐานะคลาสของเซตทั้งหมดในM [ G ] ที่สามารถนิยามได้โดยกรรมพันธุ์เหนือลำดับเชิงอันดับนับได้ แบบจำลองNเป็นแบบจำลองภายในของM [ G ] ที่สอดคล้องกับ ZF + DC โดยที่เซตของจำนวนจริงทุกเซตสามารถวัดได้แบบ Lebesgue มีคุณสมบัติเซตสมบูรณ์ และมีคุณสมบัติ Baire การพิสูจน์นี้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนจริงทุกตัวในM [ G ] สามารถนิยามได้เหนือลำดับเชิงอันดับนับได้ ดังนั้นNและM [ G ] จึงมีจำนวนจริงเดียวกัน

แทนที่จะใช้โมเดลN ของ Solovay เรายังสามารถใช้โมเดลภายในL ( R ) ที่เล็กกว่า ของM [ G ] ซึ่งประกอบด้วยการปิดที่สร้างได้ของจำนวนจริง ซึ่งมีคุณสมบัติคล้ายกันได้อีกด้วย

ในบทความของ Solovay เสนอว่าการใช้คาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้อาจไม่จำเป็น ผู้เขียนหลายคนพิสูจน์ผลลัพธ์ของ Solovay ในรูปแบบที่อ่อนกว่าโดยไม่ต้องสมมติว่ามีคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งKrivine (1969) ^{[ 2 ]}แสดงให้เห็นว่ามีแบบจำลองของ ZFC ซึ่งเซตของจำนวนจริงที่กำหนดโดยลำดับทุกเซตสามารถวัดได้ Solovay แสดงให้เห็นว่ามีแบบจำลองของ ZF + DC ซึ่งมีการขยายการวัด Lebesgue ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลไปยังเซตย่อยทั้งหมดของจำนวนจริง^{[ 1 ]}และ Shelah (1984) ^{[ 3 ]}แสดงให้เห็นว่ามีแบบจำลองซึ่งเซตของจำนวนจริงทั้งหมดมีคุณสมบัติ Baire (ดังนั้นคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้จึงไม่จำเป็นในกรณีนี้)

กรณีของคุณสมบัติเซตสมบูรณ์ได้รับการแก้ไขโดย Specker (1957) ^{[ 4 ]}ซึ่งแสดงให้เห็น (ใน ZF) ว่าถ้าเซตของจำนวนจริงทุกเซตมีคุณสมบัติเซตสมบูรณ์และคาร์ดินัลที่นับไม่ได้ตัวแรก ℵ ₁เป็นจำนวนปกติแล้ว ℵ ₁จะไม่สามารถเข้าถึงได้ในเอกภพที่สร้างได้เมื่อรวมกับผลลัพธ์ของ Solovay สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าข้อความ "มีคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้" และ "ℵ ₁เป็นจำนวนปกติ + เซตของจำนวนจริงทุกเซตมีคุณสมบัติเซตสมบูรณ์" มีความสอดคล้องกันใน ZF ^{[ 5 ]หน้า 371}

สุดท้าย Shelah (1984) ^{[ 3 ]}แสดงให้เห็นว่าความสอดคล้องของคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้ก็จำเป็นสำหรับการสร้างแบบจำลองที่เซตของจำนวนจริงทั้งหมดสามารถวัดได้แบบ Lebesgue กล่าวโดยละเอียดกว่านั้นคือ เขาแสดงให้เห็นว่าถ้าทุกΣ¹ ₃ถ้าเซตของจำนวนจริงสามารถวัดได้ จำนวนเชิงซ้อนนับไม่ได้ตัวแรก ℵ ₁จะไม่สามารถเข้าถึงได้ในเอกภพที่สร้างได้ ดังนั้นเงื่อนไขเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนที่เข้าถึงไม่ได้จึงไม่สามารถละทิ้งได้จากทฤษฎีบทของโซโลเวย์ เชลาห์ยังแสดงให้เห็นว่าΣ¹ ₃เงื่อนไขนี้ใกล้เคียงกับเงื่อนไขที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยการสร้างแบบจำลอง (โดยไม่ใช้จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่สามารถเข้าถึงได้) ซึ่งΔ ทั้งหมด¹ ₃เซตของจำนวนจริงสามารถวัดได้ ดูRaisonnier (1984) [ ^{6 ]} Stern (1985)และMiller (1989) ^{[ 7 ] สำหรับการอธิบาย}ผลลัพธ์ของ Shelah

Shelah & Woodin (1990) ^{[ 8 ]}แสดงให้เห็นว่าหากมีคาร์ดินัลซูเปอร์คอมแพ็กต์อยู่จริง เซตของจำนวนจริงทุกเซตในL ( R ) ซึ่งเป็นเซตที่สร้างได้จากจำนวนจริง จะสามารถวัดได้แบบเลเบสและมีคุณสมบัติแบร์ ซึ่งรวมถึงเซตของจำนวนจริงที่ "สามารถกำหนดได้อย่างสมเหตุสมผล" ทุกเซต ต่อมามีการแสดงให้เห็นว่าการใช้คาร์ดินัลซูเปอร์คอมแพ็กต์สามารถลดทอนลงได้อย่างมาก เหลือเพียงคาร์ดินัลวูดิน จำนวนอนันต์ ที่มีคาร์ดินัลที่วัดได้อยู่เหนือคาร์ดินัลทั้งหมด