ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทวิญญาณ (Soul Theorem)เป็นทฤษฎีบทในเรขาคณิตแบบรีมันน์ (Riemannian geometry)ที่ลดการศึกษาเกี่ยวกับแมนิโฟลด์สมบูรณ์ที่ มีความ โค้งภาคตัดขวางไม่เป็นลบ ลง เหลือเพียงกรณี ของแมนิโฟลด์ กระชับ (Complete Manifold) เจฟฟ์ ชีเกอร์ (Jeff Cheeger)และเดทเลฟ โกรโมล (Detlef Gromoll)พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี 1972 โดยการขยายผลลัพธ์ในปี 1969 ของโกรโมลและโวล์ฟกัง เมเยอร์ (Wolfgang Meyer) ข้อสันนิษฐานวิญญาณ (Soul Conjecture ) ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งชีเกอร์และโกรโมลได้กำหนดขึ้นในเวลานั้น ได้รับการพิสูจน์ในอีกยี่สิบปีต่อมาโดยกริกอรี เพเรลแมน (Grigori Perelman )

ทฤษฎีจิตวิญญาณของ Cheeger และ Gromoll ระบุว่า: ^{[ 1 ]}

ถ้า( M , g )เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์ ที่ สมบูรณ์เชื่อมต่อกันและไม่กะทัดรัดโดยมีส่วนโค้งภาคตัดขวาง ที่ไม่เป็นลบ แล้วจะมี ซับแมนิโฟลด์ฝังตัว แบบปิด นูนทั้งหมดและ เป็นจีโอเดสิก ทั้งหมด ซึ่ง บันเดิลปกติ ของ ซับแมนิโฟลด์ ฝัง ตัวนั้นมี ลักษณะ ทางดิฟเฟอเรนเชียลเหมือนกับM

ซับแมนิโฟลด์ดังกล่าวเรียกว่าจิตวิญญาณของ( M , g )โดยสมการเกาส์และจีโอเดสิกทั้งหมด เมตริกรีมันน์ที่เหนี่ยวนำบนจิตวิญญาณจะมีส่วนโค้งภาคตัดขวางที่ไม่เป็นลบโดยอัตโนมัติ Gromoll และ Meyer ได้ศึกษากรณีของส่วนโค้งภาคตัดขวางที่เป็นบวกก่อนหน้านี้ โดยแสดงให้เห็นว่าจิตวิญญาณกำหนดโดยจุดเดียว และด้วยเหตุนี้Mจึงมีลักษณะทางเรขาคณิตเหมือนกับปริภูมิยุคลิด^{[ 2 ]}

ตัวอย่างง่ายๆ ดังต่อไปนี้ แสดงให้เห็นว่าจิตวิญญาณไม่ได้ถูกกำหนดโดย( M , g ) เพียงอย่างเดียว โดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม Vladimir Sharafutdinov ได้สร้างการหดตัว แบบ 1-Lipschitz จากMไปยังจิตวิญญาณใดๆ ของมัน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าจิตวิญญาณสองดวงใดๆ ก็ตามมีความสมมาตรกันการแมปนี้เรียกว่า การหดตัว ของSharafutdinov ^{[ 3 ]}

Cheeger และ Gromoll ยังตั้งคำถามตรงกันข้ามอีกว่ามีเมตริกแบบ Riemannian ที่สมบูรณ์ซึ่งมีความโค้งภาคตัดขวางที่ไม่เป็นลบในปริภูมิทั้งหมดของเวกเตอร์บันเดิล ใดๆ บนแมนิโฟลด์ปิดที่มีความโค้งภาคตัดขวางเป็นบวกหรือไม่^{[ 4 ]}ปัจจุบันทราบกันดีว่าคำตอบคือไม่มี แม้ว่าทฤษฎีการมีอยู่จะยังไม่เป็นที่เข้าใจอย่างสมบูรณ์ก็ตาม^{[ 5 ]}

ตัวอย่าง

• ดังที่เห็นได้โดยตรงจากนิยาม แมนิโฟลด์ กระชับ ทุกอันล้วน มีจิตวิญญาณเป็นของตนเอง ด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีบทนี้จึงมักกล่าวถึงเฉพาะแมนิโฟลด์ที่ไม่กระชับเท่านั้น
• เพื่อเป็นตัวอย่างอย่างง่าย สมมติให้Mเป็นปริภูมิยุคลิดR ⁿความโค้งภาคตัดขวางเป็น0ทุกที่ และจุดใดๆ ในMสามารถใช้เป็นจิตวิญญาณของMได้
• ตอนนี้ให้พิจารณาพาราโบโลอิดM = {( x , y , z ) : z = x ² + y ² } โดยที่เมตริกgคือระยะทางยุคลิดปกติที่ได้มาจากการฝังพาราโบโลอิดในปริภูมิยุคลิดR ³โดยที่ความโค้งภาคตัดขวางเป็นบวกทุกที่ แม้ว่าจะไม่คงที่ก็ตาม จุดกำเนิด(0, 0, 0)เป็นจิตวิญญาณของMไม่ใช่ทุกจุดxของMจะเป็นจิตวิญญาณของMเนื่องจากอาจมีวงรอบจีโอเดสิกที่จุดxซึ่งในกรณีนี้จะไม่เป็นนูนโดยสมบูรณ์^{[ 6 ]}${\displaystyle \{x\}}$
• นอกจากนี้ ยังสามารถพิจารณาทรงกระบอก อนันต์ M = {( x , y , z ) : x ² + y ² = 1 } โดยใช้เมตริกยูคลิดที่เหนี่ยวนำ ความโค้งของภาคตัดขวางเป็น0ทุกที่ วงกลม "แนวนอน" ใดๆ{( x , y , z ) : x ² + y ² = 1 } ที่มีz คงที่ถือ เป็นจิตวิญญาณของMภาคตัดขวางที่ไม่เป็นแนวนอนของทรงกระบอกไม่ถือเป็นจิตวิญญาณ เนื่องจากไม่เป็นทั้งนูนทั้งหมดและไม่ใช่จีโอเดสิกทั้งหมด^{[ 7 ]}

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น Gromoll และ Meyer พิสูจน์แล้วว่าหากgมีความโค้งภาคตัดขวางเป็นบวก จิตวิญญาณจะเป็นจุด Cheeger และ Gromoll ตั้งข้อสันนิษฐานว่าสิ่งนี้จะเป็นจริงแม้ว่าgจะมีความโค้งภาคตัดขวางที่ไม่เป็นลบ โดยต้องการเพียงความเป็นบวกของความโค้งภาคตัดขวางทั้งหมดที่จุดเดียวเท่านั้น^{[ 8 ]} ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับ จิตวิญญาณนี้ได้รับการพิสูจน์โดยGrigori Perelmanซึ่งได้สร้างข้อเท็จจริงที่ทรงพลังกว่าว่าการหดตัวของ Sharafutdinov เป็นการจมแบบ Riemannianและแม้กระทั่งเป็นsubmetry ^{[ 5 ]}