ในสาขาคณิตศาสตร์เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มีทฤษฎีบทการแยกส่วน ต่างๆ เกี่ยวกับกรณีที่แมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์สามารถแสดงในรูปผลคูณเมตริกได้ ทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีที่สุดคือทฤษฎีบทการแยกส่วนของชีเกอร์-โกรโมลสำหรับแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ แม้ว่าจะมีงานวิจัยเกี่ยวกับการแยกส่วนของแมนิโฟลด์แบบลอเรนซ์ด้วย เช่นกัน

แมนิโฟลด์รีมันน์ ที่เชื่อมต่อกันใดๆM มีโครงสร้าง พื้นที่เมตริกพื้นฐานและสิ่งนี้ทำให้สามารถกำหนดเส้นจีโอเดสิกเป็นแผนที่c : ℝ → Mได้ โดยที่ระยะทางจากc ( s )ไปยังc ( t )เท่ากับ| t − s |สำหรับsและt ใดๆ กล่าวคือ การจำกัดของcไว้ที่ช่วงที่มีขอบเขตใดๆ จะเป็นเส้นโค้งที่มีความยาวน้อยที่สุดที่เชื่อมต่อจุดปลาย^{[ 1 ]}

ในปี 1971 Jeff CheegerและDetlef Gromollพิสูจน์ว่าหากแม นิโฟลด์รีมันน์ ที่สมบูรณ์และเชื่อมต่อกันซึ่งมีความโค้งริชชี ไม่เป็นลบ มีเส้นจีโอเดสิกใดๆ อยู่ภายใน แมนิโฟลด์นั้นจะต้องแยกออกเป็นไอโซเมตริกตามผลคูณของแมนิโฟลด์รีมันน์ที่สมบูรณ์กับℝต่อมา Jost Eschenburg และ Ernst Heintze ได้ทำให้การพิสูจน์ง่ายขึ้น ในปี 1936 Stefan Cohn-Vossenได้กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในกรณีของแมนิโฟลด์สองมิติเป็นครั้งแรก และVictor Toponogovได้ขยายงานของ Cohn-Vossen ไปสู่มิติที่สูงขึ้น ภายใต้เงื่อนไขพิเศษของความโค้งภาคตัดขวางที่ไม่เป็นลบ^{[ 2 ]}

บทพิสูจน์สามารถสรุปได้ดังนี้^{[ 3 ]}เงื่อนไขของเส้นจีโอเดสิกอนุญาตให้กำหนดฟังก์ชัน Busemann สองฟังก์ชันได้ ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฟังก์ชันระยะทาง Riemannian ที่เป็นมาตรฐานไปยังจุดปลายทั้งสองของเส้น จาก ทฤษฎีบทการเปรียบเทียบ Laplacian พื้นฐานที่ Eugenio Calabiพิสูจน์ไว้ก่อนหน้านี้ฟังก์ชันทั้งสองนี้เป็นsuperharmonicภายใต้สมมติฐานความโค้ง Ricci ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งอาจเป็นลบที่บางจุด แต่ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมบ่งชี้ว่าผลรวมของฟังก์ชันทั้งสองไม่เป็นลบหลักการค่าสูงสุดที่แข็งแกร่งบ่งชี้ว่าผลรวมเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ ดังนั้นฟังก์ชัน Busemann แต่ละฟังก์ชันจึงเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิก ( อย่างอ่อน) จริงๆ บทพิสูจน์ของ Weylบ่งชี้ถึงความสามารถในการหาอนุพันธ์อนันต์ของฟังก์ชัน Busemann จากนั้น บทพิสูจน์สามารถเสร็จสิ้นได้โดยใช้สูตรของ Bochnerเพื่อสร้างฟิลด์เวกเตอร์ขนานโดยตั้งทฤษฎีบทการแยกส่วนของ de Rham ^{[ 4 ]} หรืออีกทางหนึ่ง อาจใช้ทฤษฎีการจุ่มแบบ Riemannian ^{[ 5 ]}

ผลจากทฤษฎีบทการแยกส่วนของพวกเขา Cheeger และ Gromoll สามารถพิสูจน์ได้ว่าการปกคลุมสากลของแมนิโฟลด์ปิด ใดๆ ที่มีความโค้งริชชีไม่เป็นลบจะต้องแยกออกเป็นไอโซเมตริกตามผลคูณของแมนิโฟลด์ปิดกับปริภูมิยุคลิดหากการปกคลุมสากลสามารถหดตัวได้ ทางโทโพโลยี ก็จะตามมาว่าเมตริกทั้งหมดที่เกี่ยวข้องจะต้องแบนราบ^{[ 6 ]}

ในปี พ.ศ. 2525 Shing-Tung Yau ตั้งข้อสันนิษฐานว่า ทฤษฎีบทของ Cheeger และ Gromoll ในรูปแบบLorentzianเฉพาะ ควรจะเป็นจริง ^{[ 7 ]} Jost Eschenburg, Gregory Galloway และ Richard Newman ได้ค้นพบการพิสูจน์ในระดับความทั่วไปต่างๆ ในผลลัพธ์เหล่านี้ บทบาทของความสมบูรณ์ของเส้นจีโอเดสิกถูกแทนที่ด้วยเงื่อนไขของไฮเปอร์โบลิซิตี้ทั่วโลกหรือความสมบูรณ์ของเส้นจีโอเดสิกแบบไทม์ ไลค์ ความไม่เป็นลบของความโค้ง Ricci ถูกแทนที่ด้วย เงื่อนไขการบรรจบกันแบบไทม์ไลค์ที่ความโค้ง Ricci ไม่เป็นลบในทุกทิศทางไทม์ไลค์ เส้นจีโอเดสิกจำเป็นต้องเป็นแบบไทม์ไลค์^{[ 8 ]}