ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้หรือเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้หรือฟังก์ชันที่หาผลรวมกำลังสองได้^{[ 1 ]}คือฟังก์ชันที่วัดได้ ซึ่งมีค่า จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนซึ่งปริพันธ์ของกำลังสองของค่าสัมบูรณ์มีค่าจำกัด ดังนั้น การหาปริพันธ์กำลังสองได้บนเส้นจำนวนจริงจึงถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

อาจกล่าวได้ว่าการอินทิเกรตกำลังสองเหนือช่วงเวลาที่มีขอบเขต^เช่นสำหรับ[ ^{2 ]}${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a\leq b}$

นิยามที่เทียบเท่ากันคือ การกล่าวว่ากำลังสองของฟังก์ชันนั้นเอง (แทนที่จะเป็นค่าสัมบูรณ์ของมัน) สามารถหาปริพันธ์แบบเลเบสได้เพื่อให้เป็นเช่นนั้น ปริพันธ์ของส่วนบวกและส่วนลบของส่วนจริงจะต้องมีค่าจำกัด เช่นเดียวกับปริพันธ์ของส่วนจินตนาการ

ปริภูมิเวกเตอร์ของ (ชั้นสมมูลของ) ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ (เทียบกับมาตรวัดเลเบส ) ก่อให้เกิดปริภูมิที่มี ในบรรดาปริภูมิทั้งหมด ชั้นของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้นั้นมีความพิเศษตรงที่เข้ากันได้กับผลคูณภายในซึ่งทำให้สามารถกำหนดแนวคิดต่างๆ เช่น มุมและความเป็นตั้งฉากได้ พร้อมกับผลคูณภายในนี้ ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ก่อให้เกิดปริภูมิฮิลเบิร์ต เนื่องจาก ปริภูมิทั้งหมดสมบูรณ์ ภายใต้บรรทัดฐาน ของ แต่ละปริภูมิ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p=2.}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$

โดยทั่วไป คำนี้มักไม่ได้หมายถึงฟังก์ชันเฉพาะเจาะจง แต่หมายถึงกลุ่มฟังก์ชันที่เท่ากันเกือบทุกที่

ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ (ในความหมายที่กล่าวถึง ซึ่ง "ฟังก์ชัน" ในที่นี้หมายถึงชั้นสมมูลของฟังก์ชันที่เท่ากันเกือบทุกที่) ก่อให้เกิดปริภูมิผลคูณภายในที่มีผลคูณภายในกำหนดโดย โดย ที่ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}\ g(x)\mathrm {d} x,}$$

• ${\displaystyle f}$และเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$คือคอนจูเกตเชิงซ้อนของ${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle A}$คือเซตที่ทำการอินทิเกรต—ในนิยามแรก (ที่กล่าวไว้ในบทนำข้างต้น) คือ ส่วนใน นิยามที่สองคือ${\displaystyle A}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle [a,b]}$

เนื่องจากความสามารถในการหาปริพันธ์กำลังสองนั้นเหมือนกับการกล่าวว่า ${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$$${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้นั้นก่อให้เกิดปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ภายใต้เมตริกที่กำหนดโดยผลคูณภายในที่นิยามไว้ข้างต้น ปริภูมิเมตริกสมบูรณ์เรียกอีกอย่างว่าปริภูมิโคชีเพราะลำดับในปริภูมิเมตริกดังกล่าวจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อเป็นลำดับโคชี เท่านั้น ปริภูมิที่สมบูรณ์ภายใต้เมตริกที่กำหนดโดยนอร์มเรียกว่าปริภูมิบานาคดังนั้น ปริภูมิของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้จึงเป็นปริภูมิบานาคภายใต้เมตริกที่กำหนดโดยนอร์ม ซึ่งในทางกลับกันก็ถูกกำหนดโดยผลคูณภายใน เนื่องจากเรามีคุณสมบัติเพิ่มเติมของผลคูณภายใน นี่จึงเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยเฉพาะ เพราะปริภูมินี้สมบูรณ์ภายใต้เมตริกที่กำหนดโดยผลคูณภายใน

ปริภูมิผลคูณภายในนี้โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์และมักย่อเป็น โปรดทราบว่าหมายถึงเซตของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ แต่สัญลักษณ์นี้ไม่ได้ระบุการเลือกเมตริก นอร์ม หรือผลคูณภายในใดๆ เซต พร้อมกับผลคูณภายในที่เฉพาะเจาะจงจะระบุปริภูมิผลคูณภายใน ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$${\displaystyle L_{2}.}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$

ปริภูมิของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ คือปริภูมิซึ่ง${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p=2.}$

ฟังก์ชันที่กำหนดบนนั้นอยู่ในสำหรับแต่ไม่ใช่สำหรับ^{[ 1 ]} ฟังก์ชันที่กำหนดบนนั้นสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้^{[ 3 ]}${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$${\displaystyle (0,1),}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$${\displaystyle [1,\infty ),}$

ฟังก์ชันที่มีขอบเขตซึ่งกำหนดไว้บนนั้นสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ฟังก์ชันเหล่านี้ยังอยู่ในสำหรับค่าใดๆ ของ^{[ 3 ]}${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle L^{p},}$${\displaystyle p.}$

ฟังก์ชันที่กำหนดโดยที่ค่าที่นั้นเป็นค่าใดๆ ก็ได้ นอกจากนี้ ฟังก์ชันนี้ไม่ได้อยู่ในค่าใดๆ ของใน^{[ 3 ]}${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [1,\infty ).}$

• พื้นที่ผลิตภัณฑ์ภายใน
• ${\displaystyle L^{p}}$ปริภูมิ  – ปริภูมิฟังก์ชันที่ขยายปริภูมิ p นอร์มมิติจำกัด