การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นปัญหาการจัดเรียงที่มีเป้าหมายเพื่อหาว่า สามารถบรรจุ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่า กันทุกประการ ลงในรูปทรงที่ใหญ่กว่าได้กี่รูป ซึ่งมักจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือวงกลม

การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือปัญหาในการหาจำนวนสูงสุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย (สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวหนึ่งหน่วย) ที่สามารถบรรจุลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่กว่าที่มีด้านยาวเท่ากับ...${\displaystyle a}$. ถ้า${\displaystyle a}$ถ้าเป็นจำนวนเต็มคำตอบคือ${\displaystyle a^{2},}$แต่ปริมาณที่แน่นอน หรือแม้แต่ ปริมาณ โดยประมาณของพื้นที่ว่างที่ไม่ได้เติมเต็ม สำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มใดๆ${\displaystyle a}$เป็นคำถามที่ยังเปิดอยู่^{[ 1 ]}

ช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 5 หน่วย ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว${\displaystyle 2+1/{\sqrt {2}}\approx 2.707}$

ช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 10 หน่วย ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว${\displaystyle 3+1/{\sqrt {2}}\approx 3.707}$

11 ช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว ${\displaystyle a\approx 3.877084}$

ค่าที่น้อยที่สุดของ${\displaystyle a}$ซึ่งช่วยให้สามารถบรรจุสิ่งของได้${\displaystyle n}$เรียกว่า ตารางหน่วยเมื่อใด${\displaystyle n}$เป็นกำลังสองสมบูรณ์ (ซึ่งในกรณีนี้คือ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$) เช่นเดียวกับสำหรับ${\displaystyle n={}}$2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 15, 24, 34, 35, 46, 47 และ 48 สำหรับตัวเลขส่วนใหญ่เหล่านี้ (ยกเว้น 5 และ 10 เท่านั้น) การจัดเรียงจะเป็นแบบธรรมชาติโดยใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่วางตัวตามแนวแกน และ${\displaystyle a}$เป็น${\displaystyle \lceil {\sqrt {n}}\,\rceil }$, ที่ไหน${\displaystyle \lceil \,\ \rceil }$คือ ฟังก์ชัน เพดาน (ปัดขึ้น) ^{[ 2 ] [ 3 ]} รูปแสดงการบรรจุที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5 และ 10 ช่อง ซึ่งเป็นจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่น้อยที่สุดสองจำนวนที่การบรรจุที่เหมาะสมที่สุดเกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เอียง^{[ 4 ] [ 5 ]}

คดีที่เล็กที่สุดที่ยังหาคำตอบไม่ได้คือ${\displaystyle n=11}$เป็นที่ทราบกันว่า ไม่สามารถบรรจุสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย 11 รูปในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านน้อยกว่า ได้${\displaystyle \textstyle 2+{\frac {4}{\sqrt {5}}}\approx 3.789}$ในทางตรงกันข้าม การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัส 11 ช่องที่แน่นที่สุดที่ทราบกันนั้นอยู่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวประมาณ 3.877084 ซึ่งค้นพบโดยWalter Trump ^{[ 4 ] [ 6 ]}

กรณีที่เล็กที่สุดที่การจัดเรียงที่ดีที่สุดที่รู้จักกันดีเกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ทำมุมต่างกันสามมุมคือ${\displaystyle n=17}$มันถูกค้นพบในปี 1998 โดยจอห์น บิดเวลล์ นักศึกษาปริญญาตรีจากมหาวิทยาลัยฮาวายและมีความยาวด้านข้าง${\displaystyle a\approx 4.6756}$[ ^{4 ]​}

ด้านล่างนี้คือคำตอบขั้นต่ำสำหรับค่าต่างๆ จนถึง${\displaystyle n=12}$; กรณี${\displaystyle n=11}$ยังคงไม่ได้รับการแก้ไข: ^{[ 7 ]}

จำนวนหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส${\displaystyle n}$	ความยาวด้านข้างขั้นต่ำ${\displaystyle a}$ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่
1	1
2	2
3	2
4	2
5	2.707...	${\displaystyle 2+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$
6	3
7	3
8	3
9	3
10	3.707...	${\displaystyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$
11	3.877...  ?
12	4

ผลลัพธ์เชิงอะซิมโทติก

ปัญหาที่ยังแก้ไม่ได้ในวิชาคณิตศาสตร์

อัตราการเติบโตเชิงอะซิมโทติกของพื้นที่สูญเปล่าสำหรับการจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสี่เหลี่ยมจัตุรัสครึ่งจำนวนเต็มคือเท่าใด

ยังมีปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกในวิชาคณิตศาสตร์อีกมากมาย

สำหรับค่าความยาวด้านที่มากขึ้น${\displaystyle a}$จำนวนช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แน่นอนที่สามารถบรรจุได้${\displaystyle a\times a}$ไม่ทราบขนาดพื้นที่ที่แน่นอน การบรรจุหีบห่อสามารถทำได้เสมอ${\displaystyle \lfloor a\rfloor \!\times \!\lfloor a\rfloor }$ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่วางตัวตามแนวแกน แต่สิ่งนี้อาจเหลือพื้นที่ขนาดใหญ่โดยประมาณ${\displaystyle 2a(a-\lfloor a\rfloor )}$เปิดเผยและสูญเปล่า^{[ 4 ]} ในทางกลับกันPaul ErdősและRonald Grahamแสดงให้เห็นว่าสำหรับการบรรจุที่แตกต่างกันโดยใช้หน่วยสี่เหลี่ยมที่เอียง พื้นที่สูญเปล่าสามารถลดลงอย่างมีนัยสำคัญได้${\textstyle O(a^{7/11})\subseteq o(a^{0.637})}$(เขียนด้วยสัญลักษณ์ o เล็ก ๆ ) ^{[ 8 ]} ต่อมา Graham และFan Chungลดพื้นที่ที่สูญเปล่าลงอีก${\textstyle O(a^{0.631})}$[ ^{9 ]}และงานต่อมาช่วยลดพื้นที่ที่สูญเปล่าลง^{เหลือ}${\textstyle O(a^{0.625})}$[ ^{10 ]}แล้ว^​${\textstyle O(a^{0.6})}$[ ^{11 ]} อย่างไรก็ตาม ดังที่Klaus RothและBob Vaughan ได้พิสูจน์แล้ว^{โซลูชัน}ทั้งหมดจะต้องสิ้นเปลืองพื้นที่อย่างน้อย${\displaystyle \Omega {\bigl (}(a\cdot |a-\operatorname {round} a|)^{1/2}{\bigr )}}$โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ${\displaystyle a}$หากเป็นครึ่งจำนวนเต็มพื้นที่ที่สูญเปล่าจะมีสัดส่วนอย่างน้อยเท่ากับรากที่สองของ มัน ^{[ 12 ]}อัตราการเติบโตเชิงเส้นกำกับที่แม่นยำของพื้นที่ที่สูญเปล่า แม้แต่สำหรับความยาวด้านครึ่งจำนวนเต็ม ก็ยังคงเป็น ปัญหาที่ยัง ไม่ได้รับการแก้ไข^{[ 1 ]}

จำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสบางจำนวนอาจไม่ใช่จำนวนที่เหมาะสมที่สุดในการจัดเรียงเสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด${\displaystyle a\times a}$ช่วยให้สามารถบรรจุสิ่งของได้${\displaystyle n^{2}-2}$ถ้าเป็นหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก็ต้องเป็นเช่นนั้น${\displaystyle a\geq n}$ และการบรรจุของ${\displaystyle n^{2}}$สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยก็เป็นไปได้เช่นกัน^{[ 2 ]}

การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสในวงกลมเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการจัดเรียง สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย nรูปในวงกลมที่มีรัศมีเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ สำหรับปัญหานี้ มีคำตอบที่ดีที่ทราบแล้วสำหรับnไม่เกิน 35 ต่อไปนี้คือคำตอบขั้นต่ำที่ทราบแล้วสำหรับ n ไม่เกิน 35${\displaystyle n=12}$(แม้ว่าจะเป็นเพียงบางกรณีเท่านั้น)${\displaystyle n=1}$และ${\displaystyle n=2}$เป็นที่ทราบกันว่าเหมาะสมที่สุด): ^{[ 13 ]}

จำนวนช่องสี่เหลี่ยม	รัศมีวงกลม
1	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2\approx 0.707\ldots }$
2	${\displaystyle {\sqrt {5}}/2\approx 1.118\ldots }$
3	${\displaystyle 5{\sqrt {17}}/16\approx 1.288\ldots }$
4	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414\ldots }$
5	${\displaystyle {\sqrt {10}}/2\approx 1.581\ldots }$
6	1.688...
7	${\displaystyle {\sqrt {13}}/2\approx 1.802\ldots }$
8	1.978...
9	${\displaystyle {\sqrt {1105}}/16\approx 2.077\ldots }$
10	${\displaystyle 3{\sqrt {2}}/2\approx 2.121\ldots }$
11	2.214...
12	${\displaystyle {\sqrt {5}}\approx 2.236\ldots }$

การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสลงในรูปทรงอื่นอาจมีความซับซ้อนในการคำนวณ สูง : การทดสอบว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยขนานแกนจำนวนหนึ่งสามารถพอดีกับรูปหลายเหลี่ยม ที่กำหนดได้หรือไม่นั้น เป็นปัญหา NP-completeและยังคงเป็น NP-complete แม้กระทั่งสำหรับรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย (ที่ไม่มีรู) ที่มี ลักษณะ นูนเชิงตั้งฉากมีด้าน ขนานแกน และมีพิกัดจุดยอดเป็นจำนวนเต็มครึ่ง^{[ 14 ]}

• การจัดเรียงวงกลมในสี่เหลี่ยม
• การทำให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
• บรรจุภัณฑ์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• ปัญหาการเคลื่อนย้ายโซฟา

• ฟรีดแมน, เอริช, "สี่เหลี่ยมซ้อนสี่เหลี่ยม" , Github , ศูนย์บรรจุภัณฑ์ของเอริช