ในทฤษฎีจำนวน ผลรวมของ กำลังสาม n ตัว แรก คือกำลังสองของจำนวนสามเหลี่ยมลำดับที่nนั่นคือ

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}.}$

สมการเดียวกันนี้สามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้โดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับการหาผลรวม :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$

เอกลักษณ์นี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทของนิโคมาคัสตามชื่อของนิโคมาคัสแห่งเกราซา ( ประมาณค.ศ. 60 – 120 )

นิโคมาคัส ในตอนท้ายของบทที่ 20 ในหนังสือ Introduction to Arithmetic ของเขา ชี้ให้เห็นว่า ถ้าเราเขียนรายการของจำนวนคี่ ตัวแรกคือลูกบาศก์ของ 1 ผลรวมของสองตัวถัดไปคือลูกบาศก์ของ 2 ผลรวมของสามตัวถัดไปคือลูกบาศก์ของ 3 และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป เขาไม่ได้อธิบายไปมากกว่านี้ แต่จากนี้สรุปได้ว่า ผลรวมของลูกบาศก์แรกๆ เท่ากับผลรวมของจำนวนคี่แรกๆ นั่นคือ จำนวนคี่ตั้งแต่ 1 ถึง3 ค่าเฉลี่ยของจำนวนเหล่านี้เห็นได้ชัดว่าคือ 3 และมีจำนวนทั้งหมด 3 ตัว ดังนั้นผลรวมของจำนวนเหล่านี้คือ3 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle n(n+1)-1}$${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle \left({\tfrac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$

นักคณิตศาสตร์ยุคแรกหลายคนได้ศึกษาและพิสูจน์ทฤษฎีบทของนิโคมาคัสสโตรเกอร์ (1995)อ้างว่า "นักศึกษาทฤษฎีจำนวนทุกคนต้องประหลาดใจกับข้อเท็จจริงอันน่าอัศจรรย์นี้อย่างแน่นอน" ^{[ 1 ]}เพนเจลลีย์ (2002)พบการอ้างอิงถึงเอกลักษณ์นี้ไม่เพียงแต่ในงานของนิโคมาคัสในสิ่งที่ปัจจุบันคือจอร์แดนในศตวรรษที่ 1 เท่านั้น แต่ยังรวมถึงงานของอารยาภัตตาในอินเดียในศตวรรษที่ 5 และในงานของอัล-คาราจี ประมาณ ปี 1000ในเปอร์เซียด้วย^{[ 2 ]}เบรสซูด (2004)กล่าวถึงงานคณิตศาสตร์ยุคแรกเพิ่มเติมอีกหลายชิ้นเกี่ยวกับสูตรนี้ โดยอัล-กาบิซี (ศตวรรษที่ 10 ในอาระเบีย) เกอร์โซนิเดส ( ประมาณปี 1300ในฝรั่งเศส) และนิลากันธา โสมยาจี ( ประมาณปี 1500ในอินเดีย) เขายังได้จำลองการพิสูจน์ด้วยภาพของนิลากันธาด้วย^{[ 3 ]}

ลำดับของจำนวนสามเหลี่ยมกำลังสองคือ

ตัวเลขเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นตัวเลขเชิงรูปทรงซึ่งเป็นการขยายความแบบไฮเปอร์พีระมิดในมิติสี่ของตัวเลขสามเหลี่ยมและตัวเลข พีระมิดสี่เหลี่ยม

ตามที่Stein (1971)สังเกต ตัวเลขเหล่านี้ยังนับจำนวนสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านแนวนอนและแนวตั้งที่สร้างขึ้นในตารางตัวอย่างเช่น จุดของตาราง (หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็ก 3 รูปบนด้าน) สามารถสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แตกต่างกันได้ 36 รูป จำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสในตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะถูกนับในทำนองเดียวกันโดยตัวเลขพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 4 ]}${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 4\times 4}$

เอกลักษณ์นี้ยังยอมรับการตีความเชิงความน่าจะเป็นตามธรรมชาติได้ดังนี้ ให้n เป็นจำนวนเต็มสี่จำนวนที่ถูกเลือกแบบสุ่มอย่างอิสระและสม่ำเสมอระหว่าง 1 ถึงn แล้ว ความน่าจะเป็นที่ n เป็นจำนวนที่มากที่สุดในบรรดาสี่จำนวนนั้น เท่ากับความน่าจะเป็นที่ n มีค่าอย่างน้อยเท่ากับ n และความ น่าจะ เป็นที่ n มีค่าอย่างน้อยเท่ากับn นั่นคือสำหรับค่า n ใดๆชุดของn, n และn ที่ทำให้n มีค่ามากที่สุดจะก่อให้เกิดลูกบาศก์ดังนั้น (โดยการบวกขนาดของลูกบาศก์นี้จากตัวเลือกทั้งหมดของn) จำนวนชุดของ n ที่ทำให้ n มีค่ามากที่สุดคือผลรวมของลูกบาศก์ ซึ่งเป็นด้านซ้ายมือของเอกลักษณ์นิโคมาคัส เซตของคู่ n ที่มี n และเซตของคู่ n ที่มีn ก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว และเซตที่นับโดยด้านขวามือของสมการความน่าจะเป็นคือผลคูณคาร์ทีเซียนของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองนี้ ดังนั้นขนาดของเซตจึงเป็นกำลังสองของจำนวนสามเหลี่ยมทางด้านขวามือของเอกลักษณ์นิโคมาคัส ความน่าจะเป็นเหล่านั้นคือด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์นิโคมาคัสตามลำดับ โดยปรับให้เป็นความน่าจะเป็นโดยการหารทั้งสองข้างด้วย${\displaystyle X,Y,Z,W}$${\displaystyle n}$${\displaystyle W}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle Z}$$${\displaystyle \Pr[\max(X,Y,Z)\leq W]=\Pr[X\leq Y\wedge Z\leq W].}$$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$${\displaystyle 1\leq X,Y,Z\leq n}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X,Y,Z,W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle X\leq Y}$${\displaystyle (Z,W)}$${\displaystyle Z\leq W}$${\displaystyle n^{4}}$

Charles Wheatstone  ( 1854 ) นำเสนอการพิสูจน์ที่ง่ายเป็นพิเศษ โดยการขยายลูกบาศก์แต่ละลูกในผลรวมออกเป็นชุดของจำนวนคี่ที่ต่อเนื่องกัน เขาเริ่มต้นด้วยการให้เอกลักษณ์ เอกลักษณ์ดังกล่าวเกี่ยวข้องกับจำนวนสามเหลี่ยมในลักษณะต่อไปนี้: และดังนั้นตัวเลขที่ประกอบขึ้นเป็นจะเริ่มต้นหลังจากตัวเลขที่ประกอบขึ้นเป็นค่าก่อนหน้าทั้งหมดจนถึงการใช้คุณสมบัตินี้ร่วมกับเอกลักษณ์ที่รู้จักกันดีอีกประการหนึ่ง: ทำให้ได้การพิสูจน์ดังต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ เลขคี่ที่เรียงกัน}}}.}$$${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$$${\displaystyle n^{3}}$${\displaystyle 1^{3}}$${\displaystyle (n-1)^{3}}$$${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Row (1893)ได้รับการพิสูจน์อีกวิธีหนึ่งโดยการรวมตัวเลขในตารางการคูณ กำลัง สองในสองวิธีที่แตกต่างกัน ผลรวมของ แถวที่ iคือiคูณกับจำนวนสามเหลี่ยม จากนั้นจึงสรุปได้ว่าผลรวมของทุกแถวคือกำลังสองของจำนวนสามเหลี่ยม อีกวิธีหนึ่งคือสามารถแยกตารางออกเป็นลำดับของgnomon ที่ซ้อนกัน โดยแต่ละ gnomon ประกอบด้วยผลคูณซึ่งพจน์ที่มากกว่าของสองพจน์นั้นมีค่าคงที่ ผลรวมภายใน gnomon แต่ละตัวคือลูกบาศก์ ดังนั้นผลรวมของตารางทั้งหมดจึงเป็นผลรวมของลูกบาศก์^{[ 6 ]}

ในเอกสารทางคณิตศาสตร์ที่ใหม่กว่าEdmonds (1957)ได้ให้การพิสูจน์โดยใช้ ผลรวม โดยส่วน^{[ 7 ]} Stein (1971)ใช้การตีความการนับสี่เหลี่ยมของตัวเลขเหล่านี้เพื่อสร้างการพิสูจน์ทางเรขาคณิตของเอกลักษณ์^{[ 8 ]} Stein สังเกตว่าอาจพิสูจน์ได้ง่าย (แต่ไม่มีข้อมูล) โดยการอุปนัย และระบุว่าToeplitz (1963)ให้ "การพิสูจน์ภาษาอาหรับแบบเก่าที่น่าสนใจ" ^{[ 4 ]} Kanim (2004)ให้การพิสูจน์ด้วยภาพล้วนๆ^{[ 9 ]} Benjamin & Orrison (2002)ให้การพิสูจน์เพิ่มเติมอีกสองแบบ^{[ 10 ]}และNelsen (1993)ให้การพิสูจน์ทางเรขาคณิตเจ็ดแบบ^{[ 11 ]}

ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันกับทฤษฎีบทของนิโคมาคัสใช้ได้กับผลรวมกำลัง ทั้งหมด กล่าวคือ ผลรวมกำลังคี่ (ผลรวมของกำลังคี่) เป็นพหุนามในจำนวนสามเหลี่ยม สิ่งเหล่านี้เรียกว่าพหุนามฟอลฮาเบอร์ซึ่งผลรวมของกำลังสามเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดและสง่างามที่สุด อย่างไรก็ตาม ในกรณีอื่น ๆ ผลรวมกำลังหนึ่งจะไม่เป็นกำลังสองของผลรวมกำลังอื่น^{[ 7 ]}

Stroeker (1995)ศึกษาเงื่อนไขทั่วไปเพิ่มเติมที่ผลรวมของลำดับลูกบาศก์ที่ต่อเนื่องกันก่อให้เกิดกำลังสอง^{[ 1 ]} Garrett & Hummel (2004)และWarnaar (2004)ศึกษาอนาล็อกพหุนามของสูตรจำนวนสามเหลี่ยมกำลังสอง ซึ่งอนุกรมของพหุนามบวกกับกำลังสองของพหุนามอื่น^{[ 12 ]}

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ทฤษฎีบทของนิโคมาคัส" , MathWorld
• การพิสูจน์ทฤษฎีบทของนิโคมาคัสด้วยภาพ(เก็บถาวรเมื่อ 2019-10-19 ที่Wayback Machine)