ในทางสถิติค่ามาตรฐานหรือค่าzคือจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ค่าของคะแนนดิบ (เช่น ค่าที่สังเกตได้หรือจุดข้อมูล) อยู่เหนือหรือต่ำกว่า ค่า เฉลี่ยของสิ่งที่กำลังสังเกตหรือวัดอยู่ คะแนนดิบที่อยู่เหนือค่าเฉลี่ยจะมีค่ามาตรฐานเป็นบวก ในขณะที่คะแนนดิบที่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยจะมีค่ามาตรฐานเป็นลบ

ค่ามาตรฐานคำนวณได้จากการลบ ค่า เฉลี่ยของประชากร ออก จากคะแนนดิบของแต่ละบุคคล แล้วหารผลต่างด้วย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของประชากรกระบวนการแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนมาตรฐานนี้เรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐานหรือการทำให้เป็นค่าปกติ (อย่างไรก็ตาม คำว่า "การทำให้เป็นค่าปกติ" อาจหมายถึงอัตราส่วนหลายประเภท โปรดดู หัวข้อ การทำให้เป็นค่าปกติสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม)

คะแนนมาตรฐานมักเรียกว่าคะแนนz ; ทั้งสองคำสามารถใช้แทนกันได้ ดังเช่นที่ใช้ในบทความนี้ คำอื่นที่เทียบเท่ากันที่ใช้กัน ได้แก่ค่า z , สถิติ z , คะแนนปกติ , ตัวแปรมาตรฐานและแรงดึงในฟิสิกส์พลังงานสูง^{[ 1 ] [ 2 ]}

การคำนวณค่า z-score จำเป็นต้องทราบค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรทั้งหมดที่ข้อมูลนั้นเป็นส่วนหนึ่งอยู่ หากเรามีเพียงตัวอย่างข้อมูลจากประชากร การคำนวณในลักษณะเดียวกันโดยใช้ค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างจะให้ค่าสถิติ t -statistic

หากทราบค่าเฉลี่ยของประชากรและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร คะแนนดิบ xจะถูกแปลงเป็นคะแนนมาตรฐานโดย^{[ 3 ]}

$${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$$

ที่ไหน:

• μคือค่าเฉลี่ยของประชากร
• σคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ค่าสัมบูรณ์ของzแสดงถึงระยะห่างระหว่างคะแนนดิบxกับค่าเฉลี่ยของประชากรในหน่วยของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานzจะเป็นค่าลบเมื่อคะแนนดิบต่ำกว่าค่าเฉลี่ย และเป็นค่าบวกเมื่อสูงกว่าค่าเฉลี่ย

การคำนวณค่าzโดยใช้สูตรนี้ จำเป็นต้องใช้ค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง อย่างไรก็ตาม การทราบค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แท้จริงของประชากรนั้น มักเป็นความคาดหวังที่ไม่สมจริง ยกเว้นในกรณีเช่นการทดสอบมาตรฐานที่มีการวัดประชากรทั้งหมด

เมื่อค่าเฉลี่ยของประชากรและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรไม่เป็นที่ทราบ สามารถประมาณคะแนนมาตรฐานได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างเป็นค่าประมาณของค่าประชากร^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

ในกรณีเหล่านี้ ค่าz -score จะคำนวณได้จากสูตร

$${\displaystyle z={\frac {x-{\bar {x}}}{S}}}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle {\bar {x}}}$คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง
• Sคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง

ถึงแม้ว่าจะต้องระบุให้ชัดเจนเสมอ แต่บ่อยครั้งที่ไม่ได้มีการแยกแยะความแตกต่างระหว่างการใช้สถิติประชากรและสถิติตัวอย่าง ในทั้งสองกรณี ตัวเศษและตัวส่วนของสมการมีหน่วยวัดเดียวกัน ดังนั้นหน่วยจึงตัดกันไปเมื่อหารกัน และzจึงกลายเป็นปริมาณที่ไม่มีหน่วย

ค่า z-score มักใช้ในการทดสอบ z ในการทดสอบมาตรฐาน ซึ่งเป็นแบบทดสอบที่เทียบได้กับการทดสอบ t ของนักเรียนสำหรับประชากรที่มีพารามิเตอร์ที่ทราบแล้ว ไม่ใช่พารามิเตอร์ที่ประมาณค่า เนื่องจากเป็นเรื่องไม่ปกติที่จะทราบข้อมูลของประชากรทั้งหมด การทดสอบ t จึงถูกใช้กันอย่างแพร่หลายมากกว่า

คะแนนมาตรฐานสามารถใช้ในการคำนวณช่วงการทำนายได้ช่วงการทำนาย[ L , U ]ซึ่งประกอบด้วยจุดปลายล่างที่กำหนดเป็นLและจุดปลายบนที่กำหนดเป็นUคือช่วงเวลาที่การสังเกตในอนาคตXจะอยู่ในช่วงนั้นด้วยความน่าจะเป็นสูงกล่าวคือ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \Pr(L<X<U)=\gamma ,}$$

สำหรับคะแนนมาตรฐานZของXจะได้ว่า: ^{[ 8 ]} โดยการกำหนดควอนไทล์ z ดัง ต่อไปนี้: $${\displaystyle \Pr {\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}<Z<{\frac {U-\mu }{\sigma }}\right)}=\gamma .}$$$${\displaystyle \Pr \left(-z<Z<z\right)=\gamma }$$$${\displaystyle L=\mu -z\sigma ,\ U=\mu +z\sigma }$$

ในแอปพลิเคชันการควบคุมกระบวนการ ค่า Z จะช่วยประเมินระดับที่กระบวนการทำงานเบี่ยงเบนจากเป้าหมาย

เมื่อวัดคะแนนในมาตราส่วนที่แตกต่างกัน อาจแปลงเป็นคะแนน z เพื่อช่วยในการเปรียบเทียบ Dietz et al. ^{[ 9 ]}ยกตัวอย่างต่อไปนี้ โดยเปรียบเทียบคะแนนของนักเรียนใน การสอบ SATและACTระดับมัธยมปลาย (แบบเก่า) ตารางแสดงค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนรวมในการสอบ SAT และ ACT สมมติว่านักเรียน A ได้คะแนน 1800 ในการสอบ SAT และนักเรียน B ได้คะแนน 24 ในการสอบ ACT นักเรียนคนใดทำได้ดีกว่าเมื่อเทียบกับผู้เข้าสอบคนอื่นๆ

ค่า z-score ของนักเรียน A คือ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {1800-1500}{300}}=1}$

ค่า z-score ของนักเรียน B คือ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {24-21}{5}}=0.6}$

เนื่องจากนักเรียน A มีค่า z-score สูงกว่านักเรียน B ดังนั้น นักเรียน A จึงทำได้ดีกว่าผู้เข้าสอบคนอื่นๆ เมื่อเทียบกับนักเรียน B

จากตัวอย่างคะแนน ACT และ SAT เดิม หากเราสมมติเพิ่มเติมว่าทั้งคะแนน ACT และ SAT มีการกระจายแบบปกติ (ซึ่งถูกต้องโดยประมาณ) แล้ว คะแนน z สามารถนำมาใช้คำนวณเปอร์เซ็นต์ของผู้เข้าสอบที่ได้รับคะแนนต่ำกว่านักเรียน A และ B ได้

"สำหรับเทคนิคหลายตัวแปรบางอย่าง เช่น การปรับขนาดหลายมิติและการวิเคราะห์คลัสเตอร์ แนวคิดเรื่องระยะห่างระหว่างหน่วยในข้อมูลมักมีความน่าสนใจและสำคัญอย่างมาก... เมื่อตัวแปรในชุดข้อมูลหลายตัวแปรอยู่ในมาตราส่วนที่แตกต่างกัน การคำนวณระยะห่างหลังจากมาตรฐานบางรูปแบบจึงสมเหตุสมผลกว่า" ^{[ 10 ]}

ในการวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก "ตัวแปรที่วัดบนมาตราส่วนที่แตกต่างกันหรือบนมาตราส่วนทั่วไปที่มีช่วงที่แตกต่างกันอย่างกว้างขวางมักจะถูกทำให้เป็นมาตรฐาน" ^{[ 11 ]}

บางครั้ง การกำหนดมาตรฐานของตัวแปรก่อนการวิเคราะห์การถดถอยหลาย ตัวแปร ถูกใช้เพื่อช่วยในการตีความ^{[ 12 ]} (หน้า 95) ระบุดังต่อไปนี้

"ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยมาตรฐาน คือ ค่าสัมประสิทธิ์ในสมการถดถอยหาก X และ Y ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน ... การทำให้ X และ Y เป็นมาตรฐานทำได้โดยการลบค่าเฉลี่ยของแต่ละชุดข้อมูล และหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของแต่ละชุดข้อมูล ... ในการถดถอยพหุตัวแปร ซึ่งใช้ตัวแปร X หลายตัว ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยมาตรฐานจะบ่งบอกถึงส่วนร่วมสัมพัทธ์ของแต่ละตัวแปร X"

อย่างไรก็ตาม Kutner et al. ^{[ 13 ]} (หน้า 278) ให้ข้อควรระวังดังต่อไปนี้: "...ต้องระมัดระวังในการตีความค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยใดๆ ไม่ว่าจะได้มาตรฐานหรือไม่ก็ตาม เหตุผลก็คือเมื่อตัวแปรทำนายมีความสัมพันธ์กันเอง... ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยจะได้รับผลกระทบจากตัวแปรทำนายอื่นๆ ในแบบจำลอง... ขนาดของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยที่ได้มาตรฐานจะได้รับผลกระทบไม่เพียงแต่จากการมีความสัมพันธ์กันระหว่างตัวแปรทำนายเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระยะห่างของการสังเกตในแต่ละตัวแปรเหล่านี้ด้วย บางครั้งระยะห่างเหล่านี้อาจเป็นไปโดยพลการ ดังนั้นโดยปกติแล้วจึงไม่ควรตีความขนาดของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยที่ได้มาตรฐานว่าสะท้อนถึงความสำคัญเชิงเปรียบเทียบของตัวแปรทำนาย"

ในสถิติเชิงคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่มXจะถูกทำให้เป็นค่ามาตรฐานโดยการลบค่าเฉลี่ย ของมันออก แล้ว หารผลต่างด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน:${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\textstyle \sigma (X)={\sqrt {\ชื่อผู้ดำเนินการ {Var} (X)}}}$

$${\displaystyle Z={\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma (X)}}}$$

ถ้าตัวแปรสุ่มที่กำลังพิจารณาคือค่า เฉลี่ยของตัวอย่างสุ่มX :${\displaystyle \ X_{1},\dots ,X_{n}}$

$${\displaystyle {\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$$

ดังนั้นเวอร์ชันมาตรฐานคือ

$${\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\operatorname {E} [{\bar {X}}]}{\sigma (X)/{\sqrt {n}}}}}$$

โดยที่ค่าความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่างมาตรฐานคำนวณได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}\operatorname {Var} (x_{i})=n\operatorname {Var} (x_{i})=n\sigma ^{2}\\[1ex]\textstyle \operatorname {Var} ({\overline {X}})=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}\right)={\dfrac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} \left(\sum _{i}x_{i}\right)={\dfrac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\dfrac {\sigma ^{2}}{n}}\end{aligned}}}$$

ในการประเมินทางการศึกษาคะแนน Tเป็นคะแนนมาตรฐาน Z ที่ปรับเปลี่ยนและปรับขนาดให้มีค่าเฉลี่ย 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}นอกจากนี้ยังรู้จักกันในชื่อเฮนซาจิในภาษาญี่ปุ่น ซึ่งแนวคิดนี้เป็นที่รู้จักและใช้กันอย่างแพร่หลายมากขึ้นในบริบทของการรับเข้าเรียนในโรงเรียนมัธยมและมหาวิทยาลัย^{[ 17 ]}

ในการวัดความหนาแน่นของกระดูกค่า T-scoreเป็นคะแนนมาตรฐานของการวัดเมื่อเทียบกับประชากรผู้ใหญ่ที่มีสุขภาพดีอายุ 30 ปี โดยมีค่าเฉลี่ยปกติที่ 0 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ 1 ^{[ 18 ]}

• สัมประสิทธิ์ความแปรผัน
• ฟังก์ชันข้อผิดพลาด
• ระยะทางมาฮาลาโนบิส
• การทำให้เป็นมาตรฐาน (ทางสถิติ)
• อัตราส่วนโอเมก้า
• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานปกติ
• ส่วนที่เหลือของนักเรียน

• แคร์โรลล์, ซูซาน โรเวซซี; แคร์โรลล์, เดวิด เจ. (2002). สถิติแบบง่ายสำหรับผู้นำโรงเรียน (ฉบับภาพประกอบ). โรว์แมน แอนด์ ลิตเติลฟิลด์. ISBN 978-0-8108-4322-6สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 7 มิถุนายน 2552
• Larsen, Richard J.; Marx, Morris L. (2000). บทนำสู่สถิติทางคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่สาม). Prentice Hall. หน้า 282. ISBN 0-13-922303-7.

• เครื่องคำนวณค่า z-score