ในสาขาคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันสถานะของระบบตัวดำเนินการคือฟังก์ชันเชิงเส้นบวกที่มีนอร์ม 1 สถานะในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเป็นการขยายแนวคิดของเมทริกซ์ความหนาแน่นในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแสดงถึงสถานะควอนตัมทั้งสถานะผสมและสถานะบริสุทธิ์เมทริกซ์ความหนาแน่นในทางกลับกันเป็นการขยายเวกเตอร์สถานะซึ่งแสดงถึงสถานะบริสุทธิ์เท่านั้น สำหรับMซึ่งเป็นระบบตัวดำเนินการในพีชคณิตC*-A ที่มีเอกลักษณ์ เซตของสถานะทั้งหมดของM ซึ่งบางครั้งแสดงด้วย S( M ) นั้นเป็นเซตแบบนูน ปิดแบบ weak-* ในปริภูมิคู่ของ Banach M ^*ดังนั้นเซตของสถานะทั้งหมดของMที่มีโทโพโลยีแบบ weak-* จึงก่อให้เกิดปริภูมิ Hausdorff ที่กะทัดรัด ซึ่งรู้จักกันในชื่อปริภูมิสถานะของMในการกำหนดสูตรพีชคณิต C* ของกลศาสตร์ควอนตัม สถานะในความหมายก่อนหน้านี้สอดคล้องกับสถานะทางกายภาพ กล่าวคือ การแมปจากปริมาณที่สังเกตได้ทางกายภาพ (องค์ประกอบสมมาตรของพีชคณิต C*-) ไปยังผลลัพธ์การวัดที่คาดหวัง (จำนวนจริง)

สถานะต่างๆ สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายแบบไม่สลับที่ของการวัดความน่าจะ เป็น ตามการแสดงแทนของ Gelfandพีชคณิต C*-สลับที่A ทุกตัว จะมีรูปแบบC ₀ ( X ) สำหรับ Hausdorff X ที่มีความกะทัดรัดเฉพาะที่ ในกรณีนี้S ( A ) ประกอบด้วยการวัด Radon ที่เป็นบวก บนXและสถานะบริสุทธิ์คือฟังก์ชันการประเมินค่าบน X

โดยทั่วไปแล้วโครงสร้าง GNSแสดงให้เห็นว่าทุกสถานะ หลังจากเลือกการแสดงแทนที่เหมาะสมแล้ว จะเป็นสถานะเวกเตอร์

ฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนพีชคณิต C* -Aเรียกว่าเป็น ฟังก์ชัน สมมาตรในตัวเอง (self-adjoint functional)ถ้ามันมีค่าเป็นจำนวนจริงบนองค์ประกอบสมมาตรในตัวเองของAฟังก์ชันสมมาตรในตัวเองเป็นอนาล็อกแบบไม่สลับที่ของมาตรวัดที่มีเครื่องหมาย (signed measures )

การแยกส่วนแบบจอร์แดนในทฤษฎีการวัดกล่าวว่า การวัดแบบมีเครื่องหมายทุกแบบสามารถแสดงได้ในรูปผลต่างของการวัดบวกสองแบบที่รองรับบนเซตที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งสามารถขยายไปสู่บริบทที่ไม่สลับที่ได้

จากการแยกส่วนข้างต้น สรุปได้ว่าA*คือปริภูมิเชิงเส้นของสถานะ

ตามทฤษฎีบท Krein-MilmanปริภูมิสถานะของMมีจุดสุดขั้วจุดสุดขั้วของปริภูมิสถานะเรียกว่าสถานะบริสุทธิ์และสถานะอื่นๆ เรียกว่าสถานะ ผสม

สำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตHและเวกเตอร์xในHสูตร ω _x ( T ) := ⟨ Tx , x ⟩ (สำหรับTในB(H) ) กำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นบวกบนB(H)เนื่องจาก ω _x ( 1 )=|| x || ²ดังนั้น ω _xจะเป็นสถานะก็ต่อเมื่อ || x ||=1 ถ้าAเป็น C*-subalgebra ของB(H)และMเป็นระบบตัวดำเนินการในAแล้ว การจำกัด ω _xบนMจะกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นบวกบนMสถานะของMที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้จากเวกเตอร์หน่วยในHเรียกว่าสถานะเวกเตอร์ ของM

รัฐจะมีความซื่อสัตย์หากหมายความว่า... ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau (a^{*}a)=0}$${\displaystyle a=0}$

สถานะหนึ่งเรียกว่าปกติก็ต่อเมื่อสำหรับเน็ตของตัวดำเนินการแบบโมโนโทนที่เพิ่มขึ้นทุกตัวซึ่งมีขอบเขตบนน้อยที่สุดจะ ลู่เข้าสู่ ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle H_{\alpha }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \tau (H_{\alpha })\;}$${\displaystyle \tau (H)\;}$

รัฐที่แบ่งแยกทางเชื้อชาติคือ รัฐที่มีลักษณะดังนี้ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau (AB)=\tau (BA)\;.}$

สำหรับพีชคณิต C* ที่แยกส่วนได้ใดๆ เซตของสถานะร่องรอยจะเป็นซิมเพล็กซ์ Choquet

สถานะแฟกทอเรียลของพีชคณิต C*-A คือสถานะที่คอมมิวแทนต์ของการแสดงแทน GNS ที่สอดคล้องกันของAเป็นแฟกทอรี

• สถานะควอนตัม
• การก่อสร้างเกลฟานด์–ไนมาร์ก–ซีกัล
• กลศาสตร์ควอนตัม
  • สถานะควอนตัม
  • เมทริกซ์ความหนาแน่น