เส้นโค้งสีเขียวซึ่งเข้าใกล้ค่า 0 และ 1 อย่างไม่สิ้นสุดโดยไม่ถึงค่าเหล่านั้น คือฟังก์ชันการกระจายสะสมที่ แท้จริง ของการแจกแจงปกติมาตรฐานขีดสีเทาแสดงถึงค่าสังเกตในตัวอย่าง เฉพาะ ที่สุ่มมาจากการแจกแจงนั้น และขั้นแนวนอนของฟังก์ชันขั้นสีน้ำเงิน (รวมจุดซ้ายสุดในแต่ละขั้น แต่ไม่รวมจุดขวาสุด) ก่อให้เกิดฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ของตัวอย่างนั้น ()

ในทางสถิติฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ ( หรือเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันการกระจายสะสมเชิงประจักษ์ eCDF ) ^{คือฟังก์ชันการกระจายที่เกี่ยวข้องกับการวัดเชิงประจักษ์ของตัวอย่าง [ 1 ]}ฟังก์ชันการกระจายสะสมนี้เป็นฟังก์ชันขั้น^{บันไดที่}กระโดดขึ้น 1 / nที่จุดข้อมูล n จุดแต่ละจุดค่าของฟังก์ชันนี้ที่ค่าที่กำหนดของตัวแปรที่วัดได้คือเศษส่วนของการสังเกตของตัวแปรที่วัดได้ซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าที่กำหนด

ฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์เป็นการประมาณค่าของฟังก์ชันการแจกแจงสะสมที่สร้างจุดต่างๆ ในตัวอย่าง โดยจะลู่เข้าสู่การแจกแจงพื้นฐานนั้นด้วยความน่าจะเป็น 1 ตามทฤษฎีบทของ Glivenko–Cantelliมีผลลัพธ์หลายอย่างที่ใช้ในการหาปริมาณอัตราการลู่เข้าของฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ไปยังฟังก์ชันการแจกแจงสะสมพื้นฐาน การประมาณค่าเชิงประจักษ์อย่างง่ายคือการแจกแจง ความถี่

ให้( X ₁ , …, X _n )เป็นตัวแปรสุ่มจริงที่เป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน โดยมี ฟังก์ชันการกระจายสะสม ร่วมกันคือ F ( t )จากนั้นฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์จะถูกกำหนดเป็น^{[ 2 ]} โดยที่เป็นตัวบ่งชี้ของเหตุการณ์Aสำหรับt ที่กำหนด ตัวบ่งชี้เป็นตัวแปรสุ่มเบอร์นูลีที่มีพารามิเตอร์p = F ( t )ดังนั้นเป็นตัวแปรสุ่มทวินามที่มีค่าเฉลี่ยnF ( t )และความแปรปรวนnF ( t )(1 − F ( t ))ซึ่ง หมายความว่าเป็น ตัวประมาณ ที่ไม่เอนเอียงสำหรับF ( t )$${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)={\frac {{\text{จำนวนองค์ประกอบในตัวอย่าง}}\leq t}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{X_{i}\leq t},}$$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$${\displaystyle \mathbf {1} _{X_{i}\leq t}}$${\displaystyle n{\widehat {F}}_{n}(t)}$${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)}$

ในตำราเรียนบางเล่ม ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ถูกกำหนดไว้ดังนี้^{[ 3 ] [ 4 ]} อย่างไรก็ตาม เนื่องจากอัตราส่วน( n + 1)/ nเข้าใกล้ 1 เมื่อnเข้าสู่อนันต์ คุณสมบัติเชิงอะซิมโทติกของคำจำกัดความทั้งสองจึงเหมือนกัน $${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{X_{i}\leq t}}$$

ตามกฎจำนวนมากที่เข้มงวดตัวประมาณจะลู่เข้าสู่F ( t )เมื่อn → ∞ เกือบแน่นอนสำหรับทุกค่าของt : ^{[ 2 ]} ดังนั้นตัวประมาณจึงสอดคล้องกันนิพจน์นี้ยืนยันการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดของฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ไปยังฟังก์ชันการกระจายสะสมที่แท้จริง มีผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งกว่าที่เรียกว่าทฤษฎีบท Glivenko–Cantelliซึ่งระบุว่าการลู่เข้าเกิดขึ้นอย่างสม่ำเสมอเหนือt : ^{[ 5 ]} นอร์มสูงสุดในนิพจน์นี้เรียกว่าสถิติ Kolmogorov–Smirnovสำหรับการทดสอบความเหมาะสมระหว่างการกระจายเชิงประจักษ์และฟังก์ชันการกระจายสะสมที่แท้จริงที่สมมติขึ้นFฟังก์ชันนอร์มอื่น ๆอาจใช้ได้อย่างเหมาะสมที่นี่แทนนอร์มสูงสุด ตัวอย่างเช่น^{นอร์ม} L2 ก่อให้เกิดสถิติ Cramér–von Mises ${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)}$$${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)\ {\xrightarrow {\text{as}}}\ F(t);}$$${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)}$$${\displaystyle \left\|{\widehat {F}}_{n}-F\right\|_{\infty }\equiv \sup _{t\in \mathbb {R} }\left|{\widehat {F}}_{n}(t)-F(t)\right|\xrightarrow {} \ 0.}$$${\textstyle {\widehat {F}}_{n}(t)}$

การกระจายแบบอะซิมโทติกสามารถอธิบายลักษณะเพิ่มเติมได้หลายวิธี ประการแรก ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางระบุว่าจุดต่อจุดมีการกระจายแบบปกติอะซิมโทติกด้วยอัตราการล convergence มาตรฐาน: ^{[ 2 ]} ผลลัพธ์นี้ได้รับการขยายโดยทฤษฎีบทของดอนสเกอร์ซึ่งยืนยันว่ากระบวนการเชิงประจักษ์เมื่อมองว่าเป็นฟังก์ชันที่มีดัชนีโดย จะลู่เข้าในการกระจายในปริภูมิสโกโรค็อด ไปยัง กระบวนการเกาส์ เซียน ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์โดยที่Bคือสะพานบราวน์มาตรฐาน^{[ 5 ]}โครงสร้างความแปรปรวนร่วมของกระบวนการเกาส์เซียนนี้คือ อัตราการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอในทฤษฎีบทของดอนสเกอร์สามารถวัดปริมาณได้ด้วยผลลัพธ์ที่เรียกว่าการฝังแบบฮังการี : ^{[ 6 ]}${\textstyle {\widehat {F}}_{n}(t)}$${\textstyle {\sqrt {n}}}$$${\displaystyle {\sqrt {n}}{\big (}{\widehat {F}}_{n}(t)-F(t){\big )}\ \ {\xrightarrow {d}}\ \ {\mathcal {N}}{\Big (}0,F(t){\big (}1-F(t){\big )}{\Big )}.}$$${\textstyle {\sqrt {n}}({\widehat {F}}_{n}-F)}$${\textstyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle D[-\infty ,+\infty ]}$${\textstyle G_{F}=B\circ F}$$${\displaystyle \operatorname {E} [\,G_{F}(t_{1})G_{F}(t_{2})\,]=F(t_{1}\wedge t_{2})-F(t_{1})F(t_{2}).}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{\ln ^{2}n}}\left\|{\sqrt {n}}({\widehat {F}}_{n}-F)-G_{F,n}\right\|_{\infty }<\infty ,\quad {\text{a.s.}}}$$

อีกทางเลือกหนึ่ง อัตราการลู่เข้าของสามารถวัดปริมาณได้ในแง่ของพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของนอร์มสูงสุดของนิพจน์นี้ มีผลลัพธ์จำนวนมากในเรื่องนี้ ตัวอย่างเช่นอสมการ Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitzให้ขอบเขตของความน่าจะเป็นส่วนหางของ: ^{[ 6 ]} ในความเป็นจริง Kolmogorov ได้แสดงให้เห็นว่าหากฟังก์ชันการกระจายสะสมFมีความต่อเนื่อง นิพจน์จะลู่เข้าในการกระจายไปยังซึ่งมีการกระจาย Kolmogorovที่ไม่ขึ้นอยู่กับรูปแบบของ F${\displaystyle {\sqrt {n}}({\widehat {F}}_{n}-F)}$${\textstyle {\sqrt {n}}\left\|{\widehat {F}}_{n}-F\right\|_{\infty }}$$${\displaystyle \Pr \!{\Big (}{\sqrt {n}}\|{\widehat {F}}_{n}-F\|_{\infty }>z{\Big )}\leq 2e^{-2z^{2}}.}$$${\textstyle {\sqrt {n}}\left\|{\widehat {F}}_{n}-F\right\|_{\infty }}$${\textstyle \left\|B\right\|_{\infty }}$

ผลลัพธ์อีกประการหนึ่งซึ่งเป็นผลมาจากกฎของลอการิทึมแบบวนซ้ำคือ^{[ 6 ]} และ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt {\frac {n}{2\ln \ln n}}}\left\|{\widehat {F}}_{n}-F\right\|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}},\quad {\text{a.s.}}}$$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\sqrt {2n\ln \ln n}}\left\|{\widehat {F}}_{n}-F\right\|_{\infty }={\frac {\pi }{2}},\quad {\text{a.s.}}}$$

ตามอสมการของ Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitzช่วงที่ประกอบด้วยฟังก์ชันการกระจายสะสมที่แท้จริง (CDF) ด้วยความน่าจะเป็นจะถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle 1-\alpha }$

$${\displaystyle F_{n}(x){-}\varepsilon \leq F(x)\leq F_{n}(x){+}\varepsilon \;{\text{ where }}\varepsilon ={\sqrt {\frac {\ln {\frac {2}{\alpha }}}{2n}}}.}$$

ตามขอบเขตข้างต้น เราสามารถสร้างกราฟ CDF เชิงประจักษ์ CDF และช่วงความเชื่อมั่นสำหรับชุดข้อมูลต่างๆ โดยใช้การดำเนินการทางสถิติแบบใดแบบหนึ่งก็ได้

ตัวอย่างโปรแกรมที่ใช้ฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ (Empirical Distribution Function) มีดังต่อไปนี้ (แต่ไม่ครบถ้วนสมบูรณ์):

• ในซอฟต์แวร์ Rเราคำนวณฟังก์ชันการกระจายสะสมเชิงประจักษ์ โดยมีวิธีการต่างๆ สำหรับการพล็อต การพิมพ์ และการคำนวณด้วยออบเจ็กต์ "ecdf" ดังกล่าว
• ในGNU OctaveหรือMATLABเราสามารถใช้กราฟฟังก์ชันการกระจายสะสมเชิงประจักษ์ (cdf) ได้
• คำสั่ง jmp จาก SASจะสร้างกราฟแสดงฟังก์ชันการกระจายสะสมเชิงประจักษ์ (Cumulative Distribution Function: CDF plot)
• Minitabสร้างฟังก์ชันการกระจายสะสมเชิงประจักษ์ (Empirical CDF)
• Mathwaveช่วยให้เราสามารถปรับการแจกแจงความน่าจะเป็นให้เข้ากับข้อมูลของเราได้
• Dataplotเราสามารถสร้างกราฟ CDF เชิงประจักษ์ได้
• ใน Scipyเราสามารถใช้ scipy.stats.ecdf ได้
• เราสามารถใช้ statsmodels.distributions.empirical_distribution.ECDF กับStatsmodels ได้
• Matplotlibโดยใช้ฟังก์ชัน matplotlib.pyplot.ecdf (ใหม่ในเวอร์ชัน 3.8.0) ^{[ 7 ]}
• Seabornโดยใช้ฟังก์ชัน seaborn.ecdfplot
• Plotlyโดยใช้ฟังก์ชัน plotly.express.ecdf
• ใน Excelเราสามารถสร้างกราฟ CDF เชิงประจักษ์ได้
• ArviZใช้ฟังก์ชันaz.plot_dist

• ฟังก์ชันCàdlàg
• นับข้อมูล
• การวิเคราะห์ความถี่สะสม
• การปรับการกระจาย
• ความไม่เท่าเทียมกันของดโวเรตซกี้-คีเฟอร์-โวลโฟวิทซ์
• ความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์
• กระบวนการเชิงประจักษ์
• การประมาณค่าควอนไทล์จากตัวอย่าง
• ความถี่ (สถิติ)
• ความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์
• ตัวประมาณค่า Kaplan–Meierสำหรับกระบวนการที่ถูกตัดตอน
• ฟังก์ชันการอยู่รอด
• แผนภูมิ Q–Q

• Shorack, GR ; Wellner, JA (1986). กระบวนการเชิงประจักษ์พร้อมการประยุกต์ใช้กับสถิติ . นิวยอร์ก: Wiley. ISBN 0-471-86725-X.

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์