ปัญหาของสตีนร็อด

Q: ผลลัพธ์

องค์ประกอบทั้งหมดของ ชม เค ( X ) {\displaystyle H_{k}(X)} สามารถสร้างได้โดยแมนิโฟลด์เรียบที่จัดเตรียมไว้ให้ เค ≤ 6 {\displaystyle k\leq 6} นอกจากนี้ วงจรใดๆ ก็สามารถเกิดขึ้นได้จากการแมปของ แมนิโฟลด์ เสมือน [ 3 ]

ในคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีโฮโมโลยีปัญหาของสตีนรอด (ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์นอร์แมน สตีนรอด ) เป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสร้างคลาสโฮโมโลยีโดยแมนิโฟลด์เอกฐาน^{[ 1 ]}

สูตร

อนุญาต $M$ เป็น แมนิโฟลด์ แบบปิดและมีทิศทางที่มีมิติ $n$ และปล่อยให้ $[M]\in H_{n}(M)$ จะเป็นชั้นเรียนปฐมนิเทศ ที่นี่ $H_{n}(M)$ หมายถึงปริพันธ์ $n$ กลุ่มโฮโมโลจีมิติของ $M$ แผนที่ต่อเนื่องใดๆ $f\colon M\to X$ กำหนดโฮโมมอร์ฟิซึม ที่เหนี่ยวนำ $f_{*}\colon H_{n}(M)\to H_{n}(X)$ [ ²^]คลาสโฮโมโลยี^ของ $H_{n}(X)$ เรียกว่าสามารถนำไปปฏิบัติได้จริง หากอยู่ในรูปแบบดังกล่าว $f_{*}[M]$ สำหรับท่อร่วมไอดีบางท่อ $M$ และแผนที่ $f:M\to X$ ปัญหาของสตีนรอดเกี่ยวข้องกับการอธิบายคลาสโฮโมโลยีที่สามารถสร้างได้ของ $H_{n}(X)$ [ ³^]

ผลลัพธ์

องค์ประกอบทั้งหมดของ $H_{k}(X)$ สามารถสร้างได้โดยแมนิโฟลด์เรียบที่จัดเตรียมไว้ให้ $k\leq 6$ นอกจากนี้ วงจรใดๆ ก็สามารถเกิดขึ้นได้จากการแมปของแมนิโฟลด์เสมือน^{[ 3 ]}

ข้อสมมติที่ว่าMเป็นแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้นั้นสามารถผ่อนคลายได้ ในกรณีของแมนิโฟลด์ที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ ทุกคลาสโฮโมโลยีของ $H_{n}(X,\mathbb {Z} _{2})$ , ที่ไหน $\mathbb {Z} _{2}$ หมายถึงจำนวนเต็ม มอดูล 2 ซึ่งสามารถสร้างได้จากแมนิโฟลด์ที่ไม่กำหนดทิศทาง $f\colon M^{n}\to X$ [ ³^]

ข้อสรุป

สำหรับแมนิโฟลด์เรียบMปัญหาจะลดลงเหลือเพียงการหาฟอร์มของโฮโมมอร์ฟิซึม $\Omega _{n}(X)\to H_{n}(X)$ , ที่ไหน $\Omega _{n}(X)$ เป็นกลุ่มบอร์ดิซึมเชิงทิศทาง^{ของ X [ 4 ]}การเชื่อมต่อ^{ระหว่างกลุ่ม}บอร์ดิซึม $\Omega _{*}$ และปริภูมิ Thom MSO( k ) ได้ชี้แจงปัญหา Steenrod โดยลดทอนให้เหลือเพียงการศึกษาโฮโมมอร์ฟิซึม $H_{*}(\ชื่อผู้ดำเนินการ {MSO} (k))\to H_{*}(X)$ [ ³^]^[⁵^]ในบทความสำคัญของเขาจากปี 1954 ^[⁵^] René Thomได้ยกตัวอย่างคลาสที่ไม่สามารถเป็นจริง^ได้ $[M]\in H_{7}(X)$ โดยที่Mคือปริภูมิไอเลนเบิร์ก-แมคเลน $K(\mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{3},1)$ .