การวิเคราะห์ขอบเขตสุ่ม (SFA) เป็นวิธีการสร้างแบบจำลองทางเศรษฐกิจจุดเริ่มต้นมาจาก แบบจำลองขอบเขตการผลิตแบบ สุ่มที่ Aigner, Lovell และ Schmidt (1977) และ Meeusen และ Van den Broeck (1977) นำเสนอพร้อมกัน^{[ 1 ]}

แบบจำลองขอบเขตการผลิตที่ไม่มีส่วนประกอบแบบสุ่มสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle y_{i}=f(x_{i};\beta )\cdot TE_{i}}$

โดยที่y _iคือ ผลผลิต เชิงสเกลาร์ ที่สังเกตได้ ของผู้ผลิตi ; i=1,..I, x _iคือเวกเตอร์ของ ปัจจัยนำเข้า Nตัวที่ผู้ผลิตi ใช้ ; คือเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ทางเทคโนโลยีที่จะต้องประมาณค่า; และf(x _i , β)คือฟังก์ชัน ขอบเขตการผลิต${\displaystyle \beta }$

TE _iหมายถึงประสิทธิภาพทางเทคนิค ซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วนของผลผลิตที่สังเกตได้ต่อผลผลิตสูงสุดที่เป็นไปได้ TE _i = 1แสดงว่า บริษัท ที่ iได้ผลผลิตสูงสุดที่เป็นไปได้ ในขณะที่TE _i < 1แสดงถึงส่วนต่างระหว่างผลผลิตที่สังเกตได้กับผลผลิตสูงสุดที่เป็นไปได้

มีการเพิ่มส่วนประกอบเชิงสุ่มที่อธิบายถึงความผันผวนแบบสุ่มที่ส่งผลต่อกระบวนการผลิต ความผันผวนเหล่านี้ไม่ได้เกิดจากผู้ผลิตหรือเทคโนโลยีพื้นฐานโดยตรง ความผันผวนเหล่านี้อาจมาจากสภาพอากาศที่เปลี่ยนแปลง ภาวะเศรษฐกิจตกต่ำ หรือโชคล้วนๆ เราใช้สัญลักษณ์ แทนผลกระทบเหล่านี้ผู้ผลิตแต่ละรายเผชิญกับความผันผวนที่แตกต่างกัน แต่เราสมมติว่าความผันผวนเหล่านั้นเป็นแบบสุ่มและอธิบายได้ด้วยการแจกแจงทั่วไป ${\displaystyle \exp \left\{{v_{i}}\right\}}$

ขอบเขตการผลิตแบบสุ่มจะกลายเป็น:

${\displaystyle y_{i}=f(x_{i};\beta )\cdot TE_{i}\cdot \exp \left\{{v_{i}}\right\}}$

เราถือว่าTE _iเป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน โดยมีฟังก์ชันการกระจายเฉพาะ ซึ่งเป็นฟังก์ชันทั่วไปสำหรับผู้ผลิตทุกราย

เราสามารถเขียนมันในรูปเลขชี้กำลังได้เช่นกันโดยที่u _i ≥ 0เนื่องจากเราต้องการให้TE _i ≤ 1ดังนั้น เราจึงได้สมการต่อไปนี้: ${\displaystyle TE_{i}=\exp \left\{{-u_{i}}\right\}}$

${\displaystyle y_{i}=f(x_{i};\beta )\cdot \exp \left\{{-u_{i}}\right\}\cdot \exp \left\{{v_{i}}\right\}}$

ทีนี้ ถ้าเราสมมติด้วยว่าf(x _i , β) มีรูปแบบ Cobb–Douglas แบบ ลอการิทึมเชิงเส้นโมเดลนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle \ln y_{i}=\beta _{0}+\sum \limits _{n}{\beta _{n}\ln x_{ni}+v_{i}-u_{i}}}$

โดยที่v _iคือส่วนประกอบ "สัญญาณรบกวน" ซึ่งเรามักจะพิจารณาว่าเป็น ตัวแปร ที่มีการแจกแจงแบบปกติ สองด้าน และu _i คือส่วนประกอบของความไม่ eficiente ทางเทคนิคที่ไม่เป็นลบ ทั้งสองส่วนนี้รวมกันเป็น พจน์ความคลาดเคลื่อนแบบผสมซึ่งจะมีการแจกแจงเฉพาะที่จะต้องกำหนด จึงเป็นที่มาของชื่อ "แบบจำลองความคลาดเคลื่อนแบบผสม" ดังที่มักเรียกกัน

การวิเคราะห์ขอบเขตสุ่มยังได้ตรวจสอบประสิทธิภาพด้าน "ต้นทุน" และ "กำไร" ด้วย^{[ 2 ]}แนวทาง "ขอบเขตต้นทุน" พยายามวัดว่าบริษัทอยู่ห่างจากการลดต้นทุนอย่างเต็มที่ (เช่น ประสิทธิภาพด้านต้นทุน) มากน้อยเพียงใด ในแง่ของการสร้างแบบจำลอง ส่วนประกอบของต้นทุนที่ไม่มีประสิทธิภาพที่ไม่เป็นลบจะถูกเพิ่มเข้าไปแทนที่จะถูกลบออกในข้อกำหนดแบบสุ่ม "การวิเคราะห์ขอบเขตกำไร" ตรวจสอบกรณีที่ผู้ผลิตได้รับการปฏิบัติในฐานะผู้เพิ่มกำไรสูงสุด (ทั้งผลผลิตและปัจจัยการผลิตควรได้รับการตัดสินใจโดยบริษัท) และไม่ใช่ผู้ลดต้นทุนต่ำสุด (โดยที่ระดับผลผลิตถือว่ากำหนดจากภายนอก) ข้อกำหนดในที่นี้คล้ายกับข้อกำหนด "ขอบเขตการผลิต"

การวิเคราะห์ขอบเขตสุ่มยังถูกนำไปใช้กับข้อมูลขนาดเล็กของความต้องการของผู้บริโภคเพื่อพยายามกำหนดเกณฑ์มาตรฐานการบริโภคและแบ่งกลุ่มผู้บริโภค ในแนวทางสองขั้นตอน จะมีการประมาณแบบจำลองขอบเขตสุ่ม และต่อมาจะทำการถดถอยความเบี่ยงเบนจากขอบเขตตามลักษณะของผู้บริโภค^{[ 3 ]}

Polacheck & Yoon (1987) ได้นำเสนอโครงสร้างข้อผิดพลาดสามองค์ประกอบ โดยที่ค่าข้อผิดพลาดที่ไม่เป็นลบหนึ่งค่าจะถูกเพิ่มเข้าไป ในขณะที่อีกค่าหนึ่งจะถูกลบออกจากค่ารบกวนแบบสุ่มสมมาตรที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์^{[ 4 ]}แนวทางการสร้างแบบจำลองนี้พยายามวัดผลกระทบของความไม่มีประสิทธิภาพของข้อมูล (ข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์แบบ) ต่อราคาของธุรกรรมที่เกิดขึ้นจริง ซึ่งความไม่มีประสิทธิภาพเหล่านี้ในกรณีส่วนใหญ่เป็นลักษณะเฉพาะของทั้งสองฝ่ายในธุรกรรม (ดังนั้นจึงมีองค์ประกอบความไม่มีประสิทธิภาพสองส่วน เพื่อแยกผลกระทบทั้งสองออกจากกัน)

ในช่วงทศวรรษ 2010 ได้มีการเสนอแนวทางที่ไม่ใช้พารามิเตอร์และกึ่งพารามิเตอร์ต่างๆ ในเอกสารวิจัย โดยไม่มีการตั้งสมมติฐานพารามิเตอร์เกี่ยวกับรูปแบบฟังก์ชันของความสัมพันธ์การผลิต^{[ 5 ] [ 6 ]}

• Coelli, TJ; Rao, DSP; O'Donnell, CJ; Battese, GE (2005). บทนำสู่การวิเคราะห์ประสิทธิภาพและผลิตภาพ (ฉบับที่ 2). Springer. ISBN 978-0-387-24266-8.
• กรีน, ดับเบิลยูเอช (1993). "แนวทางทางเศรษฐมิติในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพ" ใน ฟรีด, เอชโอ; โลเวลล์, ซีเอ น็อกซ์; ชมิดต์, เอสเอส (บรรณาธิการ). การวัดประสิทธิภาพการผลิต . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 0-19-507218-9.