พลศาสตร์สโตกส์^{[ 1 ]} เป็นเทคนิคการแก้ปัญหาสำหรับสมการ Langevinซึ่งเป็นรูปแบบที่เกี่ยวข้องของกฎข้อที่ 2 ของนิวตันสำหรับอนุภาคบราวน์วิธีนี้ถือว่าอนุภาคที่แขวนลอยอยู่ในลักษณะแยกส่วน ในขณะที่การประมาณค่าแบบต่อเนื่องยังคงใช้ได้กับของเหลวโดยรอบ กล่าวคือ โดยทั่วไปจะถือว่าอนุภาคที่แขวนลอยมีขนาดใหญ่กว่าโมเลกุลของตัวทำละลายอย่างมีนัยสำคัญ จากนั้นอนุภาคจะโต้ตอบกันผ่านแรงไฮโดรไดนามิกที่ส่งผ่านทางของเหลวแบบต่อเนื่อง และเมื่อเลขเรย์โนลด์ ของอนุภาค มีขนาดเล็ก แรงเหล่านี้จะถูกกำหนดผ่านสมการสโตกส์เชิงเส้น (จึงเป็นที่มาของชื่อวิธีการ) นอกจากนี้ วิธีการนี้ยังสามารถแก้ไขแรงที่ไม่ใช่ไฮโดรไดนามิก เช่น แรงบราวน์ ที่เกิดจากการเคลื่อนที่ผันผวนของของเหลว และแรงระหว่างอนุภาคหรือแรงภายนอกได้อีกด้วย ดังนั้น พลศาสตร์สโตกส์จึงสามารถนำไปใช้กับปัญหาต่างๆ ได้มากมาย รวมถึงการตกตะกอน การแพร่ และรีโอโลยี และมีเป้าหมายเพื่อให้ความเข้าใจในระดับเดียวกันสำหรับระบบอนุภาคหลายเฟสเช่นเดียวกับที่พลศาสตร์โมเลกุลทำสำหรับคุณสมบัติทางสถิติของสสาร สำหรับอนุภาคแข็งที่มีรัศมีที่แขวนลอยอยู่ในของไหลนิวตันที่ไม่สามารถอัดได้ ซึ่งมีความหนืดและความหนาแน่นการเคลื่อนที่ของของไหลจะถูกควบคุมโดยสมการนาเวียร์-สโตกส์ ในขณะที่การเคลื่อนที่ของอนุภาคจะถูกอธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่แบบคู่กัน: ${\displaystyle N}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {m} {\frac {d\mathbf {U} }{dt}}=\mathbf {F} ^{\mathrm {H} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {P} }.}$

ในสมการข้างต้นคือเวกเตอร์ความเร็วการเคลื่อนที่/การหมุนของอนุภาคที่มีมิติ 6 Nคือแรงไฮโดรไดนามิก กล่าวคือ แรงที่ของเหลวกระทำต่ออนุภาคเนื่องจากการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ระหว่างกันคือแรงบราวน์แบบสุ่มเนื่องจากการเคลื่อนที่ทางความร้อนของอนุภาคของเหลวคือแรงที่ไม่ใช่ไฮโดรไดนามิกแบบกำหนด ซึ่งอาจเป็นแรงระหว่างอนุภาคหรือแรงภายนอกในรูปแบบใดก็ได้ เช่น แรงผลักทางไฟฟ้าสถิตระหว่างอนุภาคที่มีประจุเหมือนกันพลศาสตร์บราวน์เป็นหนึ่งในเทคนิคที่นิยมใช้ในการแก้สมการ Langevinแต่ปฏิสัมพันธ์ไฮโดรไดนามิกในพลศาสตร์บราวน์นั้นถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างมากและโดยปกติจะรวมเฉพาะความต้านทานของวัตถุที่แยกตัวเท่านั้น ในทางกลับกัน พลศาสตร์สโตกส์รวมถึงปฏิสัมพันธ์ไฮโดรไดนามิกของหลายวัตถุ ปฏิสัมพันธ์ไฮโดรไดนามิกมีความสำคัญมากสำหรับสารแขวนลอยที่ไม่สมดุล เช่นสารแขวนลอย ที่ถูกเฉือน ซึ่งมีบทบาทสำคัญในโครงสร้างจุลภาคและคุณสมบัติของมัน พลศาสตร์สโตกส์ถูกใช้เป็นหลักสำหรับสารแขวนลอยที่ไม่สมดุล ซึ่งแสดงให้เห็นว่าให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับการทดลอง^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {P} }}$

เมื่อการเคลื่อนที่ในระดับอนุภาคเป็นไปในลักษณะที่เลขเรย์โนลด์ของอนุภาคมีค่าน้อย แรงไฮโดรไดนามิกที่กระทำต่ออนุภาคในสารแขวนลอยที่กำลังไหลแบบเฉือน เชิงเส้นในปริมาณมาก จะเป็นดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }=-\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }(\mathbf {U} -\mathbf {U} ^{\infty })+\mathbf {R} ^{\mathrm {FE} }:\mathbf {E} ^{\infty }.}$

ในที่นี้คือความเร็วของการไหลเฉือนโดยรวมที่ประเมิน ณ จุดศูนย์กลางของอนุภาคคือส่วนสมมาตรของเทนเซอร์ความชันของความเร็ว และคือเมทริกซ์ความต้านทานที่ขึ้นอยู่กับการกำหนดค่าซึ่งให้แรง/แรงบิดไฮโดรไดนามิกบนอนุภาคเนื่องจากการเคลื่อนที่ของอนุภาคสัมพันธ์กับของเหลว ( ) และเนื่องจากการไหลเฉือนที่กำหนด ( ) โปรดทราบว่าตัวห้อยบนเมทริกซ์บ่งชี้ถึงการเชื่อมโยงระหว่างปริมาณ จลนศาสตร์ ( ) และพลศาสตร์ ( )${\displaystyle \mathbf {U} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

หนึ่งในคุณสมบัติสำคัญของพลศาสตร์สโตกส์คือการจัดการปฏิสัมพันธ์ของไฮโดรไดนามิก ซึ่งมีความแม่นยำพอสมควรโดยไม่ทำให้การคำนวณติดขัด (เช่นวิธีอินทิกรัลขอบเขต ) สำหรับอนุภาคจำนวนมาก พลศาสตร์สโตกส์แบบคลาสสิกต้องการการดำเนินการที่Nคือจำนวนอนุภาคในระบบ (โดยปกติจะเป็นกล่องคาบ) ความก้าวหน้าล่าสุดได้ลดต้นทุนการคำนวณลงเหลือประมาณ^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle O(N^{3})}$${\displaystyle O(N^{1.25}\,\log N).}$

แรงสุ่มหรือแรงบราวน์เกิดขึ้นจากความผันผวนทางความร้อนในของเหลว และมีลักษณะดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(0)\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(t)\right\rangle =2kT\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }\delta (t)}$

วงเล็บเหลี่ยมแสดงถึงค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างคือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์คืออุณหภูมิสัมบูรณ์ และคือฟังก์ชันเดลต้า แอมพลิจูดของความสัมพันธ์ระหว่างแรงบราวน์ที่เวลาและที่เวลาเป็นผลมาจากทฤษฎีความผันผวน-การกระจายพลังงานสำหรับระบบ N-body ${\displaystyle k}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \delta (t)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t}$

• วิธีการขอบเขตที่จมอยู่ใต้น้ำ
• วิธีการลากรางจ์ออยเลอร์แบบสุ่ม