ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เซตศูนย์การวัดที่แข็งแกร่ง^{[ 1 ]}คือเซตย่อยAของเส้นจำนวนจริงที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

สำหรับลำดับ (ε ) ของจำนวนจริงบวกทุกตัว จะมีลำดับ ( I ) ของช่วงเวลา อยู่ ซึ่ง | I | < ε สำหรับทุกnและAอยู่ในผลรวมของI

(ในที่นี้ | I | หมายถึงความยาวของช่วงI )

เซตที่นับได้ทุก เซต เป็นเซตที่มีการวัดแบบเข้มแข็งเป็นศูนย์ และการรวมกันของเซตที่มีการวัดแบบเข้มแข็งเป็นศูนย์จำนวนนับได้ก็เป็นเซตที่มีการวัดแบบเข้มแข็งเป็นศูนย์เช่นกัน เซตที่มีการวัดแบบเข้มแข็งเป็นศูนย์ ทุกเซตมีการวัดแบบเลเบสเป็นศูนย์ เซตแคนเตอร์เป็นตัวอย่างของเซตที่นับไม่ได้ที่มีการวัดแบบเลเบสเป็นศูนย์ซึ่งไม่มีการวัดแบบเข้มแข็งเป็นศูนย์^{[ 2 ]}

ข้อสันนิษฐานของโบเรล^{[ 1 ]}ระบุว่าเซตศูนย์ที่มีการวัดอย่างเข้มแข็งทุกเซตสามารถนับได้ ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าข้อความนี้เป็นอิสระจาก ZFC (สัจพจน์ของ Zermelo–Fraenkel ในทฤษฎีเซต ซึ่งเป็นระบบสัจพจน์มาตรฐานที่ใช้ในคณิตศาสตร์) ซึ่งหมายความว่าข้อสันนิษฐานของโบเรลไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ใน ZFC (โดยสมมติว่า ZFC มีความสอดคล้องกัน ) Sierpińskiพิสูจน์ในปี 1928 ว่าสมมติฐานความต่อเนื่อง (ซึ่งปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นอิสระจาก ZFC) บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของเซตศูนย์ที่มีการวัดอย่างเข้มแข็งที่ไม่สามารถนับได้ ^{[ 3 ]}ในปี 1976 Laverใช้วิธีการบังคับเพื่อสร้างแบบจำลองของ ZFC ที่ข้อสันนิษฐานของโบเรลเป็นจริง ^{[ 4 ]}ผลลัพธ์ทั้งสองนี้ร่วมกันสร้างความเป็นอิสระของข้อสันนิษฐานของโบเรล

ลักษณะเฉพาะของเซตศูนย์ที่มีการวัดแบบเข้มแข็งดังต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี 1973:

เซตA ⊆ R มีการ ^วัดที่แข็งแกร่งเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อA + M ≠ Rสำหรับทุกเซตที่เล็กM ⊆ R ^{[ 5} ]

ผลลัพธ์นี้สร้างความเชื่อมโยงกับแนวคิดของเซตที่ขาดแคลนอย่างมากซึ่งนิยามไว้ดังนี้:

เซตM ⊆ Rเรียกว่าเซตที่น้อยนิดอย่างเข้มแข็งก็ต่อเมื่อA + M ≠ RสำหรับทุกเซตA ⊆ Rที่มีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์

ข้อสันนิษฐานของ Borel คู่ระบุว่าเซตที่เล็กมากทุกเซตสามารถนับได้ ข้อความนี้ยังเป็นอิสระจาก ZFC ด้วย^{[ 6 ]}