สำหรับกรณีพิเศษที่มีเพียงสองตัวเลข${\displaystyle x_{1}}$และ${\displaystyle x_{2}}$ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\qquad }$ หรือ ${\displaystyle \qquad {\frac {1}{H}}={\frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.}$

(โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกไม่สามารถหาค่าได้หาก...)${\displaystyle x_{1}+x_{2}=0}$, เช่น${\displaystyle x_{1}=-x_{2}}$.)

ในกรณีพิเศษนี้ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกมีความสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยเลขคณิต${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$และค่าเฉลี่ยเรขาคณิต${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$โดย^{[ 4 ​​]}

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\left({\frac {G}{A}}\right).}$

เนื่องจาก${\displaystyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}$จากความไม่เท่ากันของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตแสดงให้เห็นว่าสำหรับ กรณี n = 2 นั้นH ≤ G (ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ใช้ได้กับทุกค่าn ) นอกจากนี้ยังสรุปได้ว่า${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$หมายความว่า ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขทั้งสองเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของตัวเลขทั้งสอง

สำหรับกรณีพิเศษที่มีตัวเลขสามตัว${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$และ${\displaystyle x_{3}}$ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

จำนวนบวกสามจำนวนH , GและAเป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนบวกสามจำนวนตามลำดับก็ต่อเมื่อ^{[ 9 ] :หน้า 74, #1834}อสมการต่อไปนี้เป็นจริง

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}$

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกแบบถ่วงน้ำหนักเป็นวิธีการที่เหมาะสมกว่าสำหรับการหาค่าเฉลี่ยของตัวคูณ เช่นอัตราส่วนราคาต่อกำไร (P/E) หากอัตราส่วนเหล่านี้ถูกหาค่าเฉลี่ยโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก จุดข้อมูลที่มีค่าสูงจะได้รับน้ำหนักมากกว่าจุดข้อมูลที่มีค่าต่ำ ในทางกลับกัน ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกแบบถ่วงน้ำหนักจะให้น้ำหนักกับจุดข้อมูลแต่ละจุดอย่างถูกต้อง^{[ 15 ]}ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักอย่างง่าย เมื่อนำไปใช้กับอัตราส่วนที่ไม่ได้ปรับราคาให้เป็นมาตรฐาน เช่น P/E จะมีอคติไปในทิศทางบวกและไม่สามารถพิสูจน์ได้ในเชิงตัวเลข เนื่องจากขึ้นอยู่กับกำไรที่เท่ากัน เช่นเดียวกับความเร็วของยานพาหนะที่ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยสำหรับการเดินทางไปกลับได้ (ดูข้างต้น) ^{[ 16 ]}

ในรูปสามเหลี่ยม ใดๆ รัศมีของวงกลมแนบ ในจะมี ค่าเท่ากับหนึ่งในสามของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของความสูง

สำหรับจุด P ใดๆ บนส่วนโค้งเล็ก BC ของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC โดยมีระยะทางqและtจาก B และ C ตามลำดับ และจุดตัดของ PA และ BC อยู่ห่างจากจุด P เป็นระยะyเราจะได้ว่าy เป็นครึ่งหนึ่งของ ^ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของqและt ^{[ 17} ]

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากaและbและความสูงhจาก ด้านตรงข้าม มุมฉากไปยังมุมฉากh ²คือครึ่งหนึ่งของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของa ²และb ^{2 [ 18 ] [ 19 ]}

ให้tและs ( t > s ) เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นcแล้วs ²เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของc ²และt ²

ให้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูมีจุดยอด A, B, C และ D เรียงกัน และมีด้านขนาน AB และ CD ให้ E เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมและให้ F อยู่บนด้าน DA และ G อยู่บนด้าน BC โดยที่ FEG ขนานกับ AB และ CD แล้ว FG คือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ AB และ DC (สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้สามเหลี่ยมคล้าย)

หนึ่งในแอปพลิเคชันของผลลัพธ์เกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้คือในปัญหาบันไดไขว้ซึ่งบันไดสองอันวางตรงข้ามกันในตรอก โดยแต่ละอันมีปลายเท้าอยู่ที่ฐานของผนังด้านหนึ่ง บันไดอันหนึ่งพิงผนังที่ความสูงAและอีกอันพิงผนังด้านตรงข้ามที่ความสูงBดังแสดงในรูป บันไดทั้งสองไขว้กันที่ความสูงhเหนือพื้นตรอก ดังนั้นhคือครึ่งหนึ่งของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของAและBผลลัพธ์นี้ยังคงใช้ได้แม้ว่าผนังจะเอียงแต่ยังคงขนานกัน และ "ความสูง" A , Bและhวัดจากระยะห่างจากพื้นตามแนวเส้นที่ขนานกับผนัง ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ โดยใช้สูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและสูตรการบวกพื้นที่

ในรูปวงรีค่ากึ่งลาตัสเรกตัม ( ระยะทางจากจุดโฟกัสไปยังวงรีตามแนวเส้นขนานกับแกนรอง) คือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของระยะทางสูงสุดและต่ำสุดของวงรีจากจุดโฟกัส

ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการค้นหาข้อมูลและการเรียนรู้ของเครื่อง ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของความแม่นยำ (ผลบวกจริงต่อผลบวกที่คาดการณ์) และการเรียกคืน (ผลบวกจริงต่อผลบวกจริง) มักถูกใช้เป็นคะแนนประสิทธิภาพโดยรวมสำหรับการประเมินอัลกอริทึมและระบบ: คะแนน F (หรือค่า F) สิ่งนี้ถูกใช้ในการค้นหาข้อมูลเนื่องจากมีเพียงคลาสบวกเท่านั้นที่มีความเกี่ยวข้องในขณะที่จำนวนลบโดยทั่วไปมีจำนวนมากและไม่ทราบ^{[ 20 ]}ดังนั้นจึงเป็นการแลกเปลี่ยนว่าควรวัดการคาดการณ์บวกที่ถูกต้องโดยสัมพันธ์กับจำนวนผลบวกที่คาดการณ์หรือจำนวนผลบวกจริง ดังนั้นจึงวัดเทียบกับจำนวนผลบวกที่คาดการณ์ไว้ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวหารที่เป็นไปได้สองตัว

ผลที่ตามมาเกิดขึ้นจากพีชคณิตพื้นฐานในปัญหาที่คนหรือระบบทำงานร่วมกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าปั๊มที่ใช้พลังงานแก๊สสามารถสูบน้ำออกจากสระได้ใน 4 ชั่วโมง และปั๊มที่ใช้พลังงานแบตเตอรี่สามารถสูบน้ำออกจากสระเดียวกันได้ใน 6 ชั่วโมง ดังนั้นปั๊มทั้งสองตัวจะใช้เวลาใน การสูบน้ำออกจากสระพร้อมกัน 6.4 / 6 + 4ซึ่งเท่ากับ 2.4 ชั่วโมง นี่คือครึ่งหนึ่งของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ 6 และ 4: 2.6.4 / 6 + 4 = 4.8 นั่นคือ ค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมสำหรับปั๊มทั้งสองประเภทคือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก และด้วยปั๊มหนึ่งคู่ (สองตัว) จะใช้เวลาครึ่งหนึ่งของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกนี้ ในขณะที่ด้วยปั๊มสองคู่ (สี่ตัว) จะใช้เวลาหนึ่งในสี่ของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกนี้

ในอุทกวิทยาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกันเพื่อหาค่าเฉลี่ย ของค่า การนำไฟฟ้าทางไฮดรอลิกสำหรับการไหลที่ตั้งฉากกับชั้นต่างๆ (เช่น ชั้นธรณีวิทยาหรือชั้นดิน) – การไหลที่ขนานกับชั้นต่างๆ จะใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ความแตกต่างที่เห็นได้ชัดในการหาค่าเฉลี่ยนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าอุทกวิทยาใช้ค่าการนำไฟฟ้า ซึ่งเป็นค่าผกผันของค่าความต้านทาน

ในศาสตร์การวิเคราะห์สถิติเบสบอล (sabermetrics) ค่าพลัง-ความเร็วของนักเบสบอลคือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของจำนวนโฮมรันและจำนวนการขโมยเบส

ในพันธุศาสตร์ประชากรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถูกนำมาใช้ในการคำนวณผลกระทบของการผันผวนของขนาดประชากรตามการสำรวจต่อขนาดประชากรที่มีประสิทธิภาพ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์ต่างๆ เช่นคอขวด ของประชากร จะเพิ่มอัตราการเปลี่ยนแปลงทางพันธุกรรมและลดปริมาณความแปรผันทางพันธุกรรมในประชากร นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าหลังจากเกิดคอขวดแล้ว มีจำนวนประชากรน้อยมากที่สามารถเพิ่มจำนวนในยีนพูลทำให้ความแปรผันทางพันธุกรรมในประชากรลดลงไปหลายชั่วอายุคน

เมื่อพิจารณาถึงประสิทธิภาพการใช้เชื้อเพลิงในรถยนต์มักใช้หน่วยวัดสองหน่วย คือ ไมล์ต่อแกลลอน (mpg) และลิตรต่อ 100  กิโลเมตร เนื่องจากมิติของปริมาณเหล่านี้เป็นส่วนกลับของกันและกัน (หน่วยหนึ่งคือระยะทางต่อปริมาตร อีกหน่วยหนึ่งคือปริมาตรต่อระยะทาง) เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยของประสิทธิภาพการใช้เชื้อเพลิงของรถยนต์หลายคัน หน่วยวัดหนึ่งจะให้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของอีกหน่วยวัดหนึ่ง กล่าวคือ การแปลงค่าเฉลี่ยของประสิทธิภาพการใช้เชื้อเพลิงที่แสดงในหน่วยลิตรต่อ 100  กิโลเมตร เป็นไมล์ต่อแกลลอน จะได้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของประสิทธิภาพการใช้เชื้อเพลิงที่แสดงในหน่วยไมล์ต่อแกลลอน สำหรับการคำนวณปริมาณการใช้เชื้อเพลิงเฉลี่ยของกลุ่มรถยนต์จากปริมาณการใช้เชื้อเพลิงของแต่ละคัน ควรใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกหากใช้หน่วยไมล์ต่อแกลลอน ในขณะที่ควรใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหากใช้หน่วยลิตรต่อ 100  กิโลเมตร ในสหรัฐอเมริกามาตรฐาน CAFE (มาตรฐานการใช้เชื้อเพลิงของรถยนต์ของรัฐบาลกลาง) ใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ในวิชาเคมีและฟิสิกส์นิวเคลียร์มวลเฉลี่ยต่ออนุภาคของสารผสมที่ประกอบด้วยชนิดต่างๆ (เช่น โมเลกุลหรือไอโซโทป) จะคำนวณได้จากค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของมวลของแต่ละชนิด โดยถ่วงน้ำหนักด้วยสัดส่วนมวลของแต่ละชนิด

ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างmมีการกระจายแบบปกติเชิงอะซิมโทติก โดยมีค่า^ความแปรปรวนs²

${\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}$

ความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยคือ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}$

โดยที่mคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนกลับxคือตัวแปรสุ่มnคือขนาดประชากร และEคือตัวดำเนินการค่าคาดหวัง

Assuming that the variance is not infinite and that the central limit theorem applies to the sample then using the delta method, the variance is

${\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

where H is the harmonic mean, m is the arithmetic mean of the reciprocals

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}$

s² is the variance of the reciprocals of the data

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

and n is the number of data points in the sample.

A jackknife method of estimating the variance is possible if the mean is known.^[25] This method is the usual 'delete 1' rather than the 'delete m' version.

This method first requires the computation of the mean of the sample (m)

${\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}$

where x are the sample values.

A series of value w is then computed where

${\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

The mean (h) of the w is then taken:

${\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

The variance of the mean is

${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.}$

Significance testing and confidence intervals for the mean can then be estimated with the t test.

Assume a random variate has a distribution f( x ). Assume also that the likelihood of a variate being chosen is proportional to its value. This is known as length based or size biased sampling.

Let μ be the mean of the population. Then the probability density functionf*( x ) of the size biased population is

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}$

The expectation of this length biased distribution E^*( x ) is^[24]

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}$

where σ² is the variance.

The expectation of the harmonic mean is the same as the non-length biased version E( x )

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

The problem of length biased sampling arises in a number of areas including textile manufacture^[26] pedigree analysis^[27] and survival analysis^[28]

Akman และคณะได้พัฒนาการทดสอบเพื่อตรวจจับอคติตามความยาวในตัวอย่าง^{[ 29 ]}

ถ้าXเป็นตัวแปรสุ่มบวกและq > 0 แล้วสำหรับทุกε > 0 ^{[ 30 ]}

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}$

สมมติว่าXและ E( X ) มีค่า > 0 แล้ว^{[ 30 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}$

สิ่งนี้เป็นผลมาจากอสมการของเจนเซ่น

Gurland ได้แสดงให้เห็นว่า^{[ 31 ]}สำหรับการแจกแจงที่รับเฉพาะค่าบวก สำหรับn > 0 ใดๆ

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}$

ภายใต้เงื่อนไขบางประการ^{[ 32 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

โดยที่ ~ หมายถึง มีค่าประมาณเท่ากับ

สมมติว่าตัวแปร ( x ) มาจากการกระจายแบบลอกนอร์มอล จะมีตัวประมาณค่าที่เป็นไปได้หลายตัวสำหรับH :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

ในบรรดาตัวเลือกเหล่านี้H น่าจะเป็นตัวเลือกที่ดีที่สุดสำหรับตัวอย่างที่มีจำนวน 25 หรือมากกว่า^{[ 33 ]}

การประมาณค่าอันดับแรกของอคติและความแปรปรวนของH คือ^{[ 34 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

โดยที่C คือสัมประสิทธิ์ความแปรผัน

ในทำนองเดียวกัน การประมาณค่าอันดับแรกของอคติและความแปรปรวนของH คือ^{[ 34 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}$

ในการทดลองเชิงตัวเลขH 3 ทั่วไปเป็นตัวประมาณค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกที่ดีกว่าH ^{[ 34 ]} H สร้าง ค่าประมาณที่คล้ายกับH