ในพีชคณิตเชิงเส้นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้น (หรือฟังก์ชันนัล ซึ่งมักใช้ในวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ) หรือที่เรียกว่า ควาซี-เซมินอร์มบนปริภูมิเวกเตอร์คือฟังก์ชันค่าจริงที่มีคุณสมบัติบางอย่างของเซมินอร์มแต่ต่างจากเซมินอร์มตรงที่ ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นไม่จำเป็นต้องมี ค่า เป็นลบและไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์สัมบูรณ์เซมินอร์มเองก็เป็นนามธรรมของแนวคิดที่รู้จักกันดีกว่าอย่างนอร์มโดยที่เซมินอร์มมีคุณสมบัติกำหนดทั้งหมดของนอร์มยกเว้นว่าไม่จำเป็นต้องแปลงเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ไปเป็นค่าที่ไม่เป็นศูนย์

ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน บางครั้งมีการใช้ ชื่อฟังก์ชัน Banachซึ่งสะท้อนให้เห็นว่ามักใช้กันมากที่สุดเมื่อนำทฤษฎีบทHahn–Banach มาใช้ในรูปแบบทั่วไป แนวคิดของฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นได้รับการแนะนำโดยStefan Banachเมื่อเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทHahn-Banach ^{[ 1 ]}

ใน สาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ยังมีแนวคิดที่แตกต่างออกไปอีกอย่างหนึ่งซึ่งจะอธิบายต่อไปนี้ ที่มีชื่อเรียกอีกอย่างว่า "ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้น"

ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์โดยที่เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน เรียกว่า${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$ซับลิเนียร์หากมีคุณสมบัติสองประการนี้: ^{[ 1 ]}

1. ความเป็นเนื้อเดียวกันเชิงบวก [ ^{2 ] นั่น}คือสำหรับทุก และ ${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle x\in X}$
2. การบวกย่อย^{[ 2 ]}ซึ่งก็คือสำหรับ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$

ฟังก์ชันหนึ่งถูกเรียกว่า${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$บวก^{[ 3 ]}หรือไม่เป็นลบหากสำหรับทั้งหมดแม้ว่าผู้เขียนบางคน ^{[ 4 ]}จะกำหนด${\displaystyle p(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in X,}$ใน แง่บวก หมายถึงเมื่อใดก็ตามที่คำจำกัดความเหล่านี้ไม่เท่ากัน มันคือ${\displaystyle p(x)\neq 0}$${\displaystyle x\neq 0;}$ฟังก์ชันสมมาตรถ้าสำหรับทุก ๆ ฟังก์ชันสมมาตรย่อยบวกทุกฟังก์ชันจะต้องไม่เป็นลบเสมอ ^{[พิสูจน์ 1 ]} ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์จริงเป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อเป็นเซมินอร์มฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนเป็นเซมินอร์มก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันสมดุลหรือเทียบเท่ากับ ก็ต่อเมื่อสเกลาร์ทุกตัวและ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x\in X.}$

เซตของฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นทั้งหมดบนที่แสดงด้วยสามารถเรียงลำดับบางส่วนได้โดยการประกาศว่าก็ต่อเมื่อสำหรับทุก ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นเรียกว่าน้อยที่สุดถ้าเป็นองค์ประกอบน้อยที่สุดของ^ภายใต้ลำดับนี้ ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นจะน้อยที่สุดก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จริง ^{[ 1} ]${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{\#},}$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle X^{\#}}$

นอร์มเซมินอร์ม และฟังก์ชันเชิงเส้นจริง ทุกตัวเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้น ฟังก์ชันเอกลักษณ์บนเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันย่อยเชิงเส้น (อันที่จริง มันเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นด้วยซ้ำ) ที่ไม่ใช่ทั้งบวกและเซมินอร์ม เช่นเดียวกับการปฏิเสธของแผนที่นี้[ ^{5 ] โดย} ทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนจริงใดๆแผนที่ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto -x.}$${\displaystyle a\leq b,}$

${\displaystyle S_{a,b}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\begin{cases}ax,&{\text{ถ้า }}x\leq 0,\\bx,&{\text{ถ้า }}x\geq 0\end{cases}}}$

เป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบนและยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นทุกฟังก์ชันมีรูปแบบนี้ กล่าวคือ ถ้าและแล้วและ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle a=-p(-1)}$${\displaystyle b=p(1)}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle p=S_{a,b}.}$

ถ้าและเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์จริงแล้ว แผนที่ ก็เป็น ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้น เช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นชุดฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นที่ไม่ว่างเปล่าบนปริภูมิเวกเตอร์จริงและถ้า สำหรับทุกแล้วก็เป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบน^{[ 5 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle q(x)=\sup\{p(x)\,;\,p\in {\mathcal {P}}\},}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X.}$

ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติsubadditive , convexและสอดคล้องกับเงื่อนไขจะเป็นฟังก์ชัน positively homogeneous ด้วย (เงื่อนไขหลังนี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็น ดังตัวอย่างของon แสดงให้เห็น) ถ้าเป็นฟังก์ชัน positively homogeneous มันจะเป็นฟังก์ชัน convex ก็ต่อเมื่อมันเป็นฟังก์ชัน subadditive ดังนั้น เมื่อสมมติว่าคุณสมบัติสองข้อใดๆ ในบรรดาคุณสมบัติ subadditive, convexity และ positive homogeneity จะบ่งบอกถึงคุณสมบัติข้อที่สาม ${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p(0)\leq 0}$${\displaystyle p(0)\leq 0}$${\displaystyle p(x)={\sqrt {x^{2}+1}}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(0)\leq 0}$

ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูน : สำหรับ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ คุณสมบัติการบวกย่อย}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ คุณสมบัติความเป็นเอกพันธุ์ที่ไม่เป็นลบ}}\\\end{alignedat}}}$$

ถ้าเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์แล้ว^{[พิสูจน์ 2 ] [ 3 ]} สำหรับทุกซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งในและจะต้องไม่เป็นลบ นั่นคือ สำหรับทุก^{[ 3 ]} ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์จริง แผนที่ที่กำหนดโดยเป็นเซมินอร์ม^{[ 3 ]}${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),}$$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle p(-x)}$${\displaystyle x\in X,}$$${\displaystyle 0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.}$$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

คุณสมบัติย่อยของการรับประกันว่าสำหรับเวกเตอร์ทั้งหมด^{[ 1 ] [พิสูจน์ 3 ]} ดังนั้นถ้าสมมาตรด้วยอสมการสามเหลี่ยมกลับด้านจะใช้ได้กับเวกเตอร์ทั้งหมด${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle p(x)-p(y)~\leq ~p(xy),}$$$${\displaystyle -p(x)~\leq ~p(-x),}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle |p(x)-p(y)|~\leq ~p(xy).}$$

การกำหนดคุณสมบัติย่อยบวกยังรับประกันว่าสำหรับทุกค่าของบนเซตจะเป็นค่าคงที่และเท่ากับ^{[พิสูจน์ 4 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของแล้วและการกำหนดค่าซึ่งจะถูกแทนด้วยเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นค่าจริงที่กำหนดไว้อย่างดีบนปริภูมิผล หาร ที่สอดคล้องกับถ้าเป็นเซมินอร์ม แล้วก็คือนอร์มแคนอนิกปกติบนปริภูมิผลหาร${\displaystyle \ker p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~p^{-1}(0),}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}}$${\displaystyle p(x).}$${\displaystyle \ker p=p^{-1}(0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle -\ker p=\ker p}$${\displaystyle x+\ker p\mapsto p(x),}$${\displaystyle {\hat {p}},}$${\displaystyle X\,/\,\ker p}$${\displaystyle {\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle X\,/\,\ker p.}$

เมื่อเพิ่มเข้าไปทั้งสองด้านของสมมติฐาน(โดยที่) และรวมเข้ากับข้อสรุปจะได้ ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นอสมการอีกมากมาย รวมถึงตัวอย่างเช่น ในกรณีที่นิพจน์ด้านหนึ่งของอสมการที่เข้มงวดสามารถได้มาจากอีกด้านหนึ่งโดยการแทนที่สัญลักษณ์ด้วย(หรือในทางกลับกัน) และย้ายวงเล็บปิดไปทางขวา (หรือซ้าย) ของพจน์ที่อยู่ติดกัน (สัญลักษณ์อื่นๆ ทั้งหมดจะคงที่และไม่เปลี่ยนแปลง) ${\displaystyle bc}$${\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}$${\displaystyle p(x+aK)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p(x+ak):k\in K\}}$$${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~\inf _{}p(x+aK)+bc~\leq ~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{}p(x+a\mathbf {z} +bK)}$$$${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~p(x+a\mathbf {z} +b\mathbf {z} )}$$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {z} }$

ถ้าเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นที่มีค่าจริงบนปริภูมิเวกเตอร์จริง(หรือถ้าเป็นเชิงซ้อน เมื่อพิจารณาว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง) แผนที่จะกำหนดเซมินอร์มบนปริภูมิเวกเตอร์จริงที่เรียกว่าเซมินอร์มที่เกี่ยวข้องกับ^{[ 3 ]} ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันสมมาตรก็ต่อเมื่อ โดย ที่ก่อนหน้านี้ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=q}$${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นที่มีค่าเป็นจำนวนจริงบนปริภูมิเวกเตอร์ (จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) แล้ว จะกำหนดเซมินอร์มบนถ้าค่าสูงสุดนี้เป็นจำนวนจริงเสมอ (นั่นคือ ไม่เท่ากับ) ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{|u|=1}p(ux)~=~\sup\{p(ux):u{\text{ is a unit scalar }}\}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \infty }$

ถ้าเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์จริงแล้วสิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ^{[ 1 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น
2. สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0.}$
3. สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p(x)+p(-x)=0.}$
4. ${\displaystyle p}$เป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นขั้นต่ำ

ถ้าเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์จริงจะมีฟังก์ชันเชิงเส้นบนเช่นนั้น^{[ 1 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\leq p.}$

ถ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์จริงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนและเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบวกบนแล้ว บน ก็ ต่อเมื่อ^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

ฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดบนเซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนกล่าวได้ว่าถูกครอบงำโดยฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นถ้าสำหรับทุก ๆที่อยู่ในโดเมนของ ถ้า เป็น ฟังก์ชันเชิงเส้นจริงบนแล้ว^{[ 6 ] [ 1 ]}จะถูกครอบงำโดย(นั่นคือ) ก็ต่อเมื่อ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า เป็นเซมินอร์มหรือ แผนที่สมมาตรอื่น ๆ(ซึ่งตามคำนิยามหมายความว่าเป็นจริงสำหรับทุก ๆ) ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(x)\leq p(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f\leq p}$$${\displaystyle -p(-x)\leq f(x)\leq p(x)\quad {\text{ for every }}x\in X.}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(-x)=p(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle |f|\leq p.}$

สมมติว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) เหนือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน และเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นบน จากนั้นสิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ^{[ 7 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle p}$เป็นค่าต่อเนื่อง;
2. ${\displaystyle p}$ต่อเนื่องที่ 0;
3. ${\displaystyle p}$มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอบน;${\displaystyle X}$

และหากผลเป็นบวก รายชื่อนี้อาจขยายเพิ่มเติมเพื่อรวมถึง: ${\displaystyle p}$

4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$เปิดทำการแล้ว${\displaystyle X.}$

ถ้าเป็น TVS จริงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนและเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นต่อเนื่องบนแล้วบนแสดงว่าต่อเนื่อง^{[ 7 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f\leq p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

แนวคิดนี้สามารถขยายไปใช้กับตัวดำเนินการที่เป็นเอกพันธุ์และย่อยบวกได้ ซึ่งต้องอาศัยเพียงแค่ว่าโดเมนร่วมเป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับเพื่อให้เงื่อนไขเหล่านี้มีความหมาย

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ฟังก์ชันเรียกว่า ฟังก์ชัน ย่อยเชิงเส้นถ้าหรือในสัญกรณ์เชิงอะซิมโทติก (สังเกตตัวอักษรเล็ก) ในทางรูปธรรมถ้าและเฉพาะเมื่อ สำหรับค่าที่กำหนดใดๆจะมีอยู่เช่นนั้นสำหรับ^{[ 8 ]} นั่นคือเติบโตช้ากว่าฟังก์ชันเชิงเส้นใดๆ ความหมายทั้งสองไม่ควรสับสนกัน: ในขณะที่ฟังก์ชัน Banach เป็นฟังก์ชันนูนเกือบจะตรงกันข้ามกับฟังก์ชันที่มีการเติบโตย่อยเชิงเส้น: ทุกฟังก์ชันสามารถมีขอบเขตบนได้ด้วยฟังก์ชันเว้าที่มีการเติบโตย่อยเชิงเส้น^{[ 9 ]}${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$${\displaystyle o}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$${\displaystyle c>0,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f(n)<cn}$${\displaystyle n\geq N.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(n)\in o(n)}$

• บรรทัดฐานแบบไม่สมมาตร  – การขยายแนวคิดเรื่องบรรทัดฐาน
• พื้นที่มาตรฐานเสริม
• ทฤษฎีบทฮาห์น-บานาค  – ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการขยายฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตPages displaying short descriptions of redirect targets
• ฟังก์ชันเชิงเส้น  – การแปลงเชิงเส้นจากปริภูมิเวกเตอร์ไปยังฟิลด์สเกลาร์Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Minkowski functional  – ฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจากชุดอุปกรณ์
• นอร์ม (คณิตศาสตร์)  – ความยาวในปริภูมิเวกเตอร์
• เซมินอร์ม  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
• คุณสมบัติ การบวกเกิน (Superadditivity)  – คุณสมบัติของฟังก์ชัน

หลักฐาน

• Kubrusly, Carlos S. (2011). องค์ประกอบของทฤษฎีตัวดำเนินการ (ฉบับที่สอง). บอสตัน: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895 .
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schechter, Eric (1996). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .