ในทฤษฎีจำนวนฟังก์ชันผลรวมของกำลังสองเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่แสดงจำนวนรูปแบบการแสดงแทนของจำนวนเต็ม บวกที่กำหนดให้ โดยเป็นผลรวมของกำลังสองซึ่งรูปแบบการแสดงแทนที่แตกต่างกันเฉพาะในลำดับของตัวบวกหรือในเครื่องหมายของจำนวนที่ยกกำลังสองจะถือว่าแตกต่างกัน ฟังก์ชันนี้ใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r_{k}(n)}$

ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}$

โดยที่แทนจำนวนสมาชิกของเซต กล่าว อีกนัยหนึ่งคือจำนวนวิธี ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป ผล รวมของ กำลังสองได้${\displaystyle |\,\ |}$${\displaystyle r_{k}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

ตัวอย่างเช่นเนื่องจากผลรวมแต่ละค่ามีเครื่องหมายผสมกันสองแบบ และเนื่องจากมีค่าเครื่องหมายผสมกันสี่แบบ ในทางกลับกันเนื่องจากไม่มีวิธีใดที่จะแสดง 3 เป็นผลรวมของกำลังสองสองตัวได้ ${\displaystyle r_{2}(1)=4}$${\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}}$${\displaystyle r_{2}(2)=4}$${\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}}$${\displaystyle r_{2}(3)=0}$

จำนวนวิธีในการเขียนจำนวนธรรมชาติเป็นผลรวมของกำลังสองสองจำนวนนั้นกำหนดโดย โดยกำหนดอย่างชัดเจนโดย ${\displaystyle r_{2}(n)}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$

โดยที่คือจำนวนตัวหารของซึ่งสอดคล้องกับ 1 มอดูล 4 และคือจำนวนตัวหารของซึ่งสอดคล้องกับ 3 มอดูล 4 เมื่อใช้ผลรวม สามารถเขียนนิพจน์ได้ดังนี้: ${\displaystyle d_{1}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d_{3}(n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}}$

การแยกตัวประกอบ เฉพาะโดยที่เป็นตัวประกอบเฉพาะในรูปแบบและเป็นตัวประกอบเฉพาะในรูปแบบจะให้สูตรอีกสูตรหนึ่ง ${\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots }$ถ้าเลขชี้กำลังทั้งหมดเป็นเลขคู่ ถ้า เลขชี้กำลังอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นเลขคี่แล้ว${\displaystyle h_{1},h_{2},\cdots }$${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle r_{2}(n)=0}$

เกาส์พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบกำลัง สอง ${\displaystyle n>4}$

${\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{if }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

โดยที่หมายถึงหมายเลข ชั้นของจำนวนเต็ม${\displaystyle h(m)}$${\displaystyle m}$

มีการขยายสูตรของเกาส์ไปยังจำนวนเต็มใดๆ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle n}$

จำนวนวิธีในการแสดงผลรวมของกำลังสองทั้งสี่นั้น คิดค้นโดยคาร์ล กุสตาฟ ยาคอบ จาโคบีและมีค่าเป็นแปดเท่าของผลรวมของตัวหารทั้งหมดที่ไม่หารด้วย 4 ลงตัว กล่าวคือ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.}$

เมื่อแทนค่าโดยที่เป็นจำนวนเต็มคี่ เราสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันตัวหารได้ดังนี้: ${\displaystyle n=2^{k}m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r_{4}(n)}$

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).}$

จำนวนวิธีในการแสดงผลรวมของกำลังสองทั้งหกคือ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},}$

สัญลักษณ์โครเนกเกอร์อยู่ที่ไหน^{[ 3 ]}${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}$

นอกจากนี้ Jacobi ยังพบสูตรที่ชัดเจนสำหรับกรณีนี้ ด้วย : ^{[ 3 ]}${\displaystyle k=8}$

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.}$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ สำหรับ kคงที่สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชัน Jacobi theta : ^{[ 4 ]}${\displaystyle r_{k}(n)}$

${\displaystyle \vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},}$

ที่ไหน

${\displaystyle \vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .}$

ค่า 30 ค่าแรกของตัวแปรแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง: ${\displaystyle r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8}$

n	=	${\displaystyle r_{1}(n)}$	${\displaystyle r_{2}(n)}$	${\displaystyle r_{3}(n)}$	${\displaystyle r_{4}(n)}$	${\displaystyle r_{5}(n)}$	${\displaystyle r_{6}(n)}$	${\displaystyle r_{7}(n)}$	${\displaystyle r_{8}(n)}$
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	2 2	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	2 3	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	3 2	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	2 2 ×3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	2 4	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×3 2	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	2 2 ×5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	2 3 ×3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	5 2	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	3 3	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	2 2 ×7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

• การแบ่งพาร์ติชันจำนวนเต็ม
• ทฤษฎีบทกำลังสองสี่ของจาโคบี
• ปัญหาวงกลมเกาส์

กรอสส์วาลด์, เอมิล (1985). การแสดงจำนวนเต็มในรูปผลรวมของกำลังสอง . สปริงเกอร์-เวอร์แลก. ISBN 0387961267.

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชันผลรวมของกำลังสอง" . แมธเวิลด์ .
• Sloane, N. J. A. (บรรณาธิการ). "ลำดับ A122141 (จำนวนวิธีในการเขียน n เป็นผลรวมของกำลังสอง d ตัว)"สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์มูลนิธิ OEIS
• Sloane, N. J. A. (บรรณาธิการ). "ลำดับ A004018 (อนุกรมเธต้าของแลตทิซสี่เหลี่ยม, r_2(n))"สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์มูลนิธิ OEIS