ในทางคณิตศาสตร์ซูเปอร์เอลลิปซอยด์ (หรือซูเปอร์เอลลิปซอยด์ ) คือทรงตันที่มีภาคตัดขวางเป็นซูเปอร์เอลลิปส์ (เส้นโค้งลาเม) ที่มีพารามิเตอร์ความเหลี่ยมเดียวกันและภาคตัดขวางตามแนวตั้งที่ผ่านจุดศูนย์กลางเป็นซูเปอร์เอลลิปส์ที่มีพารามิเตอร์ความเหลี่ยมมันเป็นการวางนัยทั่วไปของทรงรี ซึ่งเป็นกรณีพิเศษเมื่อ^{[ 2 ]}${\displaystyle \epsilon _{2}}$${\displaystyle \epsilon _{1}}$${\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{2}=1}$

ซูเปอร์เอลลิปซอยด์ในฐานะ รูปทรงพื้นฐาน ของกราฟิกคอมพิวเตอร์ได้รับความนิยมจากAlan H. Barr (ซึ่งใช้ชื่อ " ซูเปอร์ควอดริก " เพื่ออ้างถึงทั้งซูเปอร์เอลลิปซอยด์และซูเปอร์ทอรอยด์ ) ^{[ 2 ] [ 3 ]}ในวรรณกรรมด้านคอมพิวเตอร์วิชั่นและหุ่นยนต์ สมัยใหม่ ซูเปอร์ควอดริกและซูเปอร์เอลลิปซอยด์ถูกใช้แทนกันได้ เนื่องจากซูเปอร์เอลลิปซอยด์เป็นรูปทรงที่เป็นตัวแทนและใช้งานอย่างแพร่หลายที่สุดในบรรดาซูเปอร์ควอดริกทั้งหมด^{[ 4 ] [ 5 ]}

ซูเปอร์เอลลิปซอยด์มีคำศัพท์รูปทรงที่หลากหลาย รวมถึงทรงลูกบาศก์ ทรงกระบอก ทรงรี ทรงแปดเหลี่ยม และรูปทรงระหว่างกลาง^{[ 6 ]}กลายเป็นรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐาน ที่สำคัญ ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านคอมพิวเตอร์วิชั่น^{[ 6 ] [ 5 ] [ 7 ]}หุ่นยนต์^{[ 4 ]}และการจำลองทางกายภาพ^{[ 8 ]}ข้อได้เปรียบหลักของการอธิบายวัตถุและสภาพแวดล้อมด้วยซูเปอร์เอลลิปซอยด์คือความกระชับและการแสดงออกในรูปทรง^{[ 6 ]}นอกจากนี้ ยัง มี สูตรปิดของผลรวมมินคอฟสกีระหว่างซูเปอร์เอลลิปซอยด์สองอัน^{[ 9 ]}ทำให้เป็นรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานที่น่าสนใจสำหรับการจับยึดของหุ่นยนต์การตรวจจับการชนและการวางแผนการเคลื่อนที่^{[ 4 ]}

รูปทรงทางคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นจำนวนหนึ่งสามารถเกิดขึ้นได้ในฐานะกรณีพิเศษของซูเปอร์เอลลิปซอยด์ เมื่อกำหนดค่าที่ถูกต้อง ซึ่งแสดงไว้ในภาพประกอบด้านบน:

• กระบอกสูบ
• ทรงกลม
• สไตน์เมทซ์ โซลิด
• ไบโคน
• ทรงแปดเหลี่ยมปกติ
• ลูกบาศก์เป็นกรณีจำกัดที่เลขชี้กำลังมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์

ไข่ขนาดพิเศษของPiet Heinก็เป็นกรณีพิเศษของทรงรีขนาดพิเศษเช่นกัน

ซูเปอร์เอลลิปซอยด์พื้นฐานถูกกำหนดโดยฟังก์ชันโดยปริยาย

${\displaystyle f(x,y,z)=\left(x^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+y^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\epsilon _{2}/\epsilon _{1}}+z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}}$

พารามิเตอร์และเป็นจำนวนจริงบวกที่ควบคุมความเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปทรง ${\displaystyle \epsilon _{1}}$${\displaystyle \epsilon _{2}}$

พื้นผิวของซูเปอร์เอลลิปซอยด์ถูกกำหนดโดยสมการ:

${\displaystyle f(x,y,z)=1}$

สำหรับจุดใดๆจุดนั้นจะอยู่ภายในซูเปอร์เอลลิปซอยด์หากและจะอยู่ภายนอกหาก ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f(x,y,z)<1}$${\displaystyle f(x,y,z)>1}$

เส้นขนานละติจูดใดๆของซูเปอร์เอลลิปซอยด์ (ส่วนตัดแนวนอนที่ค่าz คงที่ใดๆ ระหว่าง -1 และ +1) คือเส้นโค้งลาเมที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งถูกปรับขนาดด้วยซึ่งก็คือ ${\displaystyle 2/\เอปไซลอน _{2}}$${\displaystyle a=(1-z^{\frac {2}{\เอปไซลอน _{1}}})^{\frac {\เอปไซลอน _{1}}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}=1.}$

เส้นเมริเดียนลองจิจูดใดๆ(ส่วนที่ตัดด้วยระนาบแนวตั้งใดๆ ที่ผ่านจุดกำเนิด) คือเส้นโค้งลาเม (Lamé curve) ที่มีเลขชี้กำลัง ρ โดยยืดออกในแนวนอนด้วยปัจจัยwที่ขึ้นอยู่กับระนาบที่ตัด กล่าวคือ ถ้า ρ = 1 และρ = 1 สำหรับค่าρ ที่กำหนด ส่วนตัดนั้นคือ ρ = 1 ${\displaystyle 2/\เอปไซลอน _{1}}$${\displaystyle x=u\cos \theta }$${\displaystyle y=u\sin \theta }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {u}{w}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}+z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}=1,}$

ที่ไหน

${\displaystyle w=(\cos ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\theta +\sin ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\theta )^{-{\frac {\epsilon _{2}}{2}}}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้ามีค่าเท่ากับ 1 ภาคตัดขวางแนวนอนจะเป็นวงกลม และการยืดในแนวนอนของภาคตัดขวางแนวตั้งจะมีค่าเท่ากับ 1 สำหรับทุกระนาบ ในกรณีนั้น ซูเปอร์เอลลิปซอยด์จะเป็นทรงตันของการหมุนซึ่งได้มาจากการหมุนเส้นโค้งลาเมที่มีเลขชี้กำลังรอบแกนตั้ง ${\displaystyle \epsilon _{2}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle 2/\เอปไซลอน _{1}}$

รูปทรงพื้นฐานข้างต้นขยายจาก −1 ถึง +1 ตามแกนพิกัดแต่ละแกน ซูเปอร์เอลลิปซอยด์ทั่วไปได้มาจากการปรับขนาดรูปทรงพื้นฐานตามแกนแต่ละแกนด้วยปัจจัย, , , ซึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางครึ่งหนึ่งของของแข็งที่ได้ ฟังก์ชันโดยปริยายคือ^{[ 2 ]}${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\left(\left({\frac {x}{a_{x}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac {y}{a_{y}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}+\left({\frac {z}{a_{z}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}}$.

ในทำนองเดียวกัน พื้นผิวของซูเปอร์เอลลิปซอยด์ถูกกำหนดโดยสมการ

${\displaystyle F(x,y,z)=1}$

สำหรับจุดใดๆจุดนั้นจะอยู่ภายในซูเปอร์เอลลิปซอยด์หากและจะอยู่ภายนอกหาก ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f(x,y,z)<1}$${\displaystyle f(x,y,z)>1}$

ดังนั้น ฟังก์ชันโดยนัยจึงเรียกว่าฟังก์ชันภายใน-ภายนอกของซูเปอร์เอลลิปซอยด์^{[ 2 ]}

ซูเปอร์เอลลิปซอยด์มีการแสดงแบบพาราเมตริกในแง่ของพารามิเตอร์พื้นผิว, . ^{[ 3 ]}${\displaystyle \eta \in [-\pi /2,\pi /2)}$${\displaystyle \omega \in [-\pi ,\pi )}$

${\displaystyle x(\eta ,\omega )=a_{x}\cos ^{\epsilon _{1}}\eta \cos ^{\epsilon _{2}}\omega }$

${\displaystyle y(\eta ,\omega )=a_{y}\cos ^{\epsilon _{1}}\eta \sin ^{\epsilon _{2}}\omega }$

${\displaystyle z(\eta ,\omega )=a_{z}\sin ^{\epsilon _{1}}\eta }$

ในการมองเห็นด้วยคอมพิวเตอร์และการประยุกต์ใช้หุ่นยนต์ ซูเปอร์เอลลิปซอยด์ที่มีท่าทางทั่วไปในพื้นที่ยูคลิด 3 มิติ มักจะเป็นที่น่าสนใจมากกว่า^{[ 6 ] [ 5 ]}

สำหรับการแปลงยูคลิดที่กำหนดของเฟรมซูเปอร์เอลลิปซอยด์เทียบกับเฟรมโลก ฟังก์ชันโดยนัยของพื้นผิวซูเปอร์เอลลิปซอยด์ที่กำหนดทั่วไปซึ่งกำหนดเฟรมโลกคือ^{[ 6 ]}${\displaystyle g=[\mathbf {R} \in SO(3),\mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{3}]\in SE(3)}$

${\displaystyle F\left(g^{-1}\circ (x,y,z)\right)=1}$

การดำเนินการแปลงที่แมปจุดในกรอบอ้างอิงโลกไปยังกรอบอ้างอิงซูเปอร์เอลลิปซอยด์มาตรฐาน อยู่ ที่ไหน${\displaystyle \circ }$${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$

ปริมาตรที่ครอบคลุมโดยพื้นผิวซูเปอร์เอลลิปซอยด์สามารถแสดงได้ในรูปของ^{ฟังก์ชัน}เบตา [ ^{10 ]}${\displaystyle \beta (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle V(\epsilon _{1},\epsilon _{2},a_{x},a_{y},a_{z})=2a_{x}a_{y}a_{z}\epsilon _{1}\epsilon _{2}\beta ({\frac {\epsilon _{1}}{2}},\epsilon _{1}+1)\beta ({\frac {\epsilon _{2}}{2}},{\frac {\epsilon _{2}+2}{2}})}$

หรือเทียบเท่ากับฟังก์ชันแกมมา เนื่องจาก ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

${\displaystyle \beta (m,n)={\frac {\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}}$

การกู้คืนการแสดงซูเปอร์เอลลิปซอยด์ (หรือซูเปอร์ควอดริก) จากข้อมูลดิบ (เช่นจุดคลาวด์เมช รูปภาพ และว็อกเซล) เป็นงานสำคัญในคอมพิวเตอร์วิชั่น^{[ 11 ] [ 7 ] [ 6 ] [ 5 ]}หุ่นยนต์^{[ 4 ]}และการจำลองทางกายภาพ^{[ 8 ]}

วิธีการคำนวณแบบดั้งเดิมจำลองปัญหาเป็นปัญหากำลังสองน้อยที่สุด^{[ 11 ]}เป้าหมายคือการค้นหาชุดพารามิเตอร์ซูเปอร์เอลลิปซอยด์ที่เหมาะสมที่สุดซึ่งลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้น้อยที่สุด นอกเหนือจากพารามิเตอร์รูปร่างแล้วSE(3)คือตำแหน่งของเฟรมซูเปอร์เอลลิปซอยด์เมื่อเทียบกับพิกัดโลก ${\displaystyle \theta \doteq [\epsilon _{1},\epsilon _{2},a_{x},a_{y},a_{z},g]}$${\displaystyle g\in }$

มีฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ใช้กันทั่วไปสองฟังก์ชัน^{[ 12 ]}ฟังก์ชันแรกสร้างขึ้นโดยตรงจากฟังก์ชันโดยปริยาย^{[ 11 ]}

${\displaystyle G_{1}(\theta )=a_{x}a_{y}a_{z}\sum _{i=1}^{N}\left(F^{\epsilon _{1}}\left(g^{-1}\circ (x_{i},y_{i},z_{i})\right)-1\right)^{2}}$

การลดค่าฟังก์ชันเป้าหมายให้เหลือน้อยที่สุด จะทำให้ได้รูปทรงซูเปอร์เอลลิปซอยด์ที่ใกล้เคียงกับจุดอินพุตทั้งหมดมากที่สุดในขณะเดียวกัน ค่าสเกลาร์จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับปริมาตรของซูเปอร์เอลลิปซอยด์ และด้วยเหตุนี้จึงมีผลในการลดปริมาตรให้เหลือน้อยที่สุดด้วย ${\displaystyle \{(x_{i},y_{i},z_{i})\in \mathbb {R} ^{3},i=1,2,...,N\}}$${\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z}}$

ฟังก์ชันวัตถุประสงค์อื่นพยายามลดระยะทางรัศมีระหว่างจุดและซูเปอร์เอลลิปซอยด์ให้เหลือน้อยที่สุด นั่นคือ^{[ 13 ] [ 12 ]}

${\displaystyle G_{2}(\theta )=\sum _{i=1}^{N}\left(\left|r_{i}\right|\left|1-F^{-{\frac {\epsilon _{1}}{2}}}\left(g^{-1}\circ (x_{i},y_{i},z_{i})\right)\right|\right)^{2}}$, ที่ไหน${\displaystyle r_{i}=\|(x_{i},y_{i},z_{i})\|_{2}}$

วิธีการเชิงความน่าจะเป็นที่เรียกว่า EMS ได้รับการออกแบบมาเพื่อจัดการกับสัญญาณรบกวนและค่าผิดปกติ^{[ 6 ]}ในวิธีนี้ การกู้คืนซูเปอร์เอลลิปซอยด์ได้รับการกำหนดใหม่เป็น ปัญหา การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดและมีการเสนอวิธีการเพิ่มประสิทธิภาพเพื่อหลีกเลี่ยงค่าต่ำสุดเฉพาะที่โดยใช้ความคล้ายคลึงทางเรขาคณิตของซูเปอร์เอลลิปซอยด์

วิธีการนี้ได้รับการขยายเพิ่มเติมโดยการสร้างแบบจำลองด้วยเทคนิคเบย์เซียนแบบไม่ใช้พารามิเตอร์เพื่อกู้คืนซูเปอร์เอลลิปซอยด์หลายอันพร้อมกัน^{[ 14 ]}

• Barr, "Superquadrics and Angle-Preserving Transformations," ในIEEE Computer Graphics and Applications , เล่ม 1, ฉบับที่ 1, หน้า 11–23, มกราคม 1981, doi: 10.1109/MCG.1981.1673799
• Aleš Jaklič, Aleš Leonardis, Franc Solina, การแบ่งส่วนและการกู้คืน Superquadrics สำนักพิมพ์ทางวิชาการ Kluwer, Dordrecht, 2000
• Aleš Jaklič, Franc Solina (2003) โมเมนต์ของซูเปอร์เอลลิปซอยด์และการประยุกต์ใช้ในการลงทะเบียนภาพระยะทาง IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS, 33 (4). หน้า 648–657
• W. Liu, Y. Wu, S. Ruan และ GS Chirikjian, "การกู้คืน Superquadric ที่ทนทานและแม่นยำ: แนวทางเชิงความน่าจะเป็น," การประชุม IEEE/CVF ว่าด้วยคอมพิวเตอร์วิชั่นและการรู้จำรูปแบบ (CVPR) ปี 2022 , นิวออร์ลีนส์, รัฐลุยเซียนา, สหรัฐอเมริกา, 2022, หน้า 2666–2675, doi: 10.1109/CVPR52688.2022.00270

• บรรณานุกรม: การแสดงผลแบบ SuperQuadric
• สัญลักษณ์เทนเซอร์ซูเปอร์ควอดริก
• ทรงรีและทรงโดนัท SuperQuadric, การจัดแสง OpenGL และการกำหนดเวลา
• Superquadraticsโดย Robert Kragler จากโครงการ Wolfram Demonstrations Project
• อัลกอริทึมการกู้คืน Superquadricsใน Python และ MATLAB