ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะทฤษฎีโมดูลกำหนดให้ริง และโมดูล n ที่มีโมดูลย่อยโมดูลนั้นจะถูกเรียกว่าเป็นส่วนขยายที่สำคัญของ(หรือเรียกว่าเป็นโมดูลย่อยที่สำคัญหรือโมดูลย่อยขนาดใหญ่ของ) ถ้าสำหรับทุกโมดูลย่อย Hของ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle H\cap N=\{0\}\,}$หมายความว่า${\displaystyle H=\{0\}\,}$

ในกรณีพิเศษไอเดียลซ้ายที่สำคัญของคือไอเดียลซ้ายที่สำคัญในฐานะสับโมดูลของโมดูลซ้ายไอเดียลซ้ายนี้จะมีอินเตอร์เซกชันที่ไม่เป็นศูนย์กับไอเดียลซ้ายที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของ ในทำนองเดียวกันไอเดียลขวาที่สำคัญก็คือสับโมดูลที่สำคัญของโมดูล ขวา นั่นเอง ${\displaystyle R}$${\displaystyle _{R}R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{R}}$

สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับส่วนขยายที่จำเป็นประกอบด้วยสองรูปแบบดังต่อไปนี้:

${\displaystyle N\subseteq _{e}M\,}$( แลม 1999 ) และ( แอนเดอร์สันและฟุลเลอร์ 1992 )${\displaystyle N\trianglelefteq M}$

แนวคิดคู่ขนานของโมดูลย่อยที่จำเป็นคือโมดูลย่อยที่ไม่จำเป็น (หรือโมดูลย่อยขนาดเล็ก ) โมดูลย่อย จะไม่จำเป็นหากสำหรับ โมดูล ย่อยอื่นใด${\displaystyle N}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle N+H=M\,}$หมายความว่า.${\displaystyle H=M\,}$

สัญลักษณ์ที่ใช้โดยทั่วไปสำหรับโมดูลย่อยที่ไม่จำเป็น ได้แก่:

${\displaystyle N\subseteq _{s}M\,}$( แลม 1999 ) และ( แอนเดอร์สันและฟุลเลอร์ 1992 )${\displaystyle N\ll M}$

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติพื้นฐานบางประการของส่วนขยายที่จำเป็น ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ที่แนะนำไว้ข้างต้น ให้เป็นโมดูล และและเป็นโมดูลย่อยของโดยที่${\displaystyle M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle K\subseteq N}$

• เห็นได้ชัดว่าเป็นซับโมดูลที่จำเป็นของและซับโมดูลศูนย์ของโมดูลที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่เคยเป็นซับโมดูลที่จำเป็นเลย${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$ก็ต่อเมื่อและ${\displaystyle K\subseteq _{e}N}$${\displaystyle N\subseteq _{e}M}$
• ${\displaystyle K\cap H\subseteq _{e}M}$ก็ต่อเมื่อและ${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$${\displaystyle H\subseteq _{e}M}$

โดยใช้ทฤษฎีบทของซอร์นเราสามารถพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์อีกประการหนึ่งได้ นั่นคือ สำหรับสับโมดูลใดๆของจะมีสับโมดูล อยู่เช่นนั้น ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle N\oplus C\subseteq _{e}M}$.

นอกจากนี้ โมดูลที่ไม่มีส่วนขยายสำคัญที่เหมาะสม (กล่าวคือ ถ้าโมดูลนั้นสำคัญในโมดูลอื่น โมดูลนั้นจะเท่ากับโมดูลนั้น) ก็เป็นโมดูลแบบฉีดได้ดังนั้นจึงสามารถพิสูจน์ได้ว่าทุกโมดูลMมีส่วนขยายสำคัญสูงสุดE ( M ) ซึ่งเรียกว่าเปลือกแบบฉีดได้ของMเปลือกแบบฉีดได้นั้นจำเป็นต้องเป็นโมดูลแบบฉีดได้ และมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม เปลือกแบบฉีดได้นั้นยังเป็นโมดูลขั้นต่ำในแง่ที่ว่าโมดูลแบบฉีดได้อื่นใดที่บรรจุMจะมีสำเนาของE ( M ) อยู่ด้วย

คุณสมบัติหลายอย่างสามารถแปลงเป็นโมดูลย่อยที่ไม่จำเป็นได้ แต่ไม่ใช่ทุกอย่าง สมมติให้เป็นโมดูล และและเป็นโมดูลย่อยของโดย ที่${\displaystyle M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle K\subseteq N}$

• โมดูลย่อยศูนย์นั้นไม่จำเป็นเสมอ และโมดูลที่ไม่ใช่ศูนย์นั้นไม่เคยไม่จำเป็นในตัวมันเอง${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle N\subseteq _{s}M}$ก็ต่อเมื่อและ${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$${\displaystyle N/K\subseteq _{s}M/K}$
• ${\displaystyle K+H\subseteq _{s}M}$ก็ต่อเมื่อและ.${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$${\displaystyle H\subseteq _{s}M}$

เนื่องจากทุกโมดูลสามารถแมปได้ผ่านโมโนมอร์ฟิซึมซึ่งภาพของมันเป็นสาระสำคัญในโมดูลแบบฉีด (เปลือกแบบฉีดของมัน) จึงอาจมีคำถามว่าข้อความคู่ขนานนั้นเป็นจริงหรือไม่ กล่าวคือ สำหรับทุกโมดูลMจะมีโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ PและเอพิโมฟิซึมจากPไปยังM ซึ่ง เคอร์เนลของมันไม่จำเป็นหรือไม่ ( P ดังกล่าว เรียกว่าตัวคลุมเชิงโปรเจกทีฟ ) คำตอบโดยทั่วไปคือ " ไม่ " และกลุ่มของวงแหวนพิเศษที่โมดูลด้านขวาทั้งหมดมีตัวคลุมเชิงโปรเจกทีฟคือกลุ่มของวงแหวนสมบูรณ์ ด้าน ขวา

รูปแบบหนึ่งของบทตั้งของ Nakayamaคือ J( R ) Mเป็นซับโมดูลที่เกินความจำเป็นของMเมื่อMเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือ R

นิยามนี้สามารถขยายไปสู่หมวดหมู่แบบอาเบเลียน ใดๆ ก็ได้ ส่วนขยายที่สำคัญคือโมโนมอร์ฟิซึมซึ่ง สำหรับวัตถุย่อยที่ ไม่เป็นศูนย์ทุกตัว ผลคูณไฟเบอร์${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle u\colon M\to E}$${\displaystyle s\colon N\to E}$${\displaystyle N\times _{E}M\neq 0}$

ในหมวดหมู่ทั่วไป มอร์ฟิซึมf  : X → Yถือเป็นมอร์ฟิซึมที่จำเป็นก็ต่อเมื่อมอร์ฟิซึมg  : Y → Zใดๆ เป็นโมโนมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อg ° fเป็นโมโนมอร์ฟิซึม ( Porst 1981 , บทนำ) การที่กำหนดให้gเป็นมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของYแสดงให้เห็นว่ามอร์ฟิซึมที่จำเป็นfต้องเป็นโมโนมอร์ฟิซึม

ถ้าXมีขอบเขตแบบหนึ่งต่อหนึ่งYแล้วYจะเป็นส่วนขยายที่สำคัญที่สุดของX ( Porst 1981 , บทนำ ( v )) แต่ส่วนขยายที่สำคัญที่สุดอาจไม่ใช่ขอบเขตแบบหนึ่งต่อหนึ่ง อันที่จริง ในหมวดหมู่ของปริภูมิ T1 _และแผนที่ต่อเนื่อง วัตถุทุกชิ้นมีส่วนขยายที่สำคัญที่สุดที่ไม่ซ้ำกัน แต่ไม่มีปริภูมิใดที่มีองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งตัวที่มีขอบเขตแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ( Hoffmann 1981 )

• ซับโมดูลหนาแน่นเป็นซับโมดูลสำคัญชนิดพิเศษ