ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันสนับสนุนh _A ของ เซตปิดนูนที่ ไม่ว่างเปล่าAใน อธิบายระยะทาง (มีเครื่องหมาย) ของระนาบสนับสนุนของAจากจุดกำเนิด ฟังก์ชันสนับสนุนเป็นฟังก์ชันนูนบนเซตปิดนูนที่ไม่ว่างเปล่าA ใดๆ จะถูกกำหนดโดย h _A อย่างไม่ซ้ำกัน ยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันสนับสนุนในฐานะฟังก์ชันของเซตAนั้นเข้ากันได้กับการดำเนินการทางเรขาคณิตตามธรรมชาติหลายอย่าง เช่น การปรับขนาด การเลื่อน การหมุน และการบวกแบบมินคอฟสกีเนื่องจากคุณสมบัติเหล่านี้ ฟังก์ชันสนับสนุนจึงเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิตนูน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ฟังก์ชันสนับสนุน ของเซตปิดนูนที่ไม่ว่างAในกำหนดโดย^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle h_{A}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle h_{A}(x)=\sup\{x\cdot a:a\in A\},}$

การตีความฟังก์ชันสนับสนุนนั้นเข้าใจง่ายที่สุดเมื่อเป็นเวกเตอร์หน่วยตามคำนิยาม เซตแบบนูนนั้นบรรจุอยู่ในครึ่งพื้นที่ปิด ${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x\leqslant h_{A}(x)\}}$

และมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดอยู่ในขอบเขต ${\displaystyle A}$

${\displaystyle H(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x=h_{A}(x)\}}$

ของครึ่งพื้นที่นี้ ระนาบไฮเปอร์จึงเป็นระนาบไฮเปอร์ที่รองรับโดยมีเวกเตอร์ปกติหน่วยภายนอกคำว่าภายนอกมีความสำคัญในที่นี้ เนื่องจากทิศทางของxมีบทบาท เซตH ( x ) โดยทั่วไปจะแตกต่างจาก H (−x )ในกรณีเฉพาะนี้ แสดงถึง ระยะทางยูคลิดทางกายภาพที่มีเครื่องหมาย จากจุดกำเนิดไปยัง ระนาบ ไฮเปอร์ที่รองรับ${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h_{A}(x)}$${\displaystyle H(x)}$

สำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์หน่วยใดๆค่าของฟังก์ชันสนับสนุนจะไม่แสดงถึงระยะทางเชิงพื้นที่โดยตรงอีกต่อไป แต่สามารถตีความได้ว่าเป็นคะแนนรวมที่สามารถทำได้บน เวกเตอร์ที่ กำหนดโดยการให้คะแนนที่กำหนดโดยในกรอบการทำงานนี้ เวกเตอร์ทำหน้าที่เป็นตัวดำเนินการประเมินผล โดยแต่ละองค์ประกอบทำหน้าที่เป็นปัจจัยถ่วงน้ำหนัก ผลคูณภายในเป็นเครื่องจักรเชิงเส้นที่แปลงเวกเตอร์ตำแหน่งเชิงพื้นที่เป็นคะแนนสเกลาร์ ขนาดกำหนดความไวของเครื่องจักรนี้ โดยแสดงถึงจำนวนหน่วยคะแนนที่สะสมต่อเมตรของการเคลื่อนที่ทางกายภาพในทิศทางของ ${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle h_{A}(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cdot a}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle ||x||_{2}}$${\displaystyle x}$

ภายใต้การตีความนี้ ค่าฟังก์ชันสนับสนุนคือคะแนนสูงสุดที่เป็นไปได้ที่จุดใดๆ ภายในเซตสามารถทำได้ตามทิศทางนั้นระนาบสนับสนุนแสดงถึงกลุ่มของจุดทั้งหมดในอวกาศที่บรรลุคะแนนสูงสุดตามเกณฑ์นี้ ระยะทางทางกายภาพที่แท้จริงจากจุดกำเนิดไปยังระนาบสนับสนุนจะถูกกำหนดโดยการหารคะแนนสะสมสูงสุดด้วยอัตราการให้คะแนน: ${\displaystyle h_{A}(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y=h_{A}(x)\}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {h_{A}(x)}{||x||_{2}}}}$

มุมมองนี้เป็นพื้นฐานที่เข้าใจง่ายสำหรับคุณสมบัติความเป็นเนื้อเดียวกันเชิงบวกของฟังก์ชันสนับสนุน สำหรับการปรับขนาดเวกเตอร์ด้วยปัจจัยจะไม่เปลี่ยนแปลงรูปทรงเรขาคณิตทางกายภาพหรือขอบเขตของเซตพื้นฐานซึ่งหมายความว่าระนาบสนับสนุนยังคงอยู่ในตำแหน่งทางกายภาพเดียวกัน แต่การปรับขนาดจะคูณความไวในการให้คะแนน (อัตราแลกเปลี่ยน) ด้วยส่งผลให้เกณฑ์คะแนนสูงสุดปรับขนาดด้วย ซึ่งเป็นผลมาจากการปรับเกณฑ์การวัดเท่านั้น ${\displaystyle h_{A}(\alpha x)=\alpha h_{A}(x)}$${\displaystyle \alpha \geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle h_{A}(x)}$${\displaystyle \alpha }$

ฟังก์ชันสนับสนุนของเซตเอกลักษณ์A = { a } คือ . ${\displaystyle h_{A}(x)=x\cdot a}$

ฟังก์ชันสนับสนุนของทรงกลมหน่วยยูคลิดคือ โดยที่คือนอร์ม 2 ${\displaystyle B=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\|y\|_{2}\leq 1\}}$${\displaystyle h_{B}(x)=\|x\|_{2}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$

ถ้าAเป็นส่วนของเส้นตรงที่ ผ่านจุดกำเนิด โดยมีจุดปลายคือ−aและaแล้ว${\displaystyle h_{A}(x)=|x\cdot a|}$

ฟังก์ชันสนับสนุนของ เซตเว้าที่ไม่ว่างเปล่าและ กระชับนั้นมีค่าเป็นจำนวนจริงและต่อเนื่อง แต่ถ้าเซตนั้นปิดและไม่มีขอบเขต ฟังก์ชันสนับสนุนของมันจะเป็น ค่าจำนวน จริงแบบขยาย (โดยมีค่าเป็น ) เนื่องจากเซตเว้าปิดที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ เป็นผลตัดกันของครึ่งพื้นที่สนับสนุน ฟังก์ชันh _Aจึงกำหนดค่า Aได้อย่างไม่ซ้ำกัน สิ่งนี้สามารถใช้เพื่ออธิบายคุณสมบัติทางเรขาคณิตบางอย่างของเซตเว้าในเชิงวิเคราะห์ได้ ตัวอย่างเช่น เซตAมีสมมาตรแบบจุดเทียบกับจุดกำเนิดก็ต่อเมื่อh _A เป็นฟังก์ชัน คู่${\displaystyle \infty }$

โดยทั่วไป ฟังก์ชันสนับสนุนไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์เชิงทิศทางมีอยู่และให้ฟังก์ชันสนับสนุนของเซตสนับสนุน ถ้าAเป็นเซตกระชับและนูน และh _A '( u ; x ) แทนอนุพันธ์เชิงทิศทางของ h _Aที่u ≠ 0ในทิศทางxเราจะได้ว่า

${\displaystyle h_{A}'(u;x)=h_{A\cap H(u)}(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

ในที่นี้H ( u ) คือระนาบรองรับของAที่มีเวกเตอร์ปกติภายนอกuซึ่งกำหนดไว้ข้างต้น ถ้าA ∩ H ( u ) เป็นเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว { y } สมมติว่าเป็นเช่นนั้น แสดงว่าฟังก์ชันรองรับสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ uและเกรเดียนต์ของฟังก์ชันรองรับจะตรงกับ_{y ในทางกลับกัน ถ้า hA}สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่uแล้วA ∩ H ( u ) จะเป็นเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ดังนั้นhA _{สามารถ}หาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดu ≠ 0 ก็ต่อเมื่อAเป็นเซตเว้าอย่างเคร่งครัด (ขอบเขตของAไม่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงใดๆ)

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อเป็นเซตแบบนูนและปิดแล้ว สำหรับทุกๆ ${\displaystyle A}$${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle \partial h_{A}(u)=H(u)\cap A\,,}$

โดยที่ หมาย ถึง เซตของอนุพันธ์ย่อยของ ที่${\displaystyle \partial h_{A}(u)}$${\displaystyle h_{A}}$${\displaystyle u}$

จากนิยามโดยตรง จะได้ว่าฟังก์ชันสนับสนุนเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์บวก:

${\displaystyle h_{A}(\alpha x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n},}$

และแบบบวกย่อย:

${\displaystyle h_{A}(x+y)\leq h_{A}(x)+h_{A}(y),\qquad x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$

ดังนั้นh _Aจึงเป็นฟังก์ชันนูนเป็นสิ่งสำคัญในเรขาคณิตนูนที่คุณสมบัติเหล่านี้กำหนดลักษณะของฟังก์ชันสนับสนุน: ฟังก์ชันค่าจริงที่เป็นเอกพันธุ์ นูน และเป็นบวกใดๆ บนเป็นฟังก์ชันสนับสนุนของเซตนูนกระชับที่ไม่ว่างเปล่า มีการพิสูจน์หลายอย่างที่เป็นที่รู้จัก^{[ 3 ]} หนึ่งในนั้นคือการใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการแปลงเลอจองเดอร์ของฟังก์ชันค่าจริงที่เป็นเอกพันธุ์ นูน และเป็นบวก เป็นฟังก์ชันตัวบ่งชี้ (นูน) ของเซตนูนกระชับ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ผู้เขียนหลายท่านจำกัดฟังก์ชันสนับสนุนไว้ที่ทรงกลมหน่วยแบบยุคลิด และพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันบนS ^{n -1}คุณสมบัติความเป็นเอกรูปแสดงให้เห็นว่าข้อจำกัดนี้กำหนดฟังก์ชันสนับสนุนบนตามที่นิยามไว้ข้างต้น ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ฟังก์ชันสนับสนุนของเซตที่ขยายหรือแปลแล้วนั้นมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเซตดั้งเดิมA :

${\displaystyle h_{\alpha A}(x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n}}$

และ

${\displaystyle h_{A+b}(x)=h_{A}(x)+x\cdot b,\qquad x,b\in \mathbb {R} ^{n}.}$

ข้อหลังนี้สามารถสรุปได้โดยทั่วไปว่า

${\displaystyle h_{A+B}(x)=h_{A}(x)+h_{B}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

โดยที่A + Bหมายถึงผลรวมมินคอฟสกี :

${\displaystyle A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.}$

ระยะทางเฮาส์ดอร์ฟd _H ( A , B ) ของเซตกระชับนูนสองเซตที่ไม่ว่างเปล่าAและBสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันสนับสนุน

${\displaystyle d_{\mathrm {H} }(A,B)=\|h_{A}-h_{B}\|_{\infty }}$

โดยทางด้านขวามือจะใช้ ค่ามาตรฐานสม่ำเสมอบนทรงกลมหน่วย

คุณสมบัติของฟังก์ชันสนับสนุนในฐานะฟังก์ชันของเซตAบางครั้งสรุปได้ว่า: A h _Aแมปตระกูลของเซตกระชับนูนที่ไม่ว่างเปล่าไปยังกรวยของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงทั้งหมดบนทรงกลมซึ่งส่วนขยายเอกพันธุ์บวกเป็นนูน หากจะใช้ศัพท์ผิดเล็กน้อย บางครั้งเรียกว่าเชิงเส้นเนื่องจากเคารพการบวกแบบมินคอฟสกี แม้ว่าจะไม่ได้นิยามบนปริภูมิเชิงเส้น แต่บนกรวยนูน (นามธรรม) ของเซตกระชับนูนที่ไม่ว่างเปล่า การแมปเป็นการสมมาตรระหว่างกรวยนี้ซึ่งมีเมตริกเฮาส์ดอร์ฟ และกรวยย่อยของตระกูลฟังก์ชันต่อเนื่องบนS ^{n -1}ที่มีบรรทัดฐานเอกรูป ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

ตรงกันข้ามกับข้างต้น บางครั้งฟังก์ชันสนับสนุนจะถูกกำหนดบนขอบเขตของAแทนที่จะเป็นบน S ^{n -1}ภายใต้สมมติฐานว่ามีเวกเตอร์ปกติหน่วยภายนอกที่ไม่ซ้ำกันที่แต่ละจุดขอบเขต ไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติความนูนสำหรับการกำหนด สำหรับพื้นผิวปกติที่มีทิศทางM ซึ่งมีเวกเตอร์ปกติหน่วย N ที่กำหนดไว้ทุกที่บนพื้นผิว ฟังก์ชันสนับสนุนจะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {x}\mapsto {x}\cdot N({x})}$.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับค่าใดๆ ฟังก์ชันสนับสนุนนี้จะ ให้ ระยะทางแบบมีเครื่องหมายของระนาบไฮเปอร์เพลนที่ไม่ซ้ำกันซึ่งสัมผัสMในx${\displaystyle {x}\in M}$

• กรวยกั้น
• สนับสนุนการทำงาน