ฟังก์ชันการอยู่รอดคือฟังก์ชันที่ให้ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วย อุปกรณ์ หรือวัตถุอื่น ๆ ที่น่าสนใจจะอยู่รอดได้นานกว่าระยะเวลาหนึ่ง^{[ 1 ]} ฟังก์ชันการอยู่รอดเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันผู้รอดชีวิต^{[ 2 ]}หรือ ฟังก์ชันความ น่าเชื่อถือ^{[ 3 ]} คำว่าฟังก์ชันความน่าเชื่อถือมักใช้กันในทางวิศวกรรมในขณะที่คำว่าฟังก์ชันการอยู่รอดใช้ในแอปพลิเคชันที่หลากหลายกว่า รวมถึงอัตราการตายของมนุษย์ ฟังก์ชันการอยู่รอดคือฟังก์ชันการกระจายสะสมเสริมของอายุการใช้งาน บางครั้งฟังก์ชันการกระจายสะสมเสริมก็เรียกว่าฟังก์ชันการอยู่รอดโดยทั่วไป

ให้ช่วงอายุ การใช้งาน เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่อธิบายเวลาที่เกิดความล้มเหลว ถ้ามีฟังก์ชันการกระจายสะสมและฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นในช่วงแล้วฟังก์ชันการอยู่รอดหรือฟังก์ชันความน่าเชื่อถือคือ: ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle [0,\infty )}$

$${\displaystyle S(t)=\int _{t}^{\infty }f(u)\,du=\Pr(T>t)=1-F(t)=1-\int _{0}^{t}f(u)\,du}$$

กราฟด้านล่างแสดงตัวอย่างฟังก์ชันการอยู่รอดสมมุติแกน xคือเวลา แกนyคือสัดส่วนของผู้รอดชีวิต กราฟแสดงความน่าจะเป็นที่ผู้รอดชีวิตจะอยู่รอดเกินเวลาt

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันการอยู่รอดที่ 1 ความน่าจะเป็นที่จะมีชีวิตรอดนานกว่าt = 2เดือนคือ0.37นั่นคือ 37% ของผู้เข้าร่วมการทดลองมีชีวิตรอดนานกว่า 2 เดือน

สำหรับฟังก์ชันการอยู่รอดที่ 2 ความน่าจะเป็นที่จะมีชีวิตรอดนานกว่าt = 2เดือนคือ0.97นั่นคือ 97% ของผู้เข้าร่วมการทดลองมีชีวิตรอดนานกว่า 2 เดือน

ค่ามัธยฐานของระยะเวลาการรอดชีวิตสามารถกำหนดได้จากฟังก์ชันการรอดชีวิต: ค่ามัธยฐานของระยะเวลาการรอดชีวิตคือจุดที่ฟังก์ชันการรอดชีวิตตัดกับค่า0.5 [ ^{4 ] ตัวอย่าง}เช่น สำหรับฟังก์ชันการรอดชีวิต 2 ผู้ป่วย 50% รอดชีวิตเป็นเวลา 3.72 เดือน ดังนั้นค่ามัธยฐานของระยะเวลาการรอดชีวิตคือ3.72เดือน

ค่ามัธยฐานของระยะเวลาการรอดชีวิตไม่สามารถหาได้จากกราฟเพียงอย่างเดียวเสมอไป ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชันการรอดชีวิตที่ 4 พบว่ามากกว่า 50% ของผู้เข้าร่วมการวิจัยมีชีวิตอยู่ได้นานกว่าระยะเวลาการสังเกต 10 เดือน

ฟังก์ชันการอยู่รอดเป็นหนึ่งในหลายวิธีในการอธิบายและแสดงข้อมูลการอยู่รอด อีกวิธีหนึ่งที่มีประโยชน์ในการแสดงข้อมูลคือ กราฟที่แสดงการกระจายของเวลาการอยู่รอดของบุคคล Olkin ^{[ 5 ]}หน้า 426 ให้ตัวอย่างข้อมูลการอยู่รอดดังต่อไปนี้ บันทึกจำนวนชั่วโมงระหว่างความล้มเหลวที่เกิดขึ้นต่อเนื่องกันของระบบปรับอากาศ (AC) เวลาเป็นชั่วโมงtระหว่างความล้มเหลวที่เกิดขึ้นต่อเนื่องกันคือ 1, 3, 5, 7, 11, 11, 11, 12, 14, 14, 14, 16, 16, 20, 21, 23, 42, 47, 52, 62, 71, 71, 87, 90, 95, 120, 120, 225, 246 และ 261 เวลาเฉลี่ยระหว่างความล้มเหลวคือ 59.6 รูปด้านล่างแสดงการกระจายของเวลาระหว่างความล้มเหลว เครื่องหมายขีดสีน้ำเงินใต้กราฟแสดงจำนวนชั่วโมงจริงระหว่างครั้งที่เครื่องปรับอากาศเสียติดต่อกัน

ในตัวอย่างนี้ เส้นโค้งที่แสดงถึงการแจกแจงแบบเอกซ์ponentialจะทับซ้อนกับการแจกแจงของเวลาที่เครื่องปรับอากาศเสีย ซึ่งการแจกแจงแบบเอกซ์ponential จะประมาณค่าการแจกแจงของเวลาที่เครื่องปรับอากาศเสียได้ เส้นโค้งเอกซ์ponential นี้ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์แลมบ์ดาλ :

การกระจายของเวลาที่เกิดความล้มเหลวเรียกว่าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) เนื่องจากเวลาสามารถมีค่าบวกใดๆ ก็ได้ ในสมการ PDF จะระบุเป็นf _Tหากเวลาสามารถมีค่าเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น (เช่น 1 วัน 2 วัน เป็นต้น) การกระจายของเวลาที่เกิดความล้มเหลวจะเรียกว่าฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นวิธีการวิเคราะห์การอยู่รอดส่วนใหญ่จะถือว่าเวลาสามารถมีค่าบวกใดๆ ก็ได้ และf _Tคือ PDF หากประมาณเวลาที่สังเกตได้ระหว่างความล้มเหลวของเครื่องปรับอากาศโดยใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เส้นโค้งเลขชี้กำลังจะให้ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นf _Tสำหรับเวลาที่เกิดความล้มเหลวของเครื่องปรับอากาศ

อีกวิธีหนึ่งที่มีประโยชน์ในการแสดงข้อมูลการอยู่รอดคือ กราฟที่แสดงความล้มเหลวสะสมจนถึงแต่ละช่วงเวลา ข้อมูลเหล่านี้อาจแสดงเป็นจำนวนสะสมหรือสัดส่วนสะสมของความล้มเหลวจนถึงแต่ละช่วงเวลา กราฟด้านล่างแสดงความน่าจะเป็นสะสม (หรือสัดส่วน) ของความล้มเหลวในแต่ละช่วงเวลาสำหรับระบบปรับอากาศ เส้นขั้นบันไดสีดำแสดงสัดส่วนสะสมของความล้มเหลว สำหรับแต่ละขั้นจะมีเครื่องหมายถูกสีน้ำเงินที่ด้านล่างของกราฟซึ่งระบุเวลาที่เกิดความล้มเหลวที่สังเกตได้ เส้นสีแดงเรียบแสดงถึงเส้นโค้งเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลที่สังเกตได้

กราฟแสดงความน่าจะเป็นสะสมของความล้มเหลวจนถึงแต่ละจุดเวลาเรียกว่าฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ใน การ วิเคราะห์การอยู่รอด ฟังก์ชันการกระจายสะสมจะให้ความน่าจะเป็นที่เวลาการอยู่รอดจะน้อยกว่าหรือเท่ากับเวลาt ที่กำหนด

ให้Tเป็นเวลาการอยู่รอด ซึ่งเป็นจำนวนบวกใดๆ โดยแต่ละช่วงเวลาจะใช้ตัวอักษรพิมพ์เล็กtฟังก์ชันการกระจายสะสมของTคือฟังก์ชัน

$${\displaystyle F(t)=\Pr(T\leq t),}$$

โดยที่ด้านขวามือแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มTมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับtถ้าเวลาสามารถมีค่าบวกใดๆ ได้ ฟังก์ชันการกระจายสะสมF ( t )จะเป็นผลรวมของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น f ( t )

สำหรับตัวอย่างเครื่องปรับอากาศ กราฟของฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ด้านล่างแสดงให้เห็นว่า ความน่าจะเป็นที่เวลาจะเสียจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 ชั่วโมง คือ0.81ซึ่งประมาณได้จากการใช้เส้นโค้งเอ็กซ์โปเนนเชียลที่เหมาะสมกับข้อมูล

อีกทางเลือกหนึ่งนอกเหนือจากการวาดกราฟความน่าจะเป็นที่เวลาเกิดความล้มเหลวจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 ชั่วโมง คือการวาดกราฟความน่าจะเป็นที่เวลาเกิดความล้มเหลวจะมากกว่า 100 ชั่วโมง ความน่าจะเป็นที่เวลาเกิดความล้มเหลวจะมากกว่า 100 ชั่วโมงจะต้องเท่ากับ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นที่เวลาเกิดความล้มเหลวจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 ชั่วโมง เนื่องจากผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดต้องเท่ากับ 1

ผลลัพธ์ที่ได้คือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{เวลาล้มเหลว}}>100{\text{ ชั่วโมง}})&=1-\Pr({\text{เวลาล้มเหลว}}\leq 100{\text{ ชั่วโมง}})\\&=1-0.81=0.19\end{aligned}}}$$

ความสัมพันธ์นี้สามารถนำไปใช้ได้กับทุกช่วงเวลาที่เกิดความล้มเหลว:

$${\displaystyle \Pr(T>t)=1-\Pr(T\leq t)={\text{ ฟังก์ชันการกระจายสะสม}}}$$

ความสัมพันธ์นี้แสดงไว้ในกราฟด้านล่าง กราฟด้านซ้ายคือฟังก์ชันการกระจายสะสม ซึ่งคือPr( T ≤ t )กราฟด้านขวาคือPr( T > t ) = 1 − Pr( T ≤ t )กราฟด้านขวาคือฟังก์ชันความอยู่รอดS ( t ) ข้อเท็จจริงที่ว่าS ( t ) = 1 – CDF เป็นเหตุผลที่ทำให้ฟังก์ชันความอยู่รอดมีอีกชื่อหนึ่งว่า ฟังก์ชันการกระจายสะสมเสริม

ในบางกรณี เช่น ตัวอย่างเครื่องปรับอากาศ การกระจายของเวลาการอยู่รอดอาจประมาณได้ดีด้วยฟังก์ชัน เช่น การกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียล การกระจายหลายแบบมักใช้ในการวิเคราะห์การอยู่รอด รวมถึงการกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียล ไวบูล แกมมา ปกติ ล็อกนอร์มัล และล็อกโลจิสติก^{[ 3 ] [ 6 ]}การกระจายเหล่านี้ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่น การกระจายแบบปกติ (เกาส์เซียน) ถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์สองตัวคือ ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ฟังก์ชันการอยู่รอดที่กำหนดโดยพารามิเตอร์เรียกว่าฟังก์ชันพาราเมตริก

ในกราฟฟังก์ชันการอยู่รอดทั้งสี่ที่แสดงข้างต้น รูปทรงของฟังก์ชันการอยู่รอดถูกกำหนดโดยการแจกแจงความน่าจะเป็นเฉพาะ: ฟังก์ชันการอยู่รอดที่ 1 ถูกกำหนดโดยการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันที่ 2 ถูกกำหนดโดยการแจกแจงแบบไวบูล ฟังก์ชันที่ 3 ถูกกำหนดโดยการแจกแจงแบบล็อกโลจิสติก และฟังก์ชันที่ 4 ถูกกำหนดโดยการแจกแจงแบบไวบูลอีกแบบหนึ่ง

สำหรับการแจกแจงการอยู่รอดแบบเอกซ์โพเนนเชียล ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวจะเท่ากันในทุกช่วงเวลา ไม่ว่าอายุของบุคคลหรืออุปกรณ์จะเป็นเท่าใดก็ตาม ข้อเท็จจริงนี้ทำให้เกิดคุณสมบัติ "ไร้ความทรงจำ" ของการแจกแจงการอยู่รอดแบบเอกซ์โพเนนเชียล กล่าวคือ อายุของบุคคลไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในช่วงเวลาถัดไป การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลอาจเป็นแบบจำลองที่ดีสำหรับอายุการใช้งานของระบบที่ชิ้นส่วนถูกเปลี่ยนเมื่อเกิดความเสียหาย^{[ 7 ]}นอกจากนี้ยังอาจมีประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลองการอยู่รอดของสิ่งมีชีวิตในช่วงเวลาสั้นๆ แต่ไม่น่าจะเป็นแบบจำลองที่ดีสำหรับช่วงชีวิตทั้งหมดของสิ่งมีชีวิต^{[ 8 ]}ดังที่ Efron และ Hastie ^{[ 9 ]} (หน้า 134) ตั้งข้อสังเกตว่า "ถ้าอายุขัยของมนุษย์เป็นแบบเอกซ์โพเนนเชียล จะไม่มีผู้สูงอายุหรือคนหนุ่มสาว มีแต่คนโชคดีหรือคนโชคร้าย"

ข้อสมมติฐานสำคัญของฟังก์ชันการอยู่รอดแบบเอกซ์โปเนนเชียลคือ อัตราความเสี่ยงคงที่ ในตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้น สัดส่วนของผู้ชายที่เสียชีวิตในแต่ละปีคงที่ที่ 10% ซึ่งหมายความว่าอัตราความเสี่ยงคงที่ อย่างไรก็ตาม ข้อสมมติฐานเรื่องอัตราความเสี่ยงคงที่อาจไม่เหมาะสมเสมอไป ตัวอย่างเช่น ในสิ่งมีชีวิตส่วนใหญ่ ความเสี่ยงต่อการเสียชีวิตจะสูงกว่าในวัยชรามากกว่าวัยกลางคน นั่นคือ อัตราความเสี่ยงเพิ่มขึ้นตามเวลา สำหรับบางโรค เช่น มะเร็งเต้านม ความเสี่ยงของการกลับมาเป็นซ้ำจะลดลงหลังจาก 5 ปี นั่นคือ อัตราความเสี่ยงลดลงตามเวลาการแจกแจงแบบไวบูลล์ขยายการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเพื่อให้สามารถมีอัตราความเสี่ยงคงที่ เพิ่มขึ้น หรือลดลงได้

มีฟังก์ชันการอยู่รอดแบบพาราเมตริกอื่นๆ อีกหลายฟังก์ชันที่อาจให้ความเหมาะสมกับชุดข้อมูลเฉพาะได้ดีกว่า รวมถึงแบบปกติ แบบลอคนอร์มอล แบบลอจิสติก และแบบแกมมา การเลือกการแจกแจงแบบพาราเมตริกสำหรับการใช้งานเฉพาะสามารถทำได้โดยใช้วิธีกราฟิกหรือใช้การทดสอบความเหมาะสมอย่างเป็นทางการ การแจกแจงและการทดสอบเหล่านี้มีอธิบายไว้ในตำราเกี่ยวกับการวิเคราะห์การอยู่รอด^{[ 1 ] [ 3 ]} Lawless ^{[ 10 ]} มีการครอบคลุมโมเดลแบบพาราเมตริกอย่างกว้างขวาง

ฟังก์ชันการอยู่รอดแบบพาราเมตริกมักใช้กันทั่วไปในงานด้านการผลิต ส่วนหนึ่งเป็นเพราะช่วยให้สามารถประมาณฟังก์ชันการอยู่รอดได้เกินกว่าช่วงเวลาการสังเกต อย่างไรก็ตาม การใช้ฟังก์ชันพาราเมตริกอย่างเหมาะสมนั้นจำเป็นต้องให้ข้อมูลได้รับการจำลองอย่างดีโดยการแจกแจงที่เลือก หากไม่มีการแจกแจงที่เหมาะสม หรือไม่สามารถระบุได้ก่อนการทดลองทางคลินิกหรือการทดลอง ฟังก์ชันการอยู่รอดแบบไม่ใช้พาราเมตริกจึงเป็นทางเลือกที่มีประโยชน์

แบบจำลองพาราเมตริกของการอยู่รอดอาจไม่สามารถทำได้หรืออาจไม่เหมาะสม ในสถานการณ์เช่นนี้ วิธีที่พบได้บ่อยที่สุดในการสร้างแบบจำลองฟังก์ชันการอยู่รอดคือ ตัวประมาณค่าแบบไม่ใช้พาราเมตริกของ Kaplan–Meierตัวประมาณค่านี้ต้องการข้อมูลช่วงชีวิต จำนวนผู้ป่วย (กลุ่มประชากร) และผู้เสียชีวิต (และการฟื้นตัว) เป็นระยะๆ นั้นเพียงพอทางสถิติสำหรับการประมาณค่าฟังก์ชันการอยู่รอดแบบความน่าจะเป็นสูงสุดและแบบกำลังสองน้อยที่สุดแบบไม่ใช้พาราเมตริก โดยไม่ต้องใช้ข้อมูลช่วงชีวิต

• ฟังก์ชันการอยู่รอดทุกฟังก์ชันจะลดลงอย่างต่อเนื่องกล่าวคือสำหรับทุกค่า ${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle S(u)\leq S(t)}$${\displaystyle u>t}$
  • เป็นคุณสมบัติของตัวแปรสุ่มที่แปลงชุดเหตุการณ์ ซึ่งมักเกี่ยวข้องกับการเสียชีวิตหรือความล้มเหลวของระบบบางอย่าง ไปเป็นเวลา
• เวลา, , แทนจุดเริ่มต้นบางอย่าง โดยทั่วไป คือจุดเริ่มต้นของการศึกษาหรือจุดเริ่มต้นของการทำงานของระบบบางอย่างโดยปกติจะมีค่าเป็นหนึ่ง แต่สามารถมีค่าน้อยกว่านั้นเพื่อแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ระบบจะล้มเหลวทันทีที่เริ่มใช้งาน${\displaystyle t=0}$${\displaystyle S(0)}$
• เนื่องจากฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) เป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่องทางขวาดังนั้นฟังก์ชันการอยู่รอดจึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาเช่นกัน${\displaystyle S(t)=1-F(t)}$
• ฟังก์ชันการอยู่รอดสามารถเชื่อมโยงกับฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น และฟังก์ชันอัตราอันตรายได้${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \lambda (t)}$
  • ${\displaystyle f(t)=-S'(t)}$
  • ${\displaystyle \lambda (t)=-{\frac {d}{dt}}\log S(t)}$

ดังนั้น${\displaystyle S(t)=\exp \left[-\int _{0}^{t}\lambda (t')\,dt'\right]}$

• ระยะเวลาการอยู่รอดที่คาดการณ์ไว้${\displaystyle \mathbb {E} (T)=\int _{0}^{\infty }S(t)\,dt}$

หลักฐานของสูตรระยะเวลาการอยู่รอดที่คาดหวัง

ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle T\in [0,\infty )}$ $${\displaystyle \mathbb {E} (T)=\int _{0}^{\infty }tf(t)\,dt}$$ โดยที่คือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นโดยใช้ความสัมพันธ์ดังกล่าวสูตรค่าคาดหวังอาจถูกปรับเปลี่ยนได้ดังนี้: ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f(t)=-S'(t)}$ $${\displaystyle \mathbb {E} (T)=-\int _{0}^{\infty }tS'(t)\,dt}$$ สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกโดยใช้การอินทิเกรตโดยส่วน : $${\displaystyle -\int _{0}^{\infty }tS'(t)\,dt=-tS(t){\bigg |}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }S(t)\,dt}$$ ตามนิยามแล้วหมายความว่าเงื่อนไขขอบเขตมีค่าเท่ากับศูนย์โดยสมบูรณ์ ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่าค่าที่คาดหวังคือปริพันธ์ของฟังก์ชันความอยู่รอดนั่นเอง ${\displaystyle S(\infty )=0}$ $${\displaystyle \mathbb {E} (T)=\int _{0}^{\infty }S(t)\,dt}$$

• อัตราความล้มเหลว
• ความถี่ของการเกิน
• ตัวประมาณค่าแบบ Kaplan–Meier
• เวลาเฉลี่ยก่อนเกิดความล้มเหลว
• ระยะเวลาพำนัก (สถิติ)
• เส้นกราฟอัตราการรอดชีวิต