ในเรขาคณิตแบบยุคลิดรูปสี่เหลี่ยมคางหมู สัมผัส หรือที่เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูวงกลมคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านทั้งสี่ด้านสัมผัสกับวงกลมที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนั้น: วงกลมแนบในหรือวงกลมที่อยู่ภายในมันเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมสัมผัสที่อย่างน้อยหนึ่งคู่ของด้านตรงข้ามขนานกันเช่นเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูอื่นๆ ด้านที่ขนานกันเรียกว่าฐานและอีกสองด้าน เรียกว่าด้านประกอบมุมฉาก ด้านประกอบมุมฉากอาจเท่ากัน (ดูรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสหน้าจั่วด้านล่าง) แต่ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน

ตัวอย่างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัส ได้แก่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส

ถ้าวงกลมภายในสัมผัสกับด้านABและCDที่จุด WและYตามลำดับ รูปสี่เหลี่ยมสัมผัสABCDก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านABและCDขนานกันก็ต่อเมื่อ^{[ 1 ] : ทฤษฎีบท 2}

${\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {DY}}={\overline {BW}}\cdot {\overline {CY}}}$

และ ด้าน ADและBCเป็นด้านขนานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle {\overline {AW}}\cdot {\overline {BW}}={\overline {CY}}\cdot {\overline {DY}}.}$

สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้ทฤษฎีบทของปิโตต์เพื่อให้ได้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัส ถ้าฐานมีความยาวa, bและด้านใดด้านหนึ่งของอีกสองด้านมีความยาวcแล้วพื้นที่Kจะกำหนดโดยสูตร^{[ 2 ]} (สูตรนี้สามารถใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ฐานขนานกันเท่านั้น)

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {ab(ac)(cb)}}.}$

พื้นที่สามารถแสดงได้ในรูปของความยาวสัมผัสe, f, g, hดังนี้^{[ 3 ] : หน้า 129}

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

โดยใช้สัญลักษณ์เดียวกันกับพื้นที่ รัศมีในวงกลมด้านในคือ^{[ 2 ]}

${\displaystyle r={\frac {K}{a+b}}={\frac {\sqrt {ab(ac)(cb)}}{|ba|}}.}$

เส้นผ่านศูนย์กลาง ของ วงกลมแนบในเท่ากับความสูงของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัส

รัศมีวงในยังสามารถแสดงได้ในรูปของความยาวสัมผัสดังนี้^{[ 3 ] : หน้า 129}

${\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}.}$

ยิ่งไปกว่านั้น หากความยาวสัมผัสe, f, g, hแผ่ออกมาจากจุดยอดA, B, C, D ตามลำดับ และABขนานกับDCแล้ว^{[ 1 ]}

${\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}.}$

ถ้าวงกลมภายในสัมผัสกับฐานที่P, Qแล้วP, I, Qจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันโดยที่Iคือจุดศูนย์กลางวงกลมภายใน^{[ 4 ]}

มุม∠ AIDและ∠ BICในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสABCDที่มี^ฐาน ABและDCเป็นมุมฉาก [ ^{4 ]}

จุดศูนย์กลางจะอยู่บนเส้นมัธยฐาน (เรียกอีกอย่างว่าเส้นกลางลำตัว นั่นคือเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของขา) ^{[ 4 ]}

เส้นมัธยฐาน (เส้นกึ่งกลาง) ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสเท่ากับหนึ่งในสี่ของเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู และเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐานทั้งสอง เช่นเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทุกรูป

ถ้าวาดวงกลมสองวง โดยแต่ละวงมีเส้นผ่านศูนย์กลางตรงกับด้านประกอบมุมฉากของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัส วงกลมทั้งสองวงนี้จะสัมผัสกัน^{[ 5 ]}

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสฉากคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสที่มุมประชิดสองมุมเป็นมุมฉากถ้าฐานมีความยาวa, bแล้วรัศมีวงในคือ^{[ 6 ]}

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b}}.}$

ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมแนบในจึงเป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของฐานทั้งสอง

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสขวามีพื้นที่^{[ 6 ]}

${\displaystyle \displaystyle K=ab}$

และเส้นรอบวงP ของมัน คือ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \displaystyle P=2(a+b)}$

รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วสัมผัสคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสที่มีด้านประกอบมุมฉากเท่ากัน เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมรอบ ได้ ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วสัมผัสจึงเป็น รูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดศูนย์กลางสองจุด นั่นคือ มีทั้งวงกลมแนบในและวงกลมล้อมรอบ

ถ้าฐานเป็นa, bแล้วรัศมีวงในจะกำหนดโดย^{[ 7 ]}

${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}.}$

การได้มาซึ่งสูตรนี้เป็นปัญหา ซังกากุ (Sangaku) ​​ง่ายๆจากประเทศญี่ปุ่นจากทฤษฎีบทของปิโตต์ (Pitot's theorem)จะได้ว่าความยาวของด้านประกอบมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของความยาวฐาน เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมแนบในเท่ากับรากที่สองของผลคูณของความยาวฐาน รูปสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสหน้าจั่วจึงให้การตีความทางเรขาคณิตที่ดีของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของฐาน โดยแสดงเป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉากและเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมแนบในตามลำดับ

พื้นที่Kของสี่เหลี่ยมคางหมูสัมผัสหน้าจั่วที่มีฐานa, bกำหนดโดย^{[ 8 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b).}$