ในพีชคณิตวงแหวนของอนุกรมกำลังที่จำกัดคือวงแหวนย่อยของวงแหวนอนุกรมกำลังแบบเป็นทางการซึ่งประกอบด้วยอนุกรมกำลังที่มีสัมประสิทธิ์เข้าใกล้ศูนย์เมื่อดีกรีเข้าสู่อนันต์^{[ 1 ]} เหนือ ฟิลด์สมบูรณ์ที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดีย น วงแหวนนี้ยังเรียกว่าพีชคณิตเทตวงแหวนผลหารของวงแหวนนี้ใช้ในการศึกษาปริภูมิพีชคณิตแบบเป็นทางการเช่นเดียวกับการวิเคราะห์แบบแข็งซึ่งอย่างหลังนี้อยู่เหนือฟิลด์สมบูรณ์ที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน

บนวงแหวนโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง วงแหวนของอนุกรมกำลังแบบจำกัดจะตรงกับวงแหวนพหุนามดังนั้น ในแง่นี้ แนวคิดของ "อนุกรมกำลังแบบจำกัด" จึงเป็นการขยายความของพหุนาม

ให้Aเป็นวงแหวนที่มีโทโพโลยีเชิงเส้นแยกออกจากกัน และสมบูรณ์ และเป็นระบบพื้นฐานของอุดมคติแบบเปิด จากนั้นวงแหวนของอนุกรมกำลังที่จำกัดจะถูกกำหนดเป็นลิมิตเชิงโปรเจกทีฟของวงแหวนพหุนามเหนือ: ${\displaystyle \{I_{\แลมบ์ดา }\}}$${\displaystyle A/I_{\lambda }}$

${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle =\varprojlim _{\lambda }A/I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]}$[ ^{2 ] [ 3 ]​}

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นการเติมเต็มวงแหวนพหุนามโดยสัมพันธ์กับฟิลเทรชันบางครั้งวงแหวนของอนุกรมกำลังที่จำกัดนี้ก็ถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ เช่นกัน ${\displaystyle A[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle \{I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]\}}$${\displaystyle A\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

เห็นได้ชัดว่าวงแหวนสามารถระบุได้ว่าเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการซึ่งประกอบด้วยอนุกรมที่มีสัมประสิทธิ์ กล่าวคือ แต่ละอนุกรมประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ยกเว้นสัมประสิทธิ์จำนวนจำกัดนอกจากนี้ วงแหวนยังเป็นไปตาม (และในความเป็นจริงมีลักษณะเฉพาะโดย) คุณสมบัติสากล : ^{[ 4 ]}สำหรับ (1) โฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนต่อเนื่อง แต่ละตัว ไปยังวงแหวนโทโพโลยีเชิงเส้นแยกและสมบูรณ์ และ (2) องค์ประกอบแต่ละตัวในจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle }$${\displaystyle A[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$${\displaystyle \sum c_{\alpha }x^{\alpha }}$${\displaystyle c_{\alpha }\to 0}$${\displaystyle I_{\lambda }}$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle \to B,\,x_{i}\mapsto b_{i}}$

ขยายออกไป ${\displaystyle A\to B}$

ในการวิเคราะห์แบบแข็งเกร็งเมื่อวงแหวนฐานAเป็นวงแหวนการประเมินค่าของฟิลด์ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนที่สมบูรณ์วงแหวนของอนุกรมกำลังที่จำกัดซึ่งถูกเทนเซอร์ด้วย ${\displaystyle (K,|\cdot |)}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle T_{n}=K\langle \xi _{1},\dots \xi _{n}\rangle =A\langle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}\rangle \otimes _{A}K}$

เรียกว่าพีชคณิตเทต ซึ่งตั้งชื่อตามจอห์น เทต [ ^{5 ] เทียบเท่า}กับวงแหวนย่อยของอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการซึ่งประกอบด้วยอนุกรมที่ลู่เข้าบนโดยที่คือวงแหวนการประเมินค่าในส่วนปิดพีชคณิต ${\displaystyle k[[\xi _{1},\dots ,\xi _{n}]]}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}:=\{x\in {\overline {k}}:|x|\leq 1\}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

สเปกตรัมสูงสุดของจึงเป็นปริภูมิเชิงวิเคราะห์แบบแข็งที่จำลองปริภูมิเชิงเส้นในเรขาคณิตแบบแข็ง ${\displaystyle T_{n}}$

กำหนดนอร์มเกาส์ของในโดย ${\displaystyle f=\sum a_{\alpha }\xi ^{\alpha }}$${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle \|f\|=\max _{\alpha }|a_{\alpha }|.}$

สิ่งนี้ทำให้เกิดพีชคณิตBanachเหนือkกล่าวคือพีชคณิตที่มีบรรทัดฐานซึ่งสมบูรณ์ในฐานะปริภูมิเมตริกด้วยบรรทัดฐาน นี้ อุดมคติใด ๆของจะปิด^{[ 6 ]}และดังนั้น หากIเป็นราก ผลหาร ก็จะเป็นพีชคณิต Banach (ลดรูป) ที่ เรียก ว่า พีชคณิตแอฟฟินอยด์ด้วย${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle T_{n}/I}$

ผลลัพธ์ที่สำคัญบางประการมีดังนี้:

• (การแบ่งแบบไวเออร์สตรัส) ให้เป็นอนุกรมที่โดดเด่น - ลำดับsกล่าวคือโดยที่เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ และสำหรับ^{[ 7 ]}จากนั้นสำหรับแต่ละจะมีพหุนามที่ไม่ซ้ำกันและพหุนามที่ไม่ซ้ำกันที่มีดีกรีเช่นนั้น ${\displaystyle g\in T_{n}}$${\displaystyle \xi _{n}}$${\displaystyle g=\sum _{\nu =0}^{\infty }g_{\nu }\xi _{n}^{\nu }}$${\displaystyle g_{\nu }\in T_{n-1}}$${\displaystyle g_{s}}$${\displaystyle |g_{s}|=\|g\|>|g_{v}|}$${\displaystyle \nu >s}$${\displaystyle f\in T_{n}}$${\displaystyle q\in T_{n}}$${\displaystyle r\in T_{n-1}[\xi _{n}]}$${\displaystyle <s}$

  ${\displaystyle f=qg+r.}$^{[ 8 ]}

• ( การเตรียมไวเออร์สตรัส ) ดังที่กล่าวมาข้างต้น ให้เป็นอนุกรมที่โดดเด่นของลำดับsจากนั้นจะมีพหุนามเอกลักษณ์ที่มีดีกรีและองค์ประกอบเอกลักษณ์ เพียงตัวเดียว ที่ทำให้^{[ 9 ]}${\displaystyle g}$${\displaystyle \xi _{n}}$${\displaystyle f\in T_{n-1}[\xi _{n}]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle u\in T_{n}}$${\displaystyle g=fu}$
• (การทำให้เป็นปกติของ Noether) ถ้าเป็นอุดมคติแล้วจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมจำกัด^{[ 10 ]}${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset T_{n}}$${\displaystyle T_{d}\hookrightarrow T_{n}/{\mathfrak {a}}}$

ผลที่ตามมาจากการหาร ทฤษฎีบทการเตรียมการ และการทำให้เป็นมาตรฐานของ Noether ^{คือโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะของ Noetherian ที่มีมิติ Krull เท่ากับ n [ 11} ] อนาล็อกของ Nullstellensatz ของHilbertใช้ได้^{: ราก}ของอุดมคติคือจุดตัด ของ อุดมคติสูงสุดทั้งหมดที่มีอุดมคตินั้นอยู่ (เรากล่าวว่าวงแหวนเป็น Jacobson) ^{[ 12 ]}${\displaystyle T_{n}}$

ผลลัพธ์สำหรับวงแหวนพหุนาม เช่นทฤษฎีบทของเฮนเซล อัลกอริทึมการหาร (หรือทฤษฎีฐานของโกรบเนอร์ ) ก็เป็นจริงสำหรับวงแหวนของอนุกรมกำลังที่จำกัดด้วยเช่นกัน ตลอดทั้งบทนี้ ให้Aแทนวงแหวนที่มีโทโพโลยีเชิงเส้น แยกออกจากกัน และสมบูรณ์

• (เฮนเซล) ให้เป็นอุดมคติสูงสุด และเป็นแผนที่ผลหาร กำหนดให้ในถ้าสำหรับพหุนามเอกลักษณ์บางตัวและอนุกรมกำลังที่จำกัดซึ่งสร้างอุดมคติเอกลักษณ์ของแล้วจะมีในและในเช่นนั้น ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$${\displaystyle \varphi :A\to k:=A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A\langle \xi \rangle }$${\displaystyle \varphi (F)=gh}$${\displaystyle g\in k[\xi ]}$${\displaystyle h\in k\langle \xi \rangle }$${\displaystyle g,h}$${\displaystyle k\langle \xi \rangle }$${\displaystyle G}$${\displaystyle A[\xi ]}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A\langle \xi \rangle }$

  ${\displaystyle F=GH,\,\varphi (G)=g,\varphi (H)=h}$[ ^{13 ]​}

• ทฤษฎีบทการเตรียมไวเออร์สตราส

• https://ncatlab.org/nlab/show/restricted+formal+power+series
• http://math.stanford.edu/~conrad/papers/aws.pdf
• https://web.archive.org/web/20060916051553/http://www-math.mit.edu/~kedlaya//18.727/tate-algebras.pdf