ทฤษฎีไม้เทนนิสหรือทฤษฎีแกนกลางเป็นปรากฏการณ์จลนศาสตร์ของกลศาสตร์คลาสสิกที่อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง ที่มี โมเมนต์ความเฉื่อยหลักที่แตกต่างกันสาม ค่า นอกจากนี้ยังถูกเรียกว่าปรากฏการณ์ Dzhanibekovตามชื่อของนักบินอวกาศโซเวียตVladimir Dzhanibekov ผู้ซึ่งสังเกตเห็น ผลลัพธ์เชิงตรรกะข้อหนึ่งของทฤษฎีนี้ขณะอยู่ในอวกาศในปี 1985 ^{[ 1 ]}ปรากฏการณ์นี้เป็นที่รู้จักมาอย่างน้อย 150 ปีก่อนหน้านั้น โดยได้รับการอธิบายโดยLouis Poinsotในปี 1834 ^{[ 2 ] [ 3 ]}และรวมอยู่ในตำราฟิสิกส์มาตรฐาน เช่นกลศาสตร์คลาสสิกโดยHerbert Goldsteinตลอดศตวรรษที่ 20

ทฤษฎีบทนี้อธิบายถึงปรากฏการณ์ดังต่อไปนี้: การหมุนของวัตถุรอบแกนหลักที่หนึ่งและแกนหลัก ที่สาม นั้นมีเสถียรภาพ ในขณะที่การหมุนรอบแกนหลักที่สอง (หรือแกนกลาง) นั้นไม่มีเสถียรภาพ

สามารถสาธิตได้ด้วยการทดลองต่อไปนี้: จับไม้เทนนิสที่ด้ามจับ โดยให้หน้าไม้เป็นแนวนอน แล้วโยนขึ้นไปในอากาศให้หมุนครบหนึ่งรอบรอบแกนแนวนอนที่ตั้งฉากกับด้ามจับ (ê ในแผนภาพ) จากนั้นจับด้ามจับ ในเกือบทุกกรณี ระหว่างการหมุนนั้น หน้าไม้จะหมุนไปครึ่งรอบด้วย ทำให้หน้าไม้ด้านอื่นหงายขึ้น ในทางตรงกันข้าม การโยนไม้เทนนิสให้หมุนรอบแกนด้ามจับ (ê ) โดยไม่หมุนครึ่งรอบแกนอื่นนั้นทำได้ง่ายกว่า และยังสามารถทำให้มันหมุนรอบแกนแนวตั้งที่ตั้งฉากกับด้ามจับ (ê ) โดยไม่หมุนครึ่งรอบได้เช่นกัน

การทดลองนี้สามารถทำได้กับวัตถุใดๆ ก็ได้ที่มีโมเมนต์ความเฉื่อยสามค่าที่แตกต่างกัน เช่น หนังสือ (รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า) รีโมทคอนโทรล หรือสมาร์ทโฟน^{[ 4 ] [ 5 ]}ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่แกนการหมุนแตกต่างจากแกนหลักที่สองของวัตถุ แม้เพียงเล็กน้อย โดยไม่จำเป็นต้องมีแรงต้านอากาศหรือแรงโน้มถ่วง^{[ 6 ] [ 7 ]}

ทฤษฎีไม้เทนนิสสามารถวิเคราะห์เชิงคุณภาพได้โดยใช้สมการของออยเลอร์ภายใต้ เงื่อนไขที่ปราศจาก แรงบิด สมการจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=-(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=-(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}$$

ที่นี่${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ให้ แทนโมเมนต์ความเฉื่อยหลักของวัตถุ และเราสมมติว่า${\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}}$ความเร็วเชิงมุมรอบแกนหลักทั้งสามของวัตถุคือ${\displaystyle \โอเมก้า _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$และอนุพันธ์เทียบกับเวลาของพวกมันจะถูกแสดงด้วย${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}$.

ในระหว่างการเคลื่อนที่ ทั้งพลังงานและโมเมนตัมเชิงมุมยกกำลังสองจะได้รับการอนุรักษ์ ดังนั้นเราจึงมีปริมาณอนุรักษ์สองอย่าง:$${\displaystyle {\begin{cases}2E=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}\\L^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}\end{cases}}}$$และด้วยเหตุนี้สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นใดๆ${\displaystyle \omega (0)}$วิถีของ${\displaystyle \omega (t)}$ต้องอยู่บนเส้นโค้งจุดตัดระหว่างทรงรีสองทรงที่กำหนดโดย$${\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}(0)^{2}\\\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}(0)^{2}\end{cases}}}$$ดังแสดงในภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวา

จากการตรวจสอบสมการของออยเลอร์ เราจะเห็นว่า${\displaystyle {\dot {\omega }}(t)=0}$หมายความว่ามีส่วนประกอบสองส่วนของ${\displaystyle \omega (t)}$มีค่าเป็นศูนย์ นั่นหมายความว่าวัตถุหมุนรอบแกนหลักแกนใดแกนหนึ่งอย่างแม่นยำ ในสถานการณ์อื่นๆ ทั้งหมด${\displaystyle \omega (t)}$ต้องเคลื่อนไหวอยู่เสมอ

จากสมการของออยเลอร์ ถ้า${\displaystyle \omega (t)}$ถ้าเป็นวิธีแก้ปัญหา ก็เช่นกัน${\displaystyle c\omega (ct)}$สำหรับค่าคงที่ใดๆ${\displaystyle c>0}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเคลื่อนที่ของวัตถุในพื้นที่ว่าง (ได้มาจากการอินทิเกรต)${\displaystyle c\omega (ct)dt}$) เหมือนกันทุกประการเพียงแต่เสร็จเร็วกว่าในอัตราส่วน${\displaystyle c}$.

ดังนั้น เราจึงสามารถวิเคราะห์เรขาคณิตของการเคลื่อนที่ด้วยค่าคงที่ของ${\displaystyle L^{2}}$และแตกต่างกันไป${\displaystyle \omega (0)}$บนทรงรีคงที่ที่มีโมเมนตัมเชิงมุมกำลังสองคงที่ ดังเช่น${\displaystyle \omega (0)}$ค่าของนั้นแตกต่างกันไป${\displaystyle 2E}$นอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงด้วย ซึ่งทำให้เราได้รูปทรงรีที่มีพลังงานคงที่และเปลี่ยนแปลงไปตามการเปลี่ยนแปลงนั้น ดังแสดงในภาพเคลื่อนไหวเป็นรูปทรงรีสีส้มคงที่และรูปทรงรีสีน้ำเงินที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

เพื่อความชัดเจน ลองพิจารณาดู${\displaystyle I_{1}=1,I_{2}=2,I_{3}=3}$ดังนั้น แกนหลักของทรงรีโมเมนตัมเชิงมุมจะมีอัตราส่วนดังนี้${\displaystyle 1:1/2:1/3}$และแกนหลักของทรงรีพลังงานมีอัตราส่วนดังนี้${\displaystyle 1:1/{\sqrt {2}}:1/{\sqrt {3}}}$ดังนั้น วงรีโมเมนตัมเชิงมุมจึงทั้งแบนและคมกว่า ดังที่เห็นได้ในภาพเคลื่อนไหว โดยทั่วไปแล้ว วงรีโมเมนตัมเชิงมุมจะ "เกินจริง" มากกว่าวงรีพลังงานเสมอ

ตอนนี้ให้จารึกบนทรงรีคงที่ของ${\displaystyle L^{2}}$เส้นโค้งที่ตัดกันกับทรงรีของ${\displaystyle 2E}$, เช่น${\displaystyle 2E}$เพิ่มขึ้นจากศูนย์ไปสู่ค่าอนันต์ เราจะเห็นว่าเส้นโค้งมีการเปลี่ยนแปลงดังนี้:

• สำหรับพลังงานน้อย จะไม่มีจุดตัด เนื่องจากเราต้องการพลังงานขั้นต่ำเพื่อคงอยู่บนทรงรีโมเมนตัมเชิงมุม
• วงรีพลังงานจะตัดกับวงรีโมเมนตัมเป็นครั้งแรกเมื่อ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{3}}$ณ จุดต่างๆ${\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}$นี่คือช่วงเวลาที่วัตถุหมุนรอบแกนที่มีโมเมนต์ความเฉื่อยมากที่สุด
• เส้นเหล่านี้ตัดกันที่สองรอบบริเวณจุดต่างๆ${\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}$เนื่องจากแต่ละรอบไม่มีจุดใดที่${\displaystyle {\dot {\โอเมก้า }}=0}$การเคลื่อนที่ของ${\displaystyle \omega (t)}$จะต้องมีการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบในแต่ละรอบ
• เส้นทั้งสองตัดกันที่เส้นโค้ง "ทแยงมุม" สองเส้น ซึ่งตัดกันที่จุดต่างๆ${\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}$, เมื่อไร${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{2}}$. ถ้า${\displaystyle \omega (t)}$หากเริ่มต้นที่จุดใดก็ได้บนเส้นโค้งแนวทแยง มันจะเข้าใกล้จุดใดจุดหนึ่ง โดยระยะทางจะลดลงแบบทวีคูณ แต่จะไม่ถึงจุดหมายจริง ๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรามีวงโคจรเฮเทอโรคลินิก 4 วง ระหว่างจุดอานม้าทั้งสองจุด
• เส้นเหล่านี้ตัดกันที่สองรอบบริเวณจุดต่างๆ${\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}$เนื่องจากแต่ละรอบไม่มีจุดใดที่${\displaystyle {\dot {\โอเมก้า }}=0}$การเคลื่อนที่ของ${\displaystyle \omega (t)}$จะต้องมีการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบในแต่ละรอบ
• วงรีพลังงานจะตัดกับวงรีโมเมนตัมครั้งสุดท้ายเมื่อใด${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{1}}$ณ จุดต่างๆ${\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}$นี่คือช่วงเวลาที่วัตถุหมุนรอบแกนของตัวเองด้วยโมเมนต์ความเฉื่อยน้อยที่สุด

ปรากฏการณ์คล้ายไม้เทนนิสเกิดขึ้นเมื่อ${\displaystyle \omega (0)}$อยู่ใกล้จุดอานม้ามาก ร่างกายจะหยุดอยู่ใกล้จุดอานม้านั้นสักพัก แล้วจึงเคลื่อนไปยังจุดอานม้าอีกจุดหนึ่งที่อยู่ใกล้ๆ กันอย่างรวดเร็ว${\displaystyle \omega (T/2)}$แล้วก็หยุดนิ่งอยู่นานอีกครั้ง และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป การเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้นซ้ำๆ เป็นช่วงๆ${\displaystyle T}$.

การวิเคราะห์ข้างต้นทั้งหมดนี้ทำขึ้นจากมุมมองของผู้สังเกตการณ์ที่หมุนไปพร้อมกับวัตถุ ผู้สังเกตการณ์ที่เฝ้าดูการเคลื่อนที่ของวัตถุในพื้นที่ว่างจะเห็นเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุนั้น${\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}$การอนุรักษ์ ในขณะที่เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมทั้งสอง${\displaystyle {\vec {\โอเมก้า }}(t)}$และโมเมนต์ความเฉื่อยของมัน${\displaystyle I(t)}$มีการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนในอวกาศ ในตอนเริ่มต้น ผู้สังเกตการณ์จะเห็นทั้งสองอย่าง${\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {L}}}$โดยส่วนใหญ่จะสอดคล้องกับแกนหลักที่สองของ${\displaystyle I(0)}$หลังจากนั้นสักพัก ร่างกายจะเคลื่อนไหวอย่างซับซ้อนและจบลงด้วย${\displaystyle I(T/2),{\vec {\omega }}(T/2)}$และอีกครั้งทั้งสอง${\displaystyle {\vec {L}},{\vec {\omega }}(T/2)}$ส่วนใหญ่จะสอดคล้องกับแกนหลักที่สองของ${\displaystyle I(T/2)}$.

ดังนั้นจึงมีสองความเป็นไปได้ คือ แกนหลักที่สองของวัตถุแข็งเกร็งนั้นอยู่ในทิศทางเดียวกัน หรือกลับทิศทาง หากยังคงอยู่ในทิศทางเดียวกันแล้ว${\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {\omega }}(T/2)}$เมื่อมองจากกรอบอ้างอิงของวัตถุแข็งเกร็ง ส่วนใหญ่ก็จะอยู่ในทิศทางเดียวกัน อย่างไรก็ตาม เราเพิ่งได้เห็นไปแล้วว่า${\displaystyle \omega (0)}$และ${\displaystyle \omega (T/2)}$อยู่ใกล้จุดอานม้าตรงข้ามกัน${\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}$ความขัดแย้ง

กล่าวโดยสรุปแล้ว นี่คือสิ่งที่ผู้สังเกตการณ์ที่เฝ้ามองในพื้นที่โล่งจะสังเกตเห็น:

• วัตถุนั้นหมุนรอบแกนหลักที่สองอยู่ช่วงหนึ่ง
• วัตถุนั้นเคลื่อนที่อย่างรวดเร็วและซับซ้อน จนกระทั่งแกนหลักที่สองเปลี่ยนทิศทาง
• วัตถุจะหมุนรอบแกนหลักที่สองอีกครั้งเป็นระยะเวลาหนึ่ง แล้วทำซ้ำเช่นนี้

สามารถเห็นได้ชัดเจนจากวิดีโอสาธิตในสภาวะไร้แรงโน้มถ่วง

เมื่อวัตถุไม่แข็งทื่อ แต่สามารถยืดหยุ่นและโค้งงอได้ หรือมีของเหลวที่กระฉอกอยู่ภายใน วัตถุนั้นจะสามารถกระจายพลังงานผ่านองศาอิสระภายในของมันได้ ในกรณีนี้ วัตถุยังคงมีโมเมนตัมเชิงมุมคงที่ แต่พลังงานของมันจะลดลงเรื่อยๆ จนกระทั่งถึงจุดต่ำสุด ดังที่ได้วิเคราะห์ทางเรขาคณิตไว้ข้างต้น จุดนี้เกิดขึ้นเมื่อความเร็วเชิงมุมของวัตถุอยู่ในแนวเดียวกับแกนที่มีโมเมนต์ความเฉื่อยสูงสุดพอดี

เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นกับExplorer 1 ดาวเทียมดวงแรก ที่ สหรัฐอเมริกาปล่อยขึ้นสู่อวกาศในปี 1958 ตัวยานที่มีรูปร่างยาวได้รับการออกแบบให้หมุนรอบแกนยาว ( แกนที่ มีความเฉื่อย น้อยที่สุด ) แต่ยานกลับไม่ทำเช่นนั้น และเริ่มหมุนควงเนื่องจากการสูญเสีย พลังงาน จากชิ้นส่วนโครงสร้างที่ยืดหยุ่นได้ นอกจากนี้ยังเป็นสาเหตุหนึ่งที่ทำให้เกือบเกิดอุบัติเหตุกับหอดูดาวสุริยะและเฮลิโอสเฟียร์ร่วมของ NASA-ESAในปี 1998 เมื่อการหมุนรอบแกนของยานอวกาศกับดวงอาทิตย์โดยไม่ตั้งใจทำให้กฎการควบคุมไม่เสถียร ส่งผลให้ยานอวกาศหมุนคว้างจนกระทั่งการสูญเสียพลังงานภายใน (ในถังไฮดราซีนเหลว) ทำให้มันทรงตัวอยู่รอบแกนที่มีโมเมนต์สูงสุด จนกระทั่งดวงอาทิตย์ยังคงอยู่ในระนาบของแผงโซลาร์เซลล์

โดยทั่วไปแล้ว วัตถุท้องฟ้าไม่ว่าจะขนาดใหญ่หรือเล็กจะเข้าสู่การหมุนคงที่รอบแกนที่มีโมเมนต์ความเฉื่อยสูงสุด เมื่อใดก็ตามที่พบว่าวัตถุท้องฟ้าอยู่ในสถานะการหมุนที่ซับซ้อน อาจเป็นเพราะการชนหรือปฏิสัมพันธ์ของกระแสน้ำขึ้นน้ำลงเมื่อเร็ว ๆ นี้ หรือเป็นเศษชิ้นส่วนของวัตถุต้นกำเนิดที่ถูกทำลายไปเมื่อไม่นานมานี้^{[ 8 ]}

• มุมออยเลอร์– คำอธิบายเกี่ยวกับทิศทางของวัตถุแข็งเกร็ง 
• โมเมนต์ความเฉื่อย– ค่าสเกลาร์ที่วัดความเฉื่อยของการหมุนรอบแกนหมุนคงที่ 
• ทรงรีของปวงโซต์– วิธีทางเรขาคณิตสำหรับการแสดงภาพวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนอยู่ 
• Polhode – เส้นโค้งที่เกิดจากเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมบนทรงรีความเฉื่อย 

• แดน รัสเซลล์ (5 มีนาคม 2010). "การสาธิตปรากฏการณ์ Dzhanibekov แบบสโลว์โมชั่นด้วยไม้ปิงปอง" . สืบค้นเมื่อ2 กุมภาพันธ์ 2017 –ผ่านทาง YouTube.
• ซาปาดลอฟสกี้ (16 มิถุนายน 2553) "การสาธิตเอฟเฟกต์ของ Dzhanibekov " สืบค้นเมื่อวันที่ 2 กุมภาพันธ์ 2017 –ผ่าน YouTube.บนสถานีอวกาศนานาชาติมีร์
• เวียเชสลาฟ เมเซนเซฟ (7 กันยายน 2554) "เอฟเฟ็กต์ Djanibekov จำลองใน Mathcad 14 " สืบค้นเมื่อวันที่ 2 กุมภาพันธ์ 2017 –ผ่าน YouTube.
• Louis Poinsot , Théorie nouvelle de la Rotation des Corps , ปารีส, Bachelier, 1834, 170 น. OCLC 457954839 : ในอดีต คำอธิบายทางคณิตศาสตร์แรกของผลกระทบนี้  
• "ทรงรีและพฤติกรรมแปลกประหลาดของวัตถุหมุน" YouTube 24กรกฎาคม 2020- คำอธิบายวิดีโอที่เข้าใจง่ายโดยแมตต์ พาร์คเกอร์
• "ปรากฏการณ์จานิเบคอฟ" - แบบฝึกหัดทางกลศาสตร์หรือเรื่องสมมติ? อธิบายวิดีโอจากสถานีอวกาศด้วยหลักการทางคณิตศาสตร์
• พฤติกรรมแปลกประหลาดของวัตถุที่หมุนได้ ( เดเร็ก มุลเลอร์บน YouTube กันยายน 2019)