ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีกลุ่ม เล็ม มาสามกลุ่มย่อยเป็นผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับการสับเปลี่ยนซึ่งเป็นผลจากเอกลักษณ์ ของ ฟิลิป ฮอลล์และเอิร์นสท์ วิท ท์

ต่อไปนี้จะใช้สัญลักษณ์ดังต่อไปนี้:

• ถ้าHและKเป็นหมู่ย่อยของหมู่ Gตัวสับเปลี่ยนของHและKแสดงด้วย [ H , K ] จะถูกนิยามว่าเป็นหมู่ย่อยของGที่เกิดจากตัวสับเปลี่ยนระหว่างสมาชิกในสองหมู่ย่อย ถ้าL เป็นหมู่ย่อยที่สาม จะเป็นไปตามแบบแผนที่ว่า [ H , K , L ] = [[ H , K ], L ]
• หากxและyเป็นสมาชิกของกลุ่มGคอนจูเกตของxและyจะแสดงด้วย${\displaystyle x^{y}}$
• หากHเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มGดังนั้นตัวรวมศูนย์ของHในGจะถูกแสดงด้วยC _G ( H )

ให้X , YและZเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มGและถือว่า

${\displaystyle [X,Y,Z]=1}$และ${\displaystyle [Y,Z,X]=1.}$

แล้ว. ${\displaystyle [Z,X,Y]=1}$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับกลุ่มย่อยปกติ ของถ้าและแล้ว ]${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [X,Y,Z]\subseteq N}$${\displaystyle [Y,Z,X]\subseteq N}$${\displaystyle [Z,X,Y]\subseteq N}$

เอกลักษณ์ของฮอลล์–วิทท์

ถ้าอย่างนั้น ${\displaystyle x,y,z\in G}$

${\displaystyle [x,y^{-1},z]^{y}\cdot [y,z^{-1},x]^{z}\cdot [z,x^{-1},y]^{x}=1.}$

บทพิสูจน์ของเล็มมาสามกลุ่มย่อย

ให้, , และ. จากนั้น, และ โดยเอกลักษณ์ฮอลล์–วิทท์ข้างต้น จะได้ว่าและ ดังนั้น. ดังนั้นสำหรับทุก . และ. เนื่องจากองค์ประกอบเหล่านี้สร้าง. เราจึงสรุปได้ว่าและ ดังนั้น. ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle z\in Z}$${\displaystyle [x,y^{-1},z]=1=[y,z^{-1},x]}$${\displaystyle [z,x^{-1},y]^{x}=1}$${\displaystyle [z,x^{-1},y]=1}$${\displaystyle [z,x^{-1}]\in \mathbf {C} _{G}(Y)}$${\displaystyle z\in Z}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle [Z,X]}$${\displaystyle [Z,X]\subseteq \mathbf {C} _{G}(Y)}$${\displaystyle [Z,X,Y]=1}$

• คอมมิวเตเตอร์
• ชุดภาคกลางตอนล่าง
• เล็มมาของกรุน
• อัตลักษณ์ของจาโคบี