ในทางคณิตศาสตร์สมการ Thueคือสมการไดโอแฟนไทน์ที่มีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle f(x,y)=r,}$$

ที่ไหน${\displaystyle f}$เป็นพหุนามเอกพันธุ์สองตัวแปรที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ มีดีกรีอย่างน้อย 3 เหนือจำนวนตรรกยะและ${\displaystyle r}$เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ ชื่อของจำนวนนี้ตั้งตามชื่อของแอ็กเซล ทูผู้ซึ่งพิสูจน์ ในปี 1909 ว่าสมการทูจะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มได้เพียงจำนวนจำกัด เท่านั้น${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของ Thue ^{[ 1 ]}

สมการ Thue สามารถหาคำตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ กล่าวคือ มีขอบเขต ที่ชัดเจน สำหรับคำตอบ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ของแบบฟอร์ม${\displaystyle (C_{1}r)^{C_{2}}}$โดยที่ค่าคงที่${\displaystyle C_{1}}$และ${\displaystyle C_{2}}$ขึ้นอยู่กับรูปแบบเท่านั้น${\displaystyle f}$ผลลัพธ์ที่ชัดเจนยิ่งขึ้นคือ: ถ้า${\displaystyle K}$คือสนามที่เกิดจากรากของ${\displaystyle f}$ดังนั้นสมการจึงมีคำตอบเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่มี${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$จำนวนเต็มของ${\displaystyle K}$และสิ่งเหล่านี้อาจได้รับการกำหนดอย่างมีประสิทธิภาพอีกครั้ง^{[ 2 ]}

การพิสูจน์ดั้งเดิมของธูที่แสดงว่าสมการซึ่งตั้งชื่อตามเขานั้นมีคำตอบจำนวนจำกัดนั้น มาจากการพิสูจน์สิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของธูซึ่งกล่าวว่าสำหรับจำนวนพีชคณิต ใดๆ${\displaystyle \alpha }$มีปริญญา${\displaystyle d\geq 3}$และสำหรับสิ่งใดก็ตาม${\displaystyle \varepsilon >0}$มีจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมมาก อยู่เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น${\displaystyle p,q}$กับ${\displaystyle q>0}$โดยที่${\displaystyle |\alpha -p/q|<q^{-(d+1+\varepsilon )/2}}$การนำทฤษฎีบทนี้มาใช้ทำให้สามารถสรุปได้เกือบจะในทันทีว่าคำตอบมีจำนวนจำกัด อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ของ Thue รวมถึงการปรับปรุงในภายหลังโดยSiegel , DysonและRothล้วนไม่มีประสิทธิภาพ

การค้นหาคำตอบทั้งหมดของสมการ Thue สามารถทำได้โดยใช้อัลกอริทึมเชิงปฏิบัติ^{[ 3 ]}ซึ่งได้ถูกนำไปใช้ในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ดังต่อไปนี้ :

• ในPARI/GPจะมีฟังก์ชันthueinit()และthue()อยู่
• ในMagmaจะมีฟังก์ชันThueObject()และThueSolve( )
• ในMathematicaผ่านReduce[]
• ในMapleผ่านThueSolve()

แม้ว่าจะมีวิธีการแก้สมการ Thue ที่มีประสิทธิภาพหลายวิธี (รวมถึงการใช้วิธีของ Bakerและ วิธี p -adic ของ Skolem) แต่ก็ไม่สามารถให้ขอบเขตทางทฤษฎีที่ดีที่สุดเกี่ยวกับจำนวนคำตอบได้ จึงอาจกำหนดขอบเขตที่มีประสิทธิภาพได้${\displaystyle C(f,r)}$ของสมการ Thue${\displaystyle f(x,y)=r}$โดยขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้อง และความสัมพันธ์นั้น "ดี" แค่ไหน

ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่ทราบในปัจจุบัน ซึ่งสร้างขึ้นจากงานบุกเบิกของ^Bombieriและ Schmidt เป็น หลัก [ ^{4 ]}ให้ขอบเขตของรูปร่าง${\displaystyle C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (r)}}$, ที่ไหน${\displaystyle C}$เป็นค่าคงที่สัมบูรณ์ (กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับทั้งสองอย่าง)${\displaystyle f}$และ${\displaystyle r}$) และ${\displaystyle \omega (\cdot )}$คือจำนวนตัวประกอบเฉพาะ ที่แตกต่างกัน ของ${\displaystyle r}$^{การปรับปรุง เชิง}คุณภาพที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีบทของ Bombieri และ Schmidt เกิดจากStewart [ ^{5 ]}ซึ่งได้รับขอบเขตในรูปแบบ${\displaystyle C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (g)}}$ที่ไหน${\displaystyle g}$เป็นตัวหารของ${\displaystyle r}$เกินกว่า${\displaystyle |r|^{3/4}}$ในค่าสัมบูรณ์มีการคาดเดาว่าอาจใช้ขอบเขตได้${\displaystyle C(f,r)=C(\deg f)}$กล่าวคือ ขึ้นอยู่กับระดับของ เท่านั้น${\displaystyle f}$แต่ไม่รวมถึงสัมประสิทธิ์และไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนเต็มโดยสิ้นเชิง${\displaystyle r}$ทางด้านขวามือของสมการ

นี่เป็นรูปแบบที่อ่อนกว่าของข้อสันนิษฐานของสจ๊วตและเป็นกรณีพิเศษของข้อสันนิษฐานเรื่องขอบเขตสม่ำเสมอสำหรับจุดตรรกยะ ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนเต็ม "ขนาดเล็ก"${\displaystyle r}$โดยที่ความเล็กนั้นวัดจากค่าดิสครีมิแนนต์ของรูปแบบ${\displaystyle f}$โดยผู้เขียนหลายท่าน รวมถึงEvertse , StewartและAkhtari Stewart และXiaoได้แสดงให้เห็นถึงรูปแบบที่แข็งแกร่งของข้อสันนิษฐานนี้ โดยยืนยันว่าจำนวนคำตอบมีขอบเขตที่แน่นอน และเป็นจริงโดยเฉลี่ย (ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น)${\displaystyle r}$ช่วงต่างๆ ตลอดช่วงเวลา${\displaystyle |r|\leq Z}$กับ${\displaystyle Z\ลูกศรขวา \infty }$). ^{[ 6 ]}

• ทฤษฎีบทของรอธ
• ทฤษฎีบทของฟอลติงส์

• Baker, Alan ; Wüstholz, Gisbert (2007). รูปแบบลอการิทึมและเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ . เอกสารทางคณิตศาสตร์ใหม่. เล่มที่ 9. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-88268-2.

บทความเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนนี้ ยัง ไม่สมบูรณ์คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มข้อมูลที่ขาดหายไป

• วี
• ที
• อี