ในเรขาคณิตเมตริกขอบเขตเมตริกหรือขอบเขตแน่นของปริภูมิเมตริกMคือปริภูมิเมตริกแบบหนึ่งต่อหนึ่งที่สามารถฝังM เข้าไปได้ ในแง่หนึ่ง มันประกอบด้วยจุดทั้งหมด "ระหว่าง" จุดต่างๆ ของ Mคล้ายกับส่วนนูนของเซตจุดในปริภูมิยุคลิดขอบเขตแน่นนี้บางครั้งก็เรียกว่าขอบเขตแบบหนึ่งต่อหนึ่งหรือส่วนนูนเกินของMนอกจากนี้ยังเรียกว่าส่วนนูนแบบหนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่ควรสับสนกับส่วนนูนแบบหนึ่งต่อหนึ่งของโมดูลในพีชคณิตซึ่งเป็นแนวคิดที่มีคำอธิบายคล้ายกันเมื่อเทียบกับหมวดหมู่ของR-โมดูลมากกว่าปริภูมิเมตริก

แนวคิดเรื่องช่วงแคบ (tight span) ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยIsbell (1964)และได้รับการศึกษาและนำไปประยุกต์ใช้โดยHolsztyńskiในช่วงทศวรรษ 1960 ต่อมาได้รับการค้นพบใหม่โดยอิสระโดยDress (1984)และChrobak & Larmore (1994)ดูChepoi (1997)สำหรับประวัติความเป็นมา แนวคิดเรื่องช่วงแคบนี้เป็นหนึ่งในโครงสร้างหลักของทฤษฎี T

ช่วงแคบของปริภูมิเมตริกสามารถนิยามได้ดังนี้ ให้ ( X , d ) เป็นปริภูมิเมตริก และให้T ( X ) เป็นเซตของฟังก์ชันสุดขั้วบนXโดยที่เรากล่าวว่าฟังก์ชันสุดขั้วบนXหมายถึงฟังก์ชันfจากXไปยังRซึ่ง

1. สำหรับxและy ใดๆ ในX d ( x , y ) ≤ f ( x ) + f ( y )และ
2. สำหรับแต่ละxในX , f(x) = sup{ d(x,y) - f(y):yในX }. ^{[ 1 ] : 124}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง (โดยกำหนดให้x = yในคุณสมบัติที่ 1 ข้างต้น) f ( x ) ≥ 0 สำหรับทุกxวิธีหนึ่งในการตีความข้อกำหนดแรกข้างต้นคือfกำหนดเซตของระยะทางที่เป็นไปได้จากจุดใหม่บางจุดไปยังจุดในXซึ่งต้องสอดคล้องกับอสมการสามเหลี่ยมร่วมกับระยะทางใน ( X , d ) ข้อกำหนดที่สองระบุว่าไม่มีระยะทางใด ๆ เหล่านี้ที่สามารถลดลงได้โดยไม่ละเมิดอสมการสามเหลี่ยม

ช่วงแคบของ(X,d)คือปริภูมิเมตริก(T(X),δ)โดยที่ $${\displaystyle \delta =(\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|g(x)-f(x)|\leq C{\text{ สำหรับทุก }}x\in X\})_{f,g\in T(X)}=(\|gf\|_{\infty })_{f,g\in T(X)}}$$ คล้ายคลึงกับเมตริกที่เกิดจากนอร์มℓ ^∞ (ถ้าdมีขอบเขต δ จะเป็นเมตริกของปริภูมิย่อยที่เกิดจากเมตริกที่เกิดจากนอร์มℓ ^∞ถ้าdไม่มีขอบเขต ฟังก์ชันสุดขั้วทุกฟังก์ชันบนXจะไม่มีขอบเขต ดังนั้น${\displaystyle T(X)\not \subseteq \ell ^{\infty }(X).}$อย่างไรก็ตาม จะเป็นความจริงที่ว่าสำหรับf,g ใดๆ ในT(X)ความแตกต่าง${\displaystyle gf}$เป็นของ${\displaystyle \ell ^{\infty }(X)}$(กล่าวคือ มีขอบเขตจำกัด)

สำหรับฟังก์ชันfจากXไปยังRที่ตรงตามเงื่อนไขข้อแรก เงื่อนไขข้อที่สองในรูปแบบต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:

• สำหรับแต่ละxในX , f(x) = sup{ d(x,y) - f(y):yในX }
• fเป็นฟังก์ชันขั้นต่ำแบบจุดต่อจุดโดยสัมพันธ์กับข้อกำหนดแรกที่กล่าวถึงข้างต้น กล่าวคือ สำหรับฟังก์ชันg ใดๆ จากXไปยังRที่d(x,y) ≤ g(x) + g(y)สำหรับทุกx,yในXถ้าg≤fแบบจุดต่อจุด แล้วf=g [ ^{2 ] : 93 , ข้อเสนอ 4.6.2 [หมายเหตุ 1 ] [หมายเหตุ 2 ] [ 3 ] :บทพิสูจน์ 5.1}

• สำหรับทุกxในX ,${\displaystyle 0\leq f(x).}$
• สำหรับแต่ละxในX ,${\displaystyle (d(x,y))_{y\in X}}$เป็นค่าสุดขั้ว (พิสูจน์: ใช้สมมาตรและอสมการสามเหลี่ยม ) ^{[หมายเหตุ 3 ]}
• ถ้าXเป็นเซตจำกัด สำหรับฟังก์ชันf ใดๆ จากXไปยังRที่ตรงตามเงื่อนไขข้อแรก เงื่อนไขข้อที่สองจะเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่า สำหรับแต่ละxในXจะมีyในXที่ทำให้f ( x ) + f ( y ) = d ( x , y ) (ถ้า${\displaystyle X=\emptyset ,}$ถ้าเช่นนั้น ทั้งสองเงื่อนไขจะเป็นจริง ถ้า${\displaystyle X\neq \emptyset ,}$จากนั้นจึงบรรลุค่าสูงสุด และข้อกำหนดแรกก็บ่งบอกถึงความเท่าเทียมกัน)
• สมมติว่า|X|=2และเลือกค่าa และ b ที่แตกต่างกัน โดยที่X={a,b}จากนั้น${\displaystyle T(X)=\{f\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{X}:f(a)+f(b)=d(a,b)\}}$คือส่วนนูนของ{{(a,1),(b,0)},{(a,0),(b,1)}} [เพิ่มรูปภาพ คำบรรยายภาพ: ถ้าX={0,1}แล้ว${\displaystyle T(X)=\{v\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{2}:v_{0}+v_{1}=d(0,1)\}}$คือส่วนนูนของ{(0,1),(1,0)} ] ^{[ 4 ] : 124}
• ฟังก์ชันสุดขั้วทุกฟังก์ชันfบนXคือKatetov : ^{[ 5 ] [ 6 ] :ส่วนที่ 2} fตรงตามข้อกำหนดแรกและ${\displaystyle \forall x,y\in X\quad f(x)\leq d(x,y)+f(y),}$หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือfตรงตามข้อกำหนดแรกและ${\displaystyle \forall x,y\in X\quad |f(y)-f(x)|\leq d(x,y)}$(คือ 1- ลิปชิตซ์ ) หรือเทียบเท่ากับf ที่ตรง ตามเงื่อนไขข้อแรกและ${\displaystyle \forall x\in X\quad \sup\{f(y)-d(x,y):y\in X\}=f(x).}$^{[ 2 ] :การพิสูจน์ข้อเสนอ 4.6.1 [หมายเหตุ 4 ]}
• T(X)⊆ C(X) (ฟังก์ชันลิปชิตซ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง)
• T(X)เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอ (เป็นผลมาจากฟังก์ชันสุดขั้วทุกฟังก์ชันบนXเป็นฟังก์ชัน 1-ลิปชิตซ์ ดู ตัวอย่างใน Equicontinuity#Examples )
• ไม่ใช่ทุกฟังก์ชัน Katetov บนXจะเป็นฟังก์ชันสุดขั้วเสมอไป ตัวอย่างเช่น ให้aและbแตกต่างกัน ให้X = {a,b}ให้d = ([x≠y]) เป็นเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องบนXและให้f = {(a,1),(b,2)}แล้วfเป็นฟังก์ชัน Katetov แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันสุดขั้ว (เป็นที่เข้าใจได้เกือบจะทันทีว่าfเป็นฟังก์ชัน Katetov แต่ fไม่ใช่ฟังก์ชันสุดขั้วเพราะมันไม่ตรงตามคุณสมบัติในข้อที่สามของส่วนนี้)
• ถ้าdมีขอบเขตจำกัด ดังนั้นทุกfในT(X)จะมีขอบเขตจำกัด ที่จริงแล้ว สำหรับทุกfในT(X )${\displaystyle \|f\|_{\infty }\leq \|d\|_{\infty }.}$(บันทึก${\displaystyle d\in \ell ^{\infty }(X\times X).}$(สืบเนื่องมาจากคุณสมบัติที่เทียบเท่าข้อที่สามในหัวข้อข้างต้น)
• ถ้าdไม่มีขอบเขต ดังนั้นทุกฟังก์ชัน fในT(X)ก็จะไม่มีขอบเขตเช่นกัน (เป็นผลมาจากเงื่อนไขแรก)
• ${\displaystyle T(X)}$ปิดภายใต้ขีดจำกัดแบบจุดต่อจุด สำหรับการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดใดๆ${\displaystyle f\in (T(X))^{\omega },}$${\displaystyle \lim f\in T(X).}$
• ถ้า(X,d)เป็นคอมแพ็กต์ แล้ว(T(X),δ)จะเป็นคอมแพ็กต์^{[ 7 ] [ 2 ] :ข้อเสนอ 4.6.3} (พิสูจน์: ทฤษฎีบทค่าสุดขั้วบ่งชี้ว่าdเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง)${\displaystyle X\times X\to \mathbb {R} ,}$มีขอบเขตจำกัด ดังนั้น (ดูข้อก่อนหน้า)${\displaystyle T(X)\subseteq \{f\in C(X):\|f\|_{\infty }\leq \|d\|_{\infty }\}}$เป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของC(X)เราได้แสดงให้เห็นแล้ว ว่า T(X)เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอ ดังนั้นทฤษฎีบท Arzelà–Ascoliจึงบ่งชี้ว่าT(X)เป็นเซตกระชับสัมพัทธ์อย่างไรก็ตาม หัวข้อก่อนหน้านี้บ่งชี้ว่าT(X)เป็นเซตปิดภายใต้${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ปกติ เนื่องจาก${\displaystyle \ell ^{\infty }}$การลู่เข้าหมายถึงการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด ดังนั้นT(X) จึง เป็นเมทริกซ์กระชับ)
• สำหรับฟังก์ชันg ใดๆ จากXไปยังRที่ตรงตามข้อกำหนดแรก จะมีfในT(X)ที่f≤gในแต่ละจุด^{[ 2 ] :บทพิสูจน์ 4.4}
• สำหรับฟังก์ชันสุดขั้วใดๆfบนX${\displaystyle \forall x\in X\quad f(x)=\sup\{|f(y)-d(x,y)|:y\in X\}.}$^{[ 2 ] :ข้อเสนอ 4.6.1 [หมายเหตุ 5 ]}
• สำหรับf,g ใดๆ ในT(X)ผลต่าง${\displaystyle g-f}$เป็นของ${\displaystyle \ell ^{\infty }(X)}$กล่าวคือ มีขอบเขตจำกัด (ใช้ข้อความข้างต้น)
• แผนที่คูราโทวสกี้^{[ 4 ] : 125}${\displaystyle e:=((d(x,y))_{y\in X})_{x\in X}}$เป็นสมมาตร (เมื่อX = ∅ ผลลัพธ์จะชัดเจน เมื่อ X ≠ ∅ อสมการสามเหลี่ยมผกผันจะบ่งบอกถึงผลลัพธ์)
• ให้fอยู่ในT(X)สำหรับa ใดๆ ในXถ้าf(a)=0แล้วf=e(a) ^{[ 3 ] :เลมมา 5.1} (สำหรับทุกxในXเรา มี${\displaystyle (e(a))(x)=d(a,x)\leq f(a)+f(x)=f(x).}$จากความน้อยที่สุด (ลักษณะเทียบเท่าลำดับที่สองในส่วนด้านบน) ของfและข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle e(a)}$หากตรงตามเงื่อนไขข้อแรก ก็หมายความว่า${\displaystyle f=e_{a}.}$)
• (X,d)เป็นแบบไฮเปอร์โบลิกก็ต่อเมื่อ(T(X),δ)เป็นแบบไฮเปอร์โบลิก^{[ 3 ] :ทฤษฎีบท 5.3}

• (T(X),δ)และ$${\displaystyle \left(X\cup (T(X)\setminus \operatorname {range} e),\delta _{(T(X)\setminus \operatorname {range} e)\times (T(X)\setminus \operatorname {range} e)}\cup (\delta (e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup (\delta (e(x),g))_{x\in X,g\in T(X)\setminus \operatorname {range} e}\cup (\delta (f,e(y))_{f\in T(X)\setminus \operatorname {range} e,y\in X}\right)}$$ทั้งคู่เป็นไฮเปอร์คอนเว็กซ์ [ ^{2 ] :ข้อเสนอ 4.7.1}
• สำหรับY ใดๆ ที่${\displaystyle \operatorname {range} e\subseteq Y\subsetneq X\cup (T(X)\setminus \operatorname {range} e),}$$${\displaystyle \left(X\cup (Y\setminus \operatorname {range} e),\delta _{(Y\setminus \operatorname {range} e)\times (Y\setminus \operatorname {range} e)}\cup (\delta (e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup (\delta (e(x),g))_{x\in X,g\in Y\setminus \operatorname {range} e}\cup (\delta (f,e(y))_{f\in Y\setminus \operatorname {range} e,y\in X}\right)}$$ไม่ใช่ไฮเปอร์คอนเว็กซ์^{[ 2 ] :ข้อเสนอ 4.7.2} (" (T(X),δ)เป็นไฮเปอร์คอนเว็กซ์ฮัลล์ของ(X,d) .")
• อนุญาต${\displaystyle (H,\varepsilon )}$เป็นปริภูมิเมตริกนูนสูงที่มี${\displaystyle X\subseteq H}$และ${\displaystyle \varepsilon |_{X\times X}=\delta }$ถ้าหากว่าทั้งหมดที่ฉันมีอยู่${\displaystyle X\subseteq I\subsetneq H,}$${\displaystyle (I,\varepsilon |_{I\times I})}$ถ้าไม่ใช่ไฮเปอร์คอนเว็กซ์แล้ว${\displaystyle (H,\varepsilon )}$และ(T(X),δ)เป็นไอโซเมตริก [ ^{2 ] :ข้อเสนอ 4.7.1} ("ไฮเปอร์คอนเว็กซ์ฮัลล์ทุกอันของ(X,d)เป็นไอโซเมตริกกับ(T(X),δ) ")

• สมมติว่า|X|=3เลือกค่าa, b, c ที่แตกต่างกัน โดยที่X={a,b,c}และให้i=d(a,b), j=d(a,c), k=d(b,c)จากนั้น$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T(X)=&\{v\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{3}:1=v_{a}+v_{b},2=v_{a}+v_{c},3\leq v_{b}+v_{c}\\&\qquad \qquad \qquad {\text{or }}1=v_{a}+v_{b},2\leq v_{a}+v_{c},3=v_{b}+v_{c}\\&\qquad \qquad \qquad {\text{or }}1\leq v_{a}+v_{b},2=v_{a}+v_{c},3=v_{b}+v_{c}\}\\=&\{v\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{3}:v_{a}\leq {\frac {(i+j)-k}{2}},v_{b}=i-v_{a},v_{c}=j-v_{a}\\&\qquad \qquad \qquad {\text{or }}v_{a}=i-v_{b},v_{b}\leq {\frac {(i+k)-j}{2}},v_{c}=k-v_{b}\\&\qquad \qquad \qquad {\text{or }}v_{a}=j-v_{c},v_{b}=k-v_{c},v_{c}\leq {\frac {(j+k)-i}{2}}\}\\=&\left\{(t,i-t,j-t):t\in \left[0,i\land j\land {\frac {(i+j)-k}{2}}\right]\right\}\\&\cup \left\{(i-t,t,k-t):t\in \left[0,i\land k\land {\frac {(i+k)-j}{2}}\right]\right\}\\&\cup \left\{(j-t,k-t,t):t\in \left[0,j\land k\land {\frac {(j+k)-i}{2}}\right]\right\}\\=&\left\{(t,i-t,j-t):t\in \left[0,{\frac {(i+j)-k}{2}}\right]\right\}\\&\cup \left\{(i-t,t,k-t):t\in \left[0,{\frac {(i+k)-j}{2}}\right]\right\}\\&\cup \left\{(j-t,k-t,t):t\in \left[0,{\frac {(j+k)-i}{2}}\right]\right\}\\=&\operatorname {conv} \{(0,i,j),x\}\cup \operatorname {conv} \{(i,0,k),x\}\cup \operatorname {conv} \{(j,k,0),x\},\end{alignedat}}}$$ที่ไหน${\displaystyle x=2^{-1}(i+j-k,i+k-j,j+k-i).}$[เพิ่มรูปภาพ คำบรรยายภาพ: ถ้าX={0,1,2}แล้วT(X)=conv{(,,),(,,)} u conv{(,,),(,,)} u conv{(,,),(,,)}จะมีรูปร่างเหมือนตัวอักษร Y] (ดู^{[ 4 ] : 124} )

• รูปแสดงเซตXของจุด 16 จุดในระนาบ เพื่อสร้างปริภูมิเมตริกจำกัดจากจุดเหล่านี้ เราใช้ระยะทางแมนฮัตตัน ( ระยะทาง ℓ ¹ ) ^{[ 8 ]}บริเวณสีน้ำเงินที่แสดงในรูปคือส่วนนูนเชิงตั้งฉาก ซึ่ง เป็นเซตของจุดzที่แต่ละควอดแรนต์ปิดทั้งสี่ที่มีzเป็นจุดยอดมีจุดของX อยู่ จุด zดังกล่าวใดๆสอดคล้องกับจุดของสแปนแน่น: ฟังก์ชันf ( x ) ที่สอดคล้องกับจุดzคือf ( x ) = d ( z , x ) ฟังก์ชันในรูปแบบนี้เป็นไปตามคุณสมบัติ 1 ของสแปนแน่นสำหรับz ใดๆ ในระนาบเมตริกแมนฮัตตัน โดยอสมการสามเหลี่ยมสำหรับเมตริกแมนฮัตตัน เพื่อแสดงคุณสมบัติ 2 ของสแปนแน่น ให้พิจารณาจุดx บางจุด ในXเราต้องหาyในXที่f ( x )+ f ( y )= d ( x , y ) แต่ถ้าxอยู่ในหนึ่งในสี่ควอดแรนต์ที่มีzเป็นจุดยอดyสามารถเป็นจุดใดก็ได้ในควอดแรนต์ตรงข้าม ดังนั้นคุณสมบัติข้อ 2 จึงเป็นจริงเช่นกัน ในทางกลับกัน สามารถแสดงได้ว่าทุกจุดของสแปนต์แน่นจะสอดคล้องกับจุดในเปลือกนูนเชิงตั้งฉากของจุดเหล่านั้น อย่างไรก็ตาม สำหรับเซตของจุดที่มีเมตริกแมนฮัตตันในมิติที่สูงกว่า และสำหรับเซตของจุดระนาบที่มีเปลือกเชิงตั้งฉากที่ไม่เชื่อมต่อกัน สแปนต์แน่นจะแตกต่างจากเปลือกนูนเชิงตั้งฉาก

คำจำกัดความข้างต้นฝังช่วงแคบT ( X ) ของเซตn (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$) ชี้ไปยังR ^Xซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติnในทางกลับกัน หากเราพิจารณามิติของT ( X ) เป็นคอมเพล็กซ์ทรงหลายเหลี่ยม Develin (2006)แสดงให้เห็นว่า ด้วยสมมติฐานตำแหน่งทั่วไปที่เหมาะสมบนเมตริก นิยามนี้จะนำไปสู่ปริภูมิที่มีมิติระหว่างn /3 และn /2

นิยามทางเลือกที่อิงตามแนวคิดของปริภูมิเมตริกที่มุ่งไปยังปริภูมิย่อยของมันนั้นได้รับการอธิบายโดยHolsztyński (1968)ซึ่งพิสูจน์ว่าซองบรรจุแบบหนึ่งต่อหนึ่งของปริภูมิ Banach ในหมวดหมู่ของปริภูมิ Banach นั้น สอดคล้อง (หลังจากละทิ้งโครงสร้างเชิงเส้น) กับช่วงกระชับ ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถลดปัญหาบางอย่างจากปริภูมิ Banach ใดๆ ไปสู่ปริภูมิ Banach ในรูปแบบ C(X) โดยที่ X เป็นปริภูมิกระชับ

Develin & Sturmfels (2004)พยายามเสนอคำจำกัดความทางเลือกของ tight span ของปริภูมิเมตริกจำกัด โดยใช้Tropical convex hullของเวกเตอร์ระยะทางจากแต่ละจุดไปยังจุดอื่นๆ ในปริภูมิ อย่างไรก็ตาม ในปีเดียวกันนั้น พวกเขายอมรับในErratum Develin & Sturmfels (2004a)ว่า แม้ว่า Tropical convex hull จะครอบคลุม tight span เสมอ แต่ก็อาจไม่ตรงกับ tight span เสมอไป

• Dress, Huber และ Moulton (2001)อธิบายถึงการประยุกต์ใช้ช่วงแคบในการสร้างแผนภูมิวิวัฒนาการขึ้นใหม่จากข้อมูลทางชีววิทยา
• ช่วงแคบทำหน้าที่ในอัลกอริธึมออนไลน์หลายตัว^{สำหรับ}ปัญหา K -server [ ^{9 ]}
• Sturmfels & Yu (2004)ใช้ช่วงแคบเพื่อจำแนกพื้นที่เมตริกตามจุดได้มากถึงหกจุด
• Chepoi (1997)ใช้ช่วงแคบเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์เกี่ยวกับการบรรจุเมตริกตัดลงในปริภูมิเมตริกจำกัดทั่วไปมากขึ้น

• การฝังแบบคุราตอฟสกี (Kuratowski embedding ) คือการฝังปริภูมิเมตริกใดๆ ลงในปริภูมิบานาค (Banach space)ซึ่งนิยามในลักษณะเดียวกับแผนที่คุราตอฟสกี (Kuratowski map)
• ปริภูมิเมตริกแบบฉีด

• Joswig, Michael, Tight spans.