ทฤษฎีบทการสังเคราะห์ของทิทช์มาร์ชอธิบายคุณสมบัติของส่วนรองรับของการสังเคราะห์ของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ได้รับการพิสูจน์โดยเอ็ดเวิร์ด ชาร์ลส์ ทิทช์มาร์ชในปี พ.ศ. 2469 ^{[ 1 ]}

ถ้าและเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้ โดยที่ ${\textstyle \varphi (t)\,}$${\textstyle \psi (t)}$

${\displaystyle \varphi *\psi =\int _{0}^{x}\varphi (t)\psi (xt)\,dt=0}$

เกือบทุกที่ในช่วงเวลานั้น จะมีอยู่และที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่าเกือบทุกที่ในและเกือบทุกที่ใน${\displaystyle 0<x<\kappa \,}$${\displaystyle \แลมบ์ดา \geq 0}$${\displaystyle \mu \geq 0}$${\displaystyle \lambda +\mu \geq \kappa }$${\displaystyle \varphi (t)=0\,}$${\displaystyle 0<t<\lambda }$${\displaystyle \psi (t)=0\,}$${\displaystyle 0<t<\mu .}$

ผลที่ตามมาคือ ถ้าปริพันธ์ข้างต้นเป็น 0 สำหรับทุกค่าแล้วค่าใดค่าหนึ่งหรือทั้งสองค่าจะเป็น 0 เกือบทุกที่ในช่วงดังนั้น การสังเคราะห์ของฟังก์ชันสองฟังก์ชันบนช่วงจะไม่สามารถเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ได้ เว้นแต่ว่าอย่างน้อยหนึ่งในสองฟังก์ชันนั้นจะเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ ${\textstyle x>0,}$${\textstyle \varphi \,}$${\textstyle \psi }$${\textstyle [0,+\infty ).}$${\textstyle [0,+\infty )}$

อีกนัยหนึ่ง หาก ฟังก์ชัน หนึ่งหรือทั้งสองฟังก์ชันมีค่าไม่เป็นศูนย์เกือบทุกที่ในช่วงนี้ ฟังก์ชันอีกฟังก์ชันหนึ่งจะต้องมีค่าเป็นศูนย์เกือบทุกที่ในช่วงนั้น ${\displaystyle \varphi *\psi (x)=0}$${\displaystyle x\in [0,\kappa ]}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle [0,\kappa ]}$

ทฤษฎีบทนี้สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

ให้. ถ้าด้านซ้ายมือมีค่าจำกัด ในทำนองเดียวกันถ้าด้านขวามือมีค่าจำกัด${\displaystyle \varphi ,\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \inf \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\inf \operatorname {supp} \varphi +\inf \operatorname {supp} \psi }$${\displaystyle \sup \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\sup \operatorname {supp} \varphi +\sup \operatorname {supp} \psi }$

ด้านบนหมายถึงส่วนรองรับของฟังก์ชัน f (กล่าวคือ ส่วนปิดของส่วนเติมเต็มของ f ⁻¹ (0)) และหมายถึงค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดทฤษฎีบทนี้กล่าวโดยพื้นฐานว่าการรวมที่รู้จักกันดีนั้นมีความคมชัดที่ขอบเขต ${\displaystyle \operatorname {supp} }$${\displaystyle \inf }$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle \operatorname {supp} \varphi \ast \psi \subset \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {supp} \psi }$

การสรุปทั่วไปในมิติที่สูงกว่าในแง่ของส่วนนูนของส่วนรองรับได้รับการพิสูจน์โดยJacques-Louis Lionsในปี พ.ศ. 2494: ^{[ 2 ]}

ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle \varphi ,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \psi }$

ด้านบนหมายถึงส่วนนูนของเซต และหมายถึงปริภูมิของการกระจายที่มีส่วนรองรับแบบกระชับ ${\displaystyle \operatorname {c.h.} }$${\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

การพิสูจน์ดั้งเดิมโดย Titchmarsh ใช้ เทคนิค ตัวแปรเชิงซ้อนและอิงตามหลักการ Phragmén–Lindelöf อสมการ ของJensenทฤษฎีบทของ Carlemanและทฤษฎีบทของ Valironทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์เพิ่มเติมอีกหลายครั้ง โดยทั่วไปใช้ทั้ง วิธี ตัวแปรจริง^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} หรือ วิธีตัวแปรเชิงซ้อน^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Gian-Carlo Rotaได้กล่าวว่ายังไม่มีการพิสูจน์ใดที่กล่าวถึงโครงสร้างเชิงการจัดเรียงพื้นฐานของทฤษฎีบท ซึ่งเขาเชื่อว่าจำเป็นต่อความเข้าใจอย่างสมบูรณ์^{[ 9 ]}