ในทฤษฎีความน่าจะเป็นระยะทางความแปรผันรวม (Total Variation Distance)คือระยะทางทางสถิติระหว่างการแจกแจงความน่าจะเป็นและบางครั้งเรียกว่าระยะทางทางสถิติความแตกต่างทางสถิติหรือระยะทางความแปรผัน (Variational Distance )

พิจารณาพื้นที่ที่วัดได้ และการวัดความน่าจะเป็นและกำหนดบนระยะทางความแปรผันทั้งหมดระหว่างและถูกกำหนดเป็น^{[ 1 ]}${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \delta (P,Q)=\sup _{A\in {\mathcal {F}}}\left|P(A)-Q(A)\right|.}$

นี่คือความแตกต่างสัมบูรณ์ที่มากที่สุดระหว่างความน่าจะเป็นที่การแจกแจงความน่าจะเป็น ทั้งสอง กำหนดให้กับเหตุการณ์เดียวกัน

ระยะทางความแปรผันรวมเป็นค่าf -divergenceและเป็นเมตริกความน่าจะเป็นเชิงปริพันธ์

ระยะทางความแปรผันรวมมีความสัมพันธ์กับความแตกต่างแบบ Kullback–Leiblerโดยอสมการของ Pinsker :

${\displaystyle \delta (P,Q)\leq {\sqrt {{\frac {1}{2}}D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}.}$

นอกจากนี้ยังมีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ ซึ่งเป็นผลมาจากBretagnolle และ Huber ^{[ 2 ]} (ดูเพิ่มเติมที่^{[ 3 ]} ) ซึ่งมีข้อดีคือให้ขอบเขตที่ไม่ว่างเปล่าแม้ในกรณีที่${\displaystyle \textstyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)>2\colon }$

${\displaystyle \delta (P,Q)\leq {\sqrt {1-e^{-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}}.}$

ระยะทางความแปรผันทั้งหมดคือครึ่งหนึ่งของระยะทางL ¹ระหว่างฟังก์ชันความน่าจะเป็น: ในโดเมนแบบไม่ต่อเนื่อง นี่คือระยะทางระหว่างฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น^{[ 4 ]}

${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\sum _{x}|P(x)-Q(x)|,}$

และเมื่อการแจกแจงมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ^เป็น มาตรฐาน pและq [ ^{5 ]}

${\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\int |p(x)-q(x)|\,\mathrm {d} x}$

(หรือระยะทางที่คล้ายคลึงกันระหว่างอนุพันธ์ Radon-Nikodym ที่มี การวัดครอบงำร่วมกัน) ผลลัพธ์นี้สามารถแสดงได้โดยการสังเกตว่าค่าสูงสุดในคำจำกัดความนั้นเกิดขึ้นที่เซตที่การแจกแจงหนึ่งครอบงำอีกการแจกแจงหนึ่ง^{[ 6 ]}

ระยะทางความแปรผันทั้งหมดมีความสัมพันธ์กับระยะทางเฮลลิงเกอร์ ดังนี้: ^{[ 7 ]}${\displaystyle H(P,Q)}$

${\displaystyle H^{2}(P,Q)\leq \delta (P,Q)\leq {\sqrt {2}}H(P,Q).}$

ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากความไม่เท่าเทียมกันระหว่างค่า1-นอร์มและค่า 2-นอร์ม

ระยะทางแปรผันรวม (หรือครึ่งหนึ่งของค่าปกติ) เกิดขึ้นเป็นต้นทุนการขนส่งที่เหมาะสมที่สุด เมื่อฟังก์ชันต้นทุนคือนั่นคือ ${\displaystyle c(x,y)={\mathbf {1} __{x\neq y}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\|PQ\|_{1}=\delta (P,Q)=\inf {\big \{}\mathbb {P} (X\neq Y):{\text{Law}}(X)=P,{\text{Law}}(Y)=Q{\big \}}=\inf _{\pi }\ชื่อผู้ดำเนินการ {E} _{\pi }[{\mathbf {1} __{x\neq y}],}$

โดยที่ความคาดหวังจะพิจารณาจากมาตรวัดความน่าจะเป็นในพื้นที่ที่มีชีวิตอยู่ และค่าต่ำสุดจะพิจารณาจากทั้งหมดดังกล่าวที่มีขอบเขตและตามลำดับ^{[ 8 ]}${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

• การเปลี่ยนแปลงทั้งหมด
• การทดสอบ Kolmogorov–Smirnov
• เมตริกวาสเซอร์สไตน์