ในทฤษฎีจำนวนฟังก์ชันผลรวมโทเทียนต์ คือฟังก์ชันผลรวมของฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle \Phi (n)}$

${\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbb {N} .}$

คือจำนวนของคู่ลำดับของจำนวน เต็มที่ ไม่มีตัว หารร่วม( p , q )โดยที่1 ≤ p ≤ q ≤ n

ค่าเริ่มต้นไม่กี่ค่าได้แก่ 0, 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 28, 32, ... (ลำดับA002088ในOEIS ) ค่าสำหรับเลขยกกำลังของ 10 ได้แก่ 1, 32, 3044, 304192, 30397486, 3039650754, ... (ลำดับA064018ในOEIS )

เอกลักษณ์ต่อไปนี้ใช้ได้กับจำนวนจริงทั้งหมด: ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}\Phi \left({\frac {n}{d}}\right)={\frac {1}{2}}\lfloor n\rfloor \lfloor n+1\rfloor }$.

สิ่งนี้ทำให้เกิดความสัมพันธ์เวียนเกิดโดยปริยายสำหรับฟังก์ชันผลรวมแบบโทเทียนต์^{[ 1 ] : 138}

การใช้การผกผันโมเบียสกับฟังก์ชันโทเทียนต์หรือเอกลักษณ์ข้างต้นจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \Phi (n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}{\frac {\mu (d)}{d}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \left(1+\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \right),}$

โดยที่ฟังก์ชันโมเบียสคือจากนั้นสามารถแสดงได้ว่าΦ( n )มีการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติก ${\displaystyle \mu (n)}$

${\displaystyle \Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}n^{2}+O\left(n\log n\right)={\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n\log n\right),}$

โดยที่ζ(2)คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่ประเมินค่าที่ 2 ซึ่งคือ. ^{[ 1 ] : 462–463 [ 2 ]}${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

ฟังก์ชันผลรวมของส่วนกลับของโทเทียนต์คือ

${\displaystyle S(n):=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}.}$

เอ็ดมุนด์ แลนเดาแสดงให้เห็นในปี พ.ศ. 2443 ว่าฟังก์ชันนี้มีพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับ^{[ 3 ]}

${\displaystyle S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left({\frac {\log n}{n}}\right),}$

โดยที่γคือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี

${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}}{k\varphi (k)}}={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right),}$

และ

${\displaystyle B=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}\log k}{k\,\varphi (k)}}=A\,\prod _{p\in \mathbb {P} }\left({\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right).}$

ค่าคงที่A  = 1.943596...บางครั้งเรียกว่าค่าคงที่โทเทียนต์ของแลนเดาผลรวมลู่เข้าสู่ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }1/(k\;\varphi (k))}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}=\zeta (2)\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=2.20386\ldots .}$

ในกรณีนี้ ผลคูณของจำนวนเฉพาะทางด้านขวาเป็นค่าคงที่ที่เรียกว่า^ค่าคงที่ผลรวมโทเทียนต์ [ ^{4 ]}และค่าของมันคือ

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784\ldots .}$

• ฟังก์ชันเลขคณิต

• ฟังก์ชันสรุป OEIS Totient
• การขยายทศนิยมของผลิตภัณฑ์คงที่รวม(1 + 1/(p^2*(p-1))), p ไพรม์ >= 2)

บทความเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนนี้ ยัง ไม่สมบูรณ์คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มข้อมูลที่ขาดหายไป

• v
• t
• e