ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์ ตัวดำเนินการร่องรอย (trace operator)ขยายแนวคิดของการจำกัดฟังก์ชันไว้ที่ขอบเขตของโดเมนไปสู่ฟังก์ชัน "ทั่วไป" ในปริภูมิ โซโบเลฟ ( Sobolev space ) สิ่งนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการศึกษาเกี่ยว กับ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่มีเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดไว้ ( ปัญหาค่าขอบเขต ) ซึ่งคำตอบแบบอ่อนอาจไม่สม่ำเสมอเพียงพอที่จะตอบสนองเงื่อนไขขอบเขตในความหมายคลาสสิกของฟังก์ชัน

บนโดเมน ที่มีขอบเขตและเรียบเนียน พิจารณาปัญหาการแก้สมการปัวซงที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบดิริชเลต์ ที่ไม่เป็นเอกพันธ์ : ${\textstyle \โอเมก้า \subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}}$

โดยใช้ฟังก์ชันที่กำหนดและมีความสม่ำเสมอตามที่กล่าวถึงในส่วนการประยุกต์ใช้ด้านล่าง คำตอบแบบอ่อนของสมการนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x}$สำหรับทุกคน${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\โอเมก้า )}$

ความสม่ำเสมอของ นั้นเพียงพอสำหรับการกำหนดสมการปริพันธ์ นี้ ได้อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม ยังไม่ชัดเจนว่า ในแง่ใดที่สามารถตอบสนองเงื่อนไขขอบเขตบน ได้โดยนิยามแล้วคือชั้นสมมูลของฟังก์ชันที่สามารถมีค่าใดๆ บน ได้ เนื่องจากนี่คือเซตว่างเมื่อเทียบกับ การวัดเลเบสแบบ n มิติ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$${\textstyle u}$${\textstyle u}$${\textstyle u=g}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$${\textstyle \partial \Omega }$

ถ้าทฤษฎีบท การฝังตัว ของโซโบเลฟเป็นจริง เช่นนั้นสามารถตอบสนองเงื่อนไขขอบเขตในความหมายแบบคลาสสิกได้ กล่าวคือ การจำกัดของไปยัง สอดคล้องกับฟังก์ชัน(กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น: มีตัวแทนของใน ที่มีคุณสมบัตินี้) สำหรับที่มีการฝังตัวเช่นนั้นไม่มีอยู่จริง และต้องใช้ตัวดำเนินการร่องรอยที่นำเสนอในที่นี้เพื่อให้ความหมายแก่แล้วที่เรียกว่าคำตอบอ่อนของปัญหาค่าขอบเขต ถ้าสมการปริพันธ์ข้างต้นเป็นจริง สำหรับนิยามของตัวดำเนินการร่องรอยที่จะสมเหตุสมผล จะต้องเป็นจริงสำหรับ ที่มีความสม่ำเสมอเพียงพอ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$${\textstyle H^{1}(\โอเมก้า )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$${\textstyle u}$${\textstyle u}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle g}$${\textstyle u}$${\textstyle C({\bar {\โอเมก้า }})}$${\textstyle \โอเมก้า \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle n>1}$${\textstyle T}$${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$${\textstyle Tu=g}$${\textstyle Tu=u|_{\บางส่วน \โอเมก้า }}$${\textstyle u}$

ตัวดำเนินการร่องรอยสามารถกำหนดได้สำหรับฟังก์ชันในปริภูมิโซโบเลฟ ที่มีดูส่วนด้านล่างสำหรับการขยายที่เป็นไปได้ของร่องรอยไปยังปริภูมิอื่น ให้เป็นโดเมนที่มีขอบเขตและ มี ขอบเขตลิปชิตซ์แล้ว^{[ 1 ]}จะมีตัวดำเนินการร่องรอย เชิงเส้นที่มีขอบเขต${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle 1\leq p<\infty }$${\textstyle \โอเมก้า \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}$

โดยที่ขยายร่องรอยแบบคลาสสิกออกไป กล่าวคือ ${\textstyle T}$

${\displaystyle Tu=u|_{\บางส่วน \โอเมก้า }}$สำหรับทุกคน${\textstyle u\in W^{1,p}(\โอเมก้า )\cap C({\bar {\โอเมก้า }})}$

ความต่อเนื่องของหมายความว่า ${\textstyle T}$

${\displaystyle \|Tu\|_{L^{p}(\บางส่วน \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$สำหรับทุกคน${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$

โดยค่าคงที่จะขึ้นอยู่กับและ เท่านั้น ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ร่องรอยของและ มักจะใช้สัญลักษณ์ แทนง่ายๆ สัญลักษณ์อื่นๆ ที่ ใช้กันทั่วไปสำหรับได้แก่และ${\textstyle p}$${\textstyle \Omega }$${\textstyle Tu}$${\textstyle u}$${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle T}$${\textstyle tr}$${\textstyle \gamma }$

ย่อหน้านี้อ้างอิงจาก Evans ^{[ 2 ]}ซึ่งสามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ และถือว่ามีขอบเขต - ^{[ a ]} ​​หลักฐาน (เวอร์ชันที่แข็งแกร่งกว่า) ของทฤษฎีบทร่องรอยสำหรับโดเมน Lipschitz สามารถพบได้ใน Gagliardo ^{[ 1 ]}บนโดเมน - ตัวดำเนินการร่องรอยสามารถกำหนดได้เป็นการขยายเชิงเส้นต่อเนื่องของตัวดำเนินการ ${\textstyle \Omega }$${\textstyle C^{1}}$${\textstyle C^{1}}$

${\displaystyle T:C^{\infty }({\bar {\Omega }})\to L^{p}(\partial \Omega )}$

ไปยังปริภูมิโดยความหนาแน่นของในส่วนขยายดังกล่าวเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีความต่อเนื่องเมื่อเทียบกับนอร์ม การพิสูจน์เรื่องนี้ กล่าวคือ มีอยู่(ขึ้นอยู่กับและ) เช่นนั้น ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle T}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle C>0}$${\textstyle \Omega }$${\textstyle p}$

${\displaystyle \|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$

เป็นส่วนประกอบสำคัญในการสร้างตัวดำเนินการร่องรอย มีการพิสูจน์รูปแบบเฉพาะที่ของการประมาณค่านี้สำหรับฟังก์ชัน เป็นครั้งแรกสำหรับขอบเขตที่ราบเรียบในระดับท้องถิ่นโดยใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์โดยการแปลง ขอบเขต ทั่วไปสามารถทำให้ตรงในระดับท้องถิ่นเพื่อลดเหลือกรณีนี้ ซึ่งความสม่ำเสมอของการแปลงกำหนดให้การประมาณค่าเฉพาะที่ใช้ได้กับฟังก์ชัน ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$${\textstyle C^{1}}$${\textstyle C^{1}}$${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$

ด้วยความต่อเนื่องของตัวดำเนินการร่องรอยในส่วนขยายที่มีอยู่โดยการใช้เหตุผลเชิงนามธรรม และสำหรับสามารถกำหนดลักษณะได้ดังต่อไปนี้ ให้เป็นลำดับที่ประมาณค่าโดยความหนาแน่น โดยความต่อเนื่องที่พิสูจน์แล้วของในลำดับเป็นลำดับโคชีในและด้วยลิมิตที่คำนวณใน ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle Tu}$${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle T}$${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle u_{k}|_{\partial \Omega }}$${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$${\textstyle Tu=\lim _{k\to \infty }u_{k}|_{\partial \Omega }}$${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$

คุณสมบัติการขยายนั้นเป็นจริงตามโครงสร้าง แต่สำหรับเซตใดๆจะมีลำดับที่ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยังเซตที่ใหญ่กว่า ซึ่งเป็นการตรวจสอบคุณสมบัติการขยายบนเซตที่ใหญ่กว่า ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${\textstyle {\bar {\Omega }}}$${\textstyle u}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$

ถ้าเป็นขอบเขตและมีขอบเขต -boundary แล้วโดยอสมการของ Morreyจะมีการฝังตัวแบบต่อเนื่องโดยที่แทนปริภูมิของ ฟังก์ชัน ต่อเนื่องแบบ Lipschitzโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันใดๆ ก็มีร่องรอยแบบคลาสสิกและเป็นไปตามเงื่อนไข ${\textstyle \Omega }$${\textstyle C^{1}}$${\textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )}$${\textstyle C^{0,1}(\Omega )}$${\textstyle u\in W^{1,\infty }(\Omega )}$${\textstyle u|_{\partial \Omega }\in C(\partial \Omega )}$

${\displaystyle \|u|_{\partial \Omega }\|_{C(\partial \Omega )}\leq \|u\|_{C^{0,1}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,\infty }(\Omega )}.}$

ปริภูมิโซโบเลฟสำหรับถูกกำหนดให้เป็นส่วนปิดของเซตของฟังก์ชันทดสอบที่มีขอบเขตจำกัดโดยสัมพันธ์กับนอร์ม -นอร์ม ลักษณะเฉพาะทางเลือกต่อไปนี้ใช้ได้: ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle 1\leq p<\infty }$${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\{u\in W^{1,p}(\Omega )\mid Tu=0\}=\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )),}$

โดยที่เคอร์เนลของคือปริภูมิย่อยของฟังก์ชันในที่มีร่องรอยเป็น ศูนย์${\textstyle \ker(T)}$${\textstyle T}$${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$

ตัวดำเนินการร่องรอย (trace operator) ไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึงบนถ้ากล่าวคือ ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันในจะเป็นร่องรอยของฟังก์ชันในดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง ภาพประกอบด้วยฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ ความต่อเนื่อง ของHölderใน รูปแบบ -version${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$${\textstyle p>1}$${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle L^{p}}$

ลักษณะเฉพาะเชิงนามธรรมของภาพของสามารถอนุมานได้ดังต่อไปนี้ โดยทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึม จะได้ว่า ${\textstyle T}$

${\displaystyle T(W^{1,p}(\Omega ))\cong W^{1,p}(\Omega )/\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega ))=W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}$

โดยที่หมายถึงปริภูมิผลหารของปริภูมิบานาคโดยปริภูมิย่อยและเอกลักษณ์สุดท้ายได้มาจากลักษณะเฉพาะของ ข้างต้น โดยกำหนดบรรทัดฐานผลหารให้กับปริภูมิผลหารที่กำหนดโดย ${\textstyle X/N}$${\textstyle X}$${\textstyle N\subset X}$${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}=\inf _{u_{0}\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}\|u-u_{0}\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$

ตัวดำเนินการร่องรอยจึงเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบทั่วถึงและมีขอบเขต ${\textstyle T}$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}$.

การแสดงภาพของ ที่ชัดเจนยิ่งขึ้นสามารถทำได้โดยใช้ปริภูมิ Sobolev-Slobodeckijซึ่งขยายแนวคิดของฟังก์ชันต่อเนื่อง Hölder ไปสู่การตั้งค่า เนื่องจากเป็นแมนิโฟลด์ Lipschitz มิติ(n-1)ที่ฝังอยู่ในการกำหนดลักษณะเฉพาะของปริภูมิเหล่านี้อย่างชัดเจนจึงมีความซับซ้อนทางเทคนิค เพื่อความง่าย ให้พิจารณาโดเมนระนาบก่อนสำหรับกำหนดบรรทัดฐาน (อาจเป็นอนันต์) ${\textstyle T}$${\textstyle L^{p}}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$${\textstyle v\in L^{p}(\Omega ')}$

${\displaystyle \|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega ')}^{p}+\int _{\Omega '\times \Omega '}{\frac {|v(x)-v(y)|^{p}}{|x-y|^{(1-1/p)p+(n-1)}}}\,\mathrm {d} (x,y)\right)^{1/p}}$

ซึ่งเป็นการขยายเงื่อนไขของ Hölder จากนั้น ${\textstyle |v(x)-v(y)|\leq C|x-y|^{1-1/p}}$

${\displaystyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')=\left\{v\in L^{p}(\Omega ')\;\mid \;\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}<\infty \right\}}$

ที่มีบรรทัดฐานก่อนหน้านี้คือปริภูมิบานาค (คำจำกัดความทั่วไปสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มสามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับปริภูมิโซโบเลฟ-สโลโบเดคิจ ) สำหรับแมนิโฟลด์ลิปชิตซ์มิติ(n-1)ที่กำหนดโดยการปรับให้ตรงในระดับท้องถิ่นและดำเนินการตามคำจำกัดความของ ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$${\textstyle s>0}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')}$

จากนั้น พื้นที่สามารถระบุได้ว่าเป็นภาพของตัวดำเนินการร่องรอยและมีอยู่^{[ 1 ]}ว่า ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบทั่วถึงและมีขอบเขต

สำหรับภาพของตัวดำเนินการร่องรอยคือและมีอยู่^{[ 1 ]}ว่า ${\textstyle p=1}$${\textstyle L^{1}(\partial \Omega )}$

${\displaystyle T\colon W^{1,1}(\Omega )\to L^{1}(\partial \Omega )}$

เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบทั่วถึงและมีขอบเขต

ตัวดำเนินการร่องรอยไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจากฟังก์ชันหลายฟังก์ชันในสามารถมีร่องรอยเดียวกันได้ (หรือเทียบเท่ากับ) อย่างไรก็ตาม ตัวดำเนินการร่องรอยมีตัวผกผันขวาที่มีพฤติกรรมดี ซึ่งขยายฟังก์ชันที่กำหนดบนขอบเขตไปยังโดเมนทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับจะมีตัวดำเนินการขยายร่องรอย เชิงเส้นที่มีขอบเขต ^{[ 3 ]}${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )\neq 0}$${\textstyle 1<p<\infty }$

${\displaystyle E\colon W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{1,p}(\Omega )}$,

โดยใช้ลักษณะเฉพาะของภาพตัวดำเนินการร่องรอยตามแนวคิด Sobolev-Slobodeckij จากส่วนก่อนหน้า ดังนี้

${\displaystyle T(Ev)=v}$สำหรับทุกคน${\textstyle v\in W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

และโดยความต่อเนื่อง จึงมีอยู่ด้วย ${\textstyle C>0}$

${\displaystyle \|Ev\|_{W^{1,p}(\Omega )}\leq C\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}}$.

สิ่งที่น่าสนใจไม่ใช่เพียงแค่การมีอยู่ แต่ยังรวมถึงความเป็นเส้นตรงและความต่อเนื่องของตัวผกผันด้านขวาด้วย ตัวดำเนินการขยายร่องรอยนี้ไม่ควรสับสนกับตัวดำเนินการขยายปริภูมิทั้งหมด ซึ่งมีบทบาทพื้นฐานในทฤษฎีของปริภูมิโซโบเลฟ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

ผลลัพธ์ก่อนหน้านี้หลายอย่างสามารถขยายไปสู่การหาอนุพันธ์ที่สูงขึ้นได้หากโดเมนมีความสม่ำเสมอเพียงพอ ให้แทนฟิลด์หน่วยปกติภายนอกบนเนื่องจากสามารถเข้ารหัสคุณสมบัติการหาอนุพันธ์ในทิศทางสัมผัสเท่านั้น อนุพันธ์ปกติจึงมีความน่าสนใจเพิ่มเติมสำหรับทฤษฎีร่องรอยสำหรับข้อโต้แย้งที่คล้ายกันนี้สามารถนำไปใช้กับอนุพันธ์อันดับสูงกว่าสำหรับ ได้เช่นกัน ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$${\textstyle m=2,3,\ldots }$${\textstyle N}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle \partial _{N}u|_{\partial \Omega }}$${\textstyle m=2}$${\textstyle m>2}$

ให้และเป็นโดเมนที่มีขอบเขตโดยมีขอบเขต - จากนั้น^{[ 3 ]}จะมีตัวดำเนินการร่องรอยลำดับสูง เชิงเส้นที่มีขอบเขตแบบทั่วถึงอยู่${\textstyle 1<p<\infty }$${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle C^{m,1}}$

${\displaystyle T_{m}\colon W^{m,p}(\Omega )\to \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )}$

โดยใช้ปริภูมิ Sobolev-Slobodeckij สำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่กำหนดบนผ่านการแปลงไปสู่กรณีระนาบสำหรับซึ่งนิยามของมันได้รับการอธิบายอย่างละเอียดในบทความเกี่ยวกับปริภูมิ Sobolev-Slobodeckijตัวดำเนินการนี้ขยายร่องรอยปกติแบบคลาสสิกในความหมายที่ว่า ${\textstyle W^{s,p}(\partial \Omega )}$${\textstyle s>0}$${\textstyle \partial \Omega }$${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle T_{m}u=\left(u|_{\partial \Omega },\partial _{N}u|_{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u|_{\partial \Omega }\right)}$สำหรับทุกคน${\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^{m-1}({\bar {\Omega }}).}$

นอกจากนี้ ยังมีตัวผกผันขวาเชิงเส้นที่มีขอบเขตของซึ่งเป็นตัวดำเนินการขยายร่องรอยลำดับสูงกว่า^{[ 3 ]}${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle E_{m}\colon \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )}$.

สุดท้าย พื้นที่ซึ่งเป็นการเติมเต็มของในนอร์ม สามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นเคอร์เนลของ[ ^{3 ] กล่าว}คือ ${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Omega )=\{u\in W^{m,p}(\Omega )\mid T_{m}u=0\}}$.

ไม่มีการขยายแนวคิดของร่องรอยไปยังอย่างสมเหตุสมผลเนื่องจากตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตใดๆ ที่ขยายร่องรอยแบบคลาสสิกจะต้องเป็นศูนย์ในปริภูมิของฟังก์ชันทดสอบซึ่งเป็นเซตย่อยหนาแน่นของซึ่งหมายความว่าตัวดำเนินการดังกล่าวจะเป็นศูนย์ทุกที่ ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$${\textstyle 1\leq p<\infty }$${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$${\textstyle L^{p}(\Omega )}$

ให้ แทนการ ล divergenceแบบกระจายของสนามเวกเตอร์สำหรับและโดเมนลิปชิตซ์ที่มีขอบเขตกำหนด ${\textstyle \operatorname {div} v}$${\textstyle v}$${\textstyle 1<p<\infty }$${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle E_{p}(\Omega )=\{v\in (L^{p}(\Omega ))^{n}\mid \operatorname {div} v\in L^{p}(\Omega )\}}$

ซึ่งเป็นปริภูมิบานาคที่มีบรรทัดฐาน

${\displaystyle \|v\|_{E_{p}(\Omega )}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|\operatorname {div} v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}}$.

ให้แทนฟิลด์ปกติหน่วยภายนอกบน. จากนั้น^{[ 4 ]}จะมีตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต ${\textstyle N}$${\textstyle \partial \Omega }$

${\displaystyle T_{N}\colon E_{p}(\Omega )\to (W^{1-1/q,q}(\partial \Omega ))'}$,

โดยที่คือเลขชี้กำลังสังยุคของและแทนปริภูมิคู่ต่อเนื่องของปริภูมิบานาคโดยที่ขยายร่องรอยปกติสำหรับในความหมายที่ว่า ${\textstyle q=p/(p-1)}$${\textstyle p}$${\textstyle X'}$${\textstyle X}$${\textstyle T_{N}}$${\textstyle (v\cdot N)|_{\partial \Omega }}$${\textstyle v\in (C^{\infty }({\bar {\Omega }}))^{n}}$

${\displaystyle T_{N}v={\bigl \{}\varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )\mapsto \int _{\partial \Omega }\varphi v\cdot N\,\mathrm {d} S{\bigr \}}}$.

ค่าของตัวดำเนินการร่องรอยปกติสำหรับถูกกำหนดโดยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์กับฟิลด์เวกเตอร์โดยที่คือตัวดำเนินการขยายร่องรอยจากข้างต้น ${\textstyle (T_{N}v)(\varphi )}$${\textstyle \varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )}$${\textstyle w=E\varphi \,v}$${\textstyle E}$

การประยุกต์ใช้ผลเฉลยอ่อนใดๆของในโดเมนลิปชิตซ์ที่มีขอบเขตจะมีอนุพันธ์ปกติในความหมายของ ซึ่ง เป็นผล มาจาก เนื่องจากและผลลัพธ์นี้มีความสำคัญเนื่องจาก ในโดเมนลิปชิตซ์โดยทั่วไปเช่นอาจไม่อยู่ในโดเมนของตัวดำเนินการร่องรอย ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$${\textstyle -\Delta u=f\in L^{2}(\Omega )}$${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle T_{N}\nabla u\in (W^{1/2,2}(\partial \Omega ))^{*}}$${\textstyle \nabla u\in E_{2}(\Omega )}$${\textstyle \nabla u\in L^{2}(\Omega )}$${\textstyle \operatorname {div} (\nabla u)=\Delta u=-f\in L^{2}(\Omega )}$${\textstyle u\not \in H^{2}(\Omega )}$${\textstyle \nabla u}$${\textstyle T}$

ทฤษฎีบทที่กล่าวมาข้างต้นช่วยให้สามารถตรวจสอบปัญหาค่าขอบเขตได้อย่างละเอียดมากขึ้น

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}}$

บนโดเมนลิปชิตซ์จากแรงจูงใจ เนื่องจากในที่นี้ศึกษา เฉพาะ กรณีของปริภูมิฮิลเบิร์ต เท่านั้น จึงใช้สัญลักษณ์เพื่อแสดงถึง เป็นต้น ดังที่ระบุไว้ในแรงจูงใจ ผลเฉลยอ่อนของสมการนี้ต้องสอดคล้องกับและ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle p=2}$${\textstyle H^{1}(\Omega )}$${\textstyle W^{1,2}(\Omega )}$${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$${\textstyle Tu=g}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x}$สำหรับทุกคน${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

โดยที่ด้านขวาจะต้องถูกตีความว่าเป็นผลคูณทวิภาวะที่มีค่าเท่ากับ ${\textstyle f\in H^{-1}(\Omega )=(H_{0}^{1}(\Omega ))'}$${\textstyle f(\varphi )}$

ลักษณะเฉพาะของช่วงของบ่งชี้ว่าเพื่อให้ เป็นไปตามความสม่ำเสมอเป็นสิ่งจำเป็น ความสม่ำเสมอนี้ยังเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของคำตอบแบบอ่อน ซึ่งสามารถเห็นได้ดังต่อไปนี้ โดยทฤษฎีบทการขยายร่องรอย จะมีอยู่เช่นนั้นโดยกำหนดโดยเราจะได้ว่าและดังนั้นโดยลักษณะเฉพาะของเป็นปริภูมิที่มีร่องรอยเป็นศูนย์ ฟังก์ชันจึงสอดคล้องกับสมการปริพันธ์ ${\textstyle T}$${\textstyle Tu=g}$${\textstyle g\in H^{1/2}(\partial \Omega )}$${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$${\textstyle T(Eg)=g}$${\textstyle u_{0}}$${\textstyle u_{0}=u-Eg}$${\textstyle Tu_{0}=Tu-T(Eg)=0}$${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$${\textstyle H_{0}^{1}(\Omega )}$${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u_{0}\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\nabla (u-Eg)\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }\nabla Eg\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x}$สำหรับทุกคน${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

ดังนั้น ปัญหาที่มีค่าขอบเขตไม่สม่ำเสมอสำหรับสามารถลดทอนลงเหลือปัญหาที่มีค่าขอบเขตสม่ำเสมอสำหรับ ซึ่งเป็นเทคนิคที่สามารถนำไปใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ใดๆ ก็ได้ ตามทฤษฎีบทการแสดงแทนของรีซ (Riesz representation theorem)จะมีคำตอบเฉพาะสำหรับปัญหานี้ โดยอาศัยความไม่ซ้ำกันของการแยกส่วน สิ่งนี้เทียบเท่ากับการมีอยู่ของคำตอบอ่อนเฉพาะสำหรับปัญหาค่าขอบเขตไม่สม่ำเสมอ ${\textstyle u}$${\textstyle u_{0}}$${\textstyle u_{0}}$${\textstyle u=u_{0}+Eg}$${\textstyle u}$

ยังคงต้องตรวจสอบความสัมพันธ์ของกับและต่อไปให้ แทนค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นกับและจากการที่ มีความสัมพันธ์อย่างต่อเนื่องกับด้านขวาของสมการปริพันธ์ จึงได้ว่า ${\textstyle u}$${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots >0}$${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle u_{0}}$

${\displaystyle \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{1}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\right)}$

ดังนั้น โดยใช้สิ่งนั้นและโดยความต่อเนื่องของตัวดำเนินการขยายร่องรอย จึงสรุปได้ว่า ${\textstyle \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{2}\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}}$${\textstyle \|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\|g\|_{H^{1/2}(\Omega )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{H^{1}(\Omega )}&\leq \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{1}c_{2}\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+(c_{3}+c_{1}c_{2})\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\\&\leq c_{4}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega )}\right)\end{aligned}}}$

และแผนผังการแก้ปัญหา

${\displaystyle H^{-1}(\Omega )\times H^{1/2}(\partial \Omega )\ni (f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Omega )}$

ดังนั้นจึงมีความต่อเนื่อง

• ตัวดำเนินการนิวเคลียร์ระหว่างปริภูมิบานาค