ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนคือข้อผิดพลาดที่เกิดจากการประมาณกระบวนการทางคณิตศาสตร์^{[ 1 ] [ 2 ]}คำว่าการตัดทอนมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการทำให้ง่ายขึ้นเหล่านี้มักเกี่ยวข้องกับการตัดทอน การขยาย อนุกรมอนันต์เพื่อให้การคำนวณเป็นไปได้และใช้งานได้จริง

อนุกรมผลรวมสำหรับจะกำหนดโดยอนุกรมอนันต์ เช่น ${\displaystyle e^{x}}$$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$

ในความเป็นจริง เราสามารถใช้พจน์เหล่านี้ได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น เพราะหากใช้ทั้งหมดจะใช้เวลาในการคำนวณมหาศาลจนไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้น สมมติว่าเราใช้เพียงสามพจน์จากอนุกรมนี้แล้ว $${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}}$$

ในกรณีนี้ ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนคือ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

ตัวอย่าง ก:

กำหนดอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้ จงหาค่าความคลาดเคลื่อนจากการตัดทอนสำหรับx = 0.75ถ้าใช้เพียงสามพจน์แรกของอนุกรมเท่านั้น $${\displaystyle S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.}$$

สารละลาย

การใช้เพียงสามพจน์แรกของอนุกรมจะให้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{2}\right)_{x=0.75}\\&=1+0.75+\left(0.75\right)^{2}\\&=2.3125\end{aligned}}}$$

ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ มีค่าดังนี้ $${\displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1}$$$${\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}}$$

สำหรับอนุกรมของเราa = 1และr = 0.75เพื่อให้ได้ $${\displaystyle S={\frac {1}{1-0.75}}=4}$$

ดังนั้น ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนจึงเป็น $${\displaystyle \mathrm {TE} =4-2.3125=1.6875}$$

นิยามของอนุพันธ์อันดับแรกที่แน่นอนของฟังก์ชันนั้นกำหนดโดย $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

อย่างไรก็ตาม หากเราคำนวณอนุพันธ์ด้วยวิธีเชิงตัวเลข ค่าของอนุพันธ์จะต้องมีค่าจำกัด ข้อผิดพลาดที่เกิดจากการเลือกให้ค่าของอนุพันธ์มีค่าจำกัดนั้น เป็นข้อผิดพลาดจากการตัดทอนในกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของการหาอนุพันธ์ ${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

ตัวอย่าง ก:

หาค่าการตัดทอนในการคำนวณอนุพันธ์อันดับแรกของ ที่โดยใช้ขนาดขั้นตอนเท่ากับ${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$${\displaystyle x=7}$${\displaystyle h=0.25}$

สารละลาย:

อนุพันธ์อันดับแรกของคือ และที่, ${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$$${\displaystyle f'(x)=15x^{2},}$$${\displaystyle x=7}$$${\displaystyle f'(7)=735.}$$

ค่าโดยประมาณกำหนดโดย $${\displaystyle f'(7)={\frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}}=761.5625}$$

ดังนั้น ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนจึงเป็น $${\displaystyle \mathrm {TE} =735-761.5625=-26.5625}$$

นิยามของปริพันธ์ที่แน่นอนของฟังก์ชันจากถึงมีดังต่อไปนี้ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ให้เป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนช่วง ปิดของจำนวนจริงและ เป็นการแบ่งช่วงของIโดย ที่และ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},}$$$${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.}$$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}$$${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$

นั่นหมายความว่าเรากำลังหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งโดยใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้าจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ตาม หากเราคำนวณอินทิกรัลด้วยวิธีเชิงตัวเลข เราจะใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้าได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ข้อผิดพลาดที่เกิดจากการเลือกสี่เหลี่ยมผืนผ้าจำนวนจำกัดแทนที่จะเป็นจำนวนอนันต์ คือ ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนในกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของการหาอินทิกรัล

ตัวอย่าง ก.

สำหรับการหาปริพันธ์ ให้หาค่าความคลาดเคลื่อนจากการตัดทอน หาก ใช้ ผลรวมรีมันน์ ด้านซ้ายแบบสองส่วน โดยแต่ละ ส่วนมีความกว้างเท่ากัน$${\displaystyle \int _{3}^{9}x^{2}{dx}}$$

สารละลาย

เรามีค่าที่แน่นอนดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{3}^{9}\\&=\left[{\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}}$$

โดยใช้สี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปที่มีความกว้างเท่ากันเพื่อประมาณพื้นที่ (ดูรูปที่ 2) ใต้เส้นโค้ง ค่าโดยประมาณของปริพันธ์

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2}\,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ข้อผิดพลาดจากการตัดทอน}}&={\text{ค่าที่แท้จริง}}-{\text{ค่าโดยประมาณ}}\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}}$$

บางครั้ง ด้วยความผิดพลาด การปัดเศษ (ซึ่งเป็นผลมาจากการใช้ ตัวเลขทศลอยที่มีความแม่นยำจำกัดในคอมพิวเตอร์) อาจถูกเรียกว่า ความผิดพลาดจากการตัดทอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากปัดเศษด้วยการตัดทิ้ง นั่นไม่ใช่การใช้คำว่า "ความผิดพลาดจากการตัดทอน" ที่ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม การเรียกมันว่าการตัดทอนตัวเลขอาจเป็นที่ยอมรับได้

ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนอาจเกิดขึ้นภายในคอมพิวเตอร์เมื่อ( อย่างที่ควรจะเป็น) ในขณะที่มีข้อผิดพลาดจากการตัดทอนเท่ากับ 1 ข้อผิดพลาดจากการตัดทอนนี้เกิดขึ้นเนื่องจากคอมพิวเตอร์ไม่ได้จัดเก็บตัวเลขหลักสุดท้ายที่มีค่ามากที่สุดของจำนวนเต็มขนาดใหญ่มาก ${\displaystyle (A+B)+C\neq A+(B+C)}$${\displaystyle A=-10^{25},B=10^{25},C=1}$${\displaystyle (A+B)+C=(0)+C=1}$${\displaystyle A+(B+C)=A+(B)=0}$${\displaystyle A+(B+C)}$

• ข้อผิดพลาดในการกำหนดปริมาณ