โดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติการบิดเบี้ยวจะเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของตัวอย่างที่ระบุด้วยสถิติที่เหมาะสมสำหรับการแลกเปลี่ยน

เริ่มต้นด้วยตัวอย่าง ที่สังเกตได้จากตัวแปรสุ่มXซึ่งมีกฎการแจกแจง ที่กำหนดไว้ และมีพารามิเตอร์ที่ไม่ระบุค่า ปัญหา การอนุมานเชิงพารามิเตอร์ประกอบด้วยการคำนวณค่าที่เหมาะสม – เรียกอีกอย่างว่าค่าประมาณ – ของพารามิเตอร์นี้โดยอาศัยตัวอย่างที่สังเกตได้ ค่าประมาณจะเหมาะสมหากการแทนที่ค่าประมาณนั้นด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าไม่ก่อให้เกิดความเสียหายร้ายแรงในการคำนวณครั้งต่อไป ในการอนุมานเชิงอัลกอริทึม ความเหมาะสมของค่าประมาณจะพิจารณาจากความเข้ากันได้กับตัวอย่างที่สังเกตได้ ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$

ในทางกลับกัน ความเข้ากันได้ของพารามิเตอร์เป็นการวัดความน่าจะเป็นที่เราได้มาจากความน่าจะเป็นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่พารามิเตอร์นั้นอ้างถึง ด้วยวิธีนี้ เราจึงระบุพารามิเตอร์สุ่ม Θ ที่เข้ากันได้กับตัวอย่างที่สังเกตได้ เมื่อกำหนดกลไกการสุ่มตัวอย่าง แล้ว เหตุผลของการดำเนินการนี้อยู่ที่การใช้ กฎการแจกแจงเมล็ดพันธุ์ Zเพื่อกำหนดทั้ง กฎการแจกแจง Xสำหรับ θ ที่กำหนด และกฎการแจกแจง Θ เมื่อกำหนด ตัวอย่าง Xดังนั้น เราอาจได้การแจกแจงหลังโดยตรงจากการแจกแจงแรก หากเราสามารถเชื่อมโยงโดเมนของปริภูมิของตัวอย่างกับเซตย่อยของส่วนรองรับ Θ ได้ ในแง่ที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เราพูดถึงคุณสมบัติการบิดเบี้ยวของตัวอย่างกับคุณสมบัติของพารามิเตอร์ และระบุตัวอย่างกับสถิติที่เหมาะสมสำหรับการแลกเปลี่ยนนี้ ซึ่งแสดงถึงพฤติกรรมที่ดี เมื่อเทียบ กับพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า เป้าหมายในการดำเนินการคือการเขียนนิพจน์เชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันการแจกแจงสะสมโดยพิจารณาจากค่าที่สังเกตได้sของสถิติSเป็นฟังก์ชันของกฎ การแจกแจง Sเมื่อ พารามิเตอร์ Xคือ θ พอดี ${\displaystyle M_{X}=(g_{\theta },Z)}$${\displaystyle F_{\Theta }(\theta )}$

เมื่อกำหนดกลไกการสุ่มตัวอย่าง สำหรับตัวแปรสุ่ม Xเราจะสร้างแบบจำลองให้เท่ากับโดยเน้นที่สถิติที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์  θสมการหลักจะเป็น ดังนี้${\displaystyle M_{X}=(g_{\theta },Z)}$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=\{X_{1},\ldots ,X_{m}\}}$${\displaystyle \{g_{\theta }(Z_{1}),\ldots ,g_{\theta }(Z_{m})\}}$${\displaystyle S=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{m})}$

${\displaystyle s=h(g_{\theta }(z_{1}),\ldots ,g_{\theta }(z_{m}))=\rho (\theta ;z_{1},\ldots ,z_{m}).}$

เมื่อsเป็นสถิติที่มีพฤติกรรมดีเมื่อเทียบกับพารามิเตอร์ เรามั่นใจได้ว่าความสัมพันธ์แบบโมโนโทนมีอยู่สำหรับแต่ละs และ θ นอกจากนี้ เรายังมั่นใจได้ว่า Θ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของสำหรับs ที่กำหนด เป็นตัวแปรสุ่ม เนื่องจากสมการหลักให้คำตอบที่เป็นไปได้และเป็นอิสระจากพารามิเตอร์อื่น ๆ (ที่ซ่อนอยู่) ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {z}}=\{z_{1},\ldots ,z_{m}\}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {Z}}}$

ทิศทางของความสม่ำเสมอจะกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ประเภท ใด ๆ หรือในทางกลับกัน โดย ที่ คำนวณได้จากสมการหลักที่มีในกรณีที่sมีค่าไม่ต่อเนื่อง ความสัมพันธ์แรกจะเปลี่ยนเป็น โดยที่คือขนาดของ เม็ดการแบ่งส่วน sเช่นเดียวกับแนวโน้มความสม่ำเสมอที่ตรงกันข้าม เมื่อสรุปความสัมพันธ์เหล่านี้บนเมล็ดพันธุ์ทั้งหมด สำหรับsที่ต่อเนื่อง เราจะได้ว่า ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {z}}}$${\displaystyle s\geq s'\leftrightarrow \theta \geq \theta '}$${\displaystyle s\geq s'\leftrightarrow \theta \leq \theta '}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle \theta '}$${\displaystyle s\geq s'\rightarrow \theta \geq \theta '\rightarrow s\geq s'+\ell }$${\displaystyle \ell >0}$

${\displaystyle F_{\Theta \mid S=s}(\theta )=F_{S\mid \Theta =\theta }(s)}$

หรือ

${\displaystyle F_{\Theta \mid S=s}(\theta )=1-F_{S\mid \Theta =\theta }(s)}$

สำหรับค่า sที่ไม่ต่อเนื่อง เราจะมีช่วงที่ค่า s อยู่ เนื่องจากเงื่อนไขดังกล่าว ${\displaystyle F_{\Theta \mid S=s}(\theta )}$${\displaystyle \ell >0}$กลไกเชิงตรรกะทั้งหมดนี้เรียกว่า การบิดเบือนข้อโต้แย้ง (twisting argument ) ขั้นตอนในการนำไปใช้มีดังนี้

การสร้างกฎการกระจายพารามิเตอร์ผ่านการโต้แย้งแบบบิดเบี้ยว

เมื่อกำหนดตัวอย่างจากตัวแปรสุ่มที่มีพารามิเตอร์ θ ที่ไม่ทราบค่า ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$ ระบุค่าสถิติS ที่มีพฤติกรรมที่ดี สำหรับพารามิเตอร์ θ และระดับการแบ่งย่อย(ถ้ามี)${\displaystyle \ell }$ ตัดสินใจเลือกระหว่างความซ้ำซากจำเจกับ; คำนวณที่: ${\displaystyle F_{\Theta }(\theta )\in \left(q_{1}(F_{S|\Theta =\theta }(s)),q_{2}(F_{S|\Theta =\theta }(s))\right)}$ ถ้าSเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง${\displaystyle q_{1}=q_{2}}$ ถ้าSเป็นค่าไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle q_{2}(F_{S}(s))=q_{1}(F_{S}(s-\ell )}$ถ้าsไม่ลดลงตามθ ${\displaystyle q_{1}(F_{S}(s))=q_{2}(F_{S}(s-\ell )}$ถ้าsไม่เพิ่มขึ้นตามθและ ${\displaystyle q_{i}(F_{S})=1-F_{S}}$ถ้าsไม่ลดลงตาม θ และถ้าsไม่เพิ่มขึ้นตามθสำหรับ.${\displaystyle q_{i}(F_{S})=F_{S}}$${\displaystyle i=1,2}$

เหตุผลเบื้องหลังการบิดเบือนข้อโต้แย้งไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อพารามิเตอร์เป็นเวกเตอร์ แม้ว่าจะมีความซับซ้อนเกิดขึ้นจากการจัดการความไม่เท่าเทียมกันร่วมกันก็ตาม ในทางกลับกัน ความยากลำบากในการจัดการกับเวกเตอร์ของพารามิเตอร์พิสูจน์แล้วว่าเป็นจุดอ่อนของแนวทางของ Fisher ในการแจกแจงพารามิเตอร์ แบบฟิดูเชียล ^{[ 2 ]}นอกจากนี้ ความน่าจะเป็นเชิงสร้างสรรค์ของ Fraser ^{[ 3 ]}ที่คิดค้นขึ้นเพื่อจุดประสงค์เดียวกันก็ไม่ได้จัดการกับประเด็นนี้อย่างสมบูรณ์

สำหรับการสุ่มตัวอย่างจาก1 การแจกแจงแกมมาซึ่งข้อกำหนดต้องการค่าสำหรับพารามิเตอร์ λ และk นั้น สามารถกล่าวถึงการบิดเบือนได้โดยการทำตามขั้นตอนด้านล่างนี้ เมื่อพิจารณาความหมายของพารามิเตอร์เหล่านี้แล้ว เราทราบว่า ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle (k\leq k')\leftrightarrow (s_{k}\leq s_{k'}){\text{ for fixed }}\lambda ,}$

${\displaystyle (\lambda \leq \lambda ')\leftrightarrow (s_{\lambda '}\leq s_{\lambda }){\text{ for fixed }}k,}$

โดยที่และ. ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วม ${\displaystyle s_{k}=\prod _{i=1}^{m}x_{i}}$${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{i=1}^{m}x_{i}}$

${\displaystyle F_{\Lambda ,K}(\lambda ,k)=F_{\Lambda \,\mid \,K=k}(\lambda )F_{K}(k)=F_{K\,\mid \,\Lambda =\lambda }(k)F_{\Lambda }(\lambda ).}$

โดยใช้การแยกตัวประกอบครั้งแรกและแทนที่ด้วยเพื่อให้ได้การกระจายของที่เป็นอิสระจากเราจะได้ ${\displaystyle s_{k}}$${\displaystyle r_{k}={\frac {s_{k}}{s_{\lambda }^{m}}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle F_{\Lambda \,\mid \,K=k}(\lambda )=1-{\frac {\Gamma (km,\lambda s_{\Lambda })}{\Gamma (km)}}}$

${\displaystyle F_{K}(k)=1-F_{R_{k}}(r_{K})}$

โดยที่mแทนขนาดตัวอย่างและคือสถิติที่สังเกตได้ (ดังนั้นดัชนีจึงแสดงด้วยตัวอักษรตัวใหญ่) ฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์และฟังก์ชัน H ของ Foxซึ่งสามารถประมาณได้ด้วยการแจกแจงแกมมาอีกครั้งด้วยพารามิเตอร์ที่เหมาะสม (ตัวอย่างเช่น ประมาณค่าผ่านวิธีโมเมนต์ ) เป็นฟังก์ชันของkและm${\displaystyle s_{\Lambda }}$${\displaystyle r_{K}}$${\displaystyle \Gamma (a,b)}$${\displaystyle F_{R_{k}}(r_{K})}$

ด้วยขนาดตัวอย่างและคุณจะพบฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วมของพารามิเตอร์แกมมาKและทางด้านซ้ายส่วนการแจกแจงแบบมาร์จินัลของKแสดงอยู่ในภาพทางด้านขวา ${\displaystyle m=30,s_{\Lambda }=72.82}$${\displaystyle r_{K}=}$${\displaystyle 4.5\times 10^{-46}}$${\displaystyle \Lambda }$