ทฤษฎีจำนวนเชิงพิมพ์

ทฤษฎีจำนวนเชิงพิมพ์ ( Typographical Number Theory หรือ TNT ) เป็น ระบบ สัจพจน์ ที่เป็นทางการซึ่ง อธิบายจำนวนธรรมชาติปรากฏอยู่ใน หนังสือ Gödel, Escher, BachของDouglas Hofstadterมันเป็นการนำเลขคณิตของ Peano มาใช้ ซึ่ง Hofstadter ใช้เพื่อช่วยอธิบาย ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ ของ Gödel

เช่นเดียวกับระบบใดๆ ที่ใช้สัจพจน์ของ Peano ระบบ TNT สามารถอ้างอิงถึงตัวเองได้ (เป็นระบบที่อ้างอิงถึงตัวเอง )

TNT ไม่ใช้สัญลักษณ์เฉพาะสำหรับจำนวนธรรมชาติ แต่ละจำนวน แต่ใช้วิธีที่เรียบง่ายและสม่ำเสมอในการกำหนดสัญลักษณ์ผสมให้กับจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวน:

ศูนย์	0
หนึ่ง	เอส0
สอง	SS0
สาม	SSS0
สี่	SSSS0
ห้า	SSSSS0

สัญลักษณ์Sสามารถตีความได้ว่า"ผู้สืบทอดของ"หรือ "ตัวเลขถัดจาก" อย่างไรก็ตาม เนื่องจากนี่เป็นทฤษฎีจำนวน การตีความเช่นนี้จึงมีประโยชน์ แต่ไม่เคร่งครัด เราไม่สามารถกล่าวได้ว่าเพราะสี่เป็นผู้สืบทอดของสาม ดังนั้นสี่จึงเป็นSSSS0แต่เราสามารถกล่าวได้ว่า เนื่องจากสามเป็นผู้สืบทอดของสอง ซึ่งเป็นผู้สืบทอดของหนึ่ง ซึ่งเป็นผู้สืบทอดของศูนย์ ซึ่งถูกอธิบายว่าเป็น0ดังนั้นจึงสามารถ "พิสูจน์" ได้ว่าสี่เป็นSSSS0 TNT ถูกออกแบบมาเพื่อให้ทุกสิ่งต้องได้รับการพิสูจน์ก่อนจึงจะกล่าวได้ว่าเป็นจริง

เพื่ออ้างถึงคำศัพท์ที่ไม่ระบุเจาะจง TNT ใช้ตัวแปร ห้าตัว ได้แก่

ก, ข, ค, ง, จ.

สามารถสร้างตัวแปรเพิ่มเติมได้โดยการเติมเครื่องหมายไพรม์ (')ต่อท้ายตัวแปรนั้น ตัวอย่างเช่น

a ′ , b ′ , c ′ , a″, a‴ ล้วนเป็นตัวแปร

ในทีเอ็นทีชนิดที่แข็งตัวกว่า ซึ่งเรียกว่าทีเอ็นที "แบบเข้มงวด" นั้น มีเพียง...

มีการใช้ a ′ , a″, a‴ เป็นต้น

ในทฤษฎีจำนวนเชิงการพิมพ์ สัญลักษณ์ "+" สำหรับการบวก และ "·" สำหรับการคูณ จะถูกใช้ตามปกติ ดังนั้น การเขียน "b บวก c" จะต้องเขียนว่า

(b + c)

และ "a คูณ d" เขียนได้ดังนี้

(ก.ด)

วงเล็บเป็นสิ่งจำเป็น การละเว้นใดๆ จะเป็นการละเมิดระบบการสร้างประโยคของ TNT (ถึงแม้ว่าจะพิสูจน์ได้ง่ายๆ ว่ารูปแบบนี้ไม่จำเป็นสำหรับการดำเนินการที่เป็นทั้งแบบสลับที่ได้และแบบจัดกลุ่มได้) นอกจากนี้ สามารถดำเนินการกับพจน์ได้เพียงสองพจน์ในแต่ละครั้งเท่านั้น ดังนั้น การเขียน "a บวก b บวก c" จึงหมายถึงการเขียนอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้

((a + b) + c)

หรือ

(a + (b + c))

ตัวดำเนินการ "เท่ากับ" ใช้เพื่อแสดงความเท่าเทียมกัน โดยใช้สัญลักษณ์ "=" และมีความหมายโดยทั่วไปเหมือนกับที่ใช้ในคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น

(SSS0  +  SSS0)  =  SSSSSS0

เป็นข้อความทฤษฎีบทใน TNT ซึ่งมีความหมายว่า "3 บวก 3 เท่ากับ 6"

ในทฤษฎีจำนวนเชิงการพิมพ์การปฏิเสธ กล่าวคือ การเปลี่ยนข้อความหนึ่งไปเป็นข้อความตรงข้าม จะใช้สัญลักษณ์ "~" หรือตัวดำเนินการปฏิเสธ ตัวอย่างเช่น

~( SSS0  +  SSS0 ) =  SSSSSSS0

เป็นทฤษฎีบทใน TNT ซึ่งตีความได้ว่า "3 บวก 3 ไม่เท่ากับ 7"

คำว่า "การปฏิเสธ" ในที่นี้ หมายถึงการปฏิเสธในตรรกะบูลีน ( การปฏิเสธเชิงตรรกะ ) ไม่ใช่แค่การเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น ถ้าฉันพูดว่า "ฉันกำลังกินเกรปฟรุต" สิ่งที่ตรงกันข้ามคือ "ฉันไม่ได้กินเกรปฟรุต" ไม่ใช่ "ฉันกำลังกินอย่างอื่นที่ไม่ใช่เกรปฟรุต" ในทำนองเดียวกัน "โทรทัศน์เปิดอยู่" จะถูกปฏิเสธเป็น "โทรทัศน์ไม่ได้เปิดอยู่" ไม่ใช่ "โทรทัศน์ปิดอยู่" เพราะตัวอย่างเช่น โทรทัศน์อาจเสีย นี่เป็นความแตกต่างเล็กน้อย แต่สำคัญมาก

ถ้า x และ y เป็นสูตรที่มีรูปแบบถูกต้อง และโดยที่ไม่มีตัวแปรใดที่เป็นอิสระในสูตรหนึ่งถูกกำหนดปริมาณในอีกสูตรหนึ่งแล้ว สูตรต่อไปนี้ล้วนเป็นสูตรที่มีรูปแบบถูกต้อง

<x∧y>,<x∨y>,<x⊃y>

ตัวอย่าง:

• <0=0∧~0=0>
• <b=b∨~∃c:c=b>
• <S0=0⊃∀c:~∃b:(b+b)=c>

สถานะการวัดปริมาณของตัวแปรไม่เปลี่ยนแปลงในที่นี้

มีการใช้ตัวบ่งปริมาณสองตัวได้แก่ ∀และ∃

โปรดทราบว่า ในระบบ TNT นั้น ไม่จำเป็นต้องระบุการมีอยู่ขององค์ประกอบในเซตเพื่อใช้เป็นตัวบ่งปริมาณ ซึ่งแตกต่างจากระบบตรรกะ อื่นๆ ส่วนใหญ่ เนื่องจากตัวเลขและเทอมทั้งหมดเป็นจำนวนธรรมชาติหรือข้อความตรรกะบูลีนอย่างเคร่งครัด ดังนั้นจึงเทียบเท่ากับการกล่าวว่าและ∀a:(a∈N):∀b:(b∈N):(a+b)=(b+a)∀a:∀b:(a+b)=(b+a)

• ∃หมายถึง "มีอยู่"
• ∀หมายถึง "สำหรับทุกๆ" หรือ "สำหรับทุกคน"
• สัญลักษณ์:ใช้เพื่อแยกตัวบ่งปริมาณออกจากตัวบ่งปริมาณอื่นๆ หรือจากส่วนที่เหลือของสูตร โดยทั่วไปจะอ่านว่า "ดังนั้น"

ตัวอย่างเช่น:

∀a:∀b:(a+b)=(b+a)

("สำหรับทุกจำนวน a และทุกจำนวน b จะได้ว่า a บวก b เท่ากับ b บวก a" หรือในเชิงเปรียบเทียบก็คือ "การบวกมีคุณสมบัติสลับที่ได้")

~∃c:Sc=0

(“ไม่มีจำนวน c ใด ๆ ที่ c บวกหนึ่งเท่ากับศูนย์” หรือในเชิงเปรียบเทียบ “ศูนย์ไม่ใช่จำนวนสืบเนื่องของจำนวนธรรมชาติใด ๆ”)

สัญลักษณ์ทั้งหมดของแคลคูลัสเชิงประพจน์ยกเว้นสัญลักษณ์อะตอม ถูกนำมาใช้ในทฤษฎีจำนวนเชิงพิมพ์ และยังคงรักษาความหมายของสัญลักษณ์เหล่านั้นไว้

ในที่นี้ อะตอมถูกนิยามว่าเป็นสตริงซึ่งประกอบด้วยข้อความแสดงความเท่าเทียมกัน เช่น

2 บวก 3 เท่ากับ 5:

( SS0  +  SSS0 ) =  SSSSS0

2 บวก 2 เท่ากับ 4:

( SS0  +  SS0 ) =  SSSS0