ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์และสาขาที่เกี่ยวข้องเซตจะเรียกว่าเซตที่มีขอบเขตถ้าจุดทั้งหมดในเซตนั้นอยู่ห่างกันไม่เกินระยะทางที่กำหนด ในทางกลับกัน เซตที่ไม่มีขอบเขตจะเรียกว่าเซตที่ไม่มีขอบเขตคำว่า "มีขอบเขต" นั้นไม่มีความหมายในปริภูมิเชิงทอพอโลยีทั่วไปที่ไม่มีเมตริก ที่ สอดคล้องกัน

ขอบเขตเป็นแนวคิดที่แตกต่างออกไป ตัวอย่างเช่นวงกลม (อย่าสับสนกับแผ่นดิสก์ ) ในตัวเองเป็นเซตที่มีขอบเขตแต่ไม่มีขอบเขต ในขณะที่ระนาบครึ่งหนึ่งไม่มีขอบเขตแต่มีขอบเขต

เซตที่มีขอบเขตไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิดและในทางกลับกัน ตัวอย่างเช่น เซตย่อยSของปริภูมิจริง 2 มิติR ²ที่ถูกจำกัดด้วยเส้นโค้งพาราโบลาสองเส้นx ² + 1และx ² − 1ที่กำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนจะเป็นเซตปิดโดยเส้นโค้งเหล่านั้น แต่ไม่มีขอบเขต (ดังนั้นจึงเป็นเซตที่ไม่มีขอบเขต)

เซตSของจำนวนจริงเรียกว่ามีขอบเขตบนถ้ามีจำนวนจริงk บางตัว (ไม่จำเป็นต้องอยู่ในS ) ที่ทำให้k ≥ sสำหรับทุกsในSจำนวนkเรียกว่าขอบเขตบนของSส่วนคำว่ามีขอบเขตล่างและขอบเขตล่าง นั้น มีความหมายคล้ายกัน

เซตSเป็นเซตที่มีขอบเขตถ้าเซตนั้นมีทั้งขอบเขตบนและขอบเขตล่าง ดังนั้น เซตของจำนวนจริงจะเป็นเซตที่มีขอบเขต ถ้าเซตนั้นบรรจุอยู่ในช่วงจำกัดช่วงหนึ่ง

เซตย่อยSของปริภูมิเมตริก( M , d )จะเป็นเซตที่มีขอบเขตถ้ามีr > 0อยู่จริง โดยที่สำหรับทุกsและtในSเราจะได้d ( s , t ) < rปริภูมิเมตริก( M , d )จะเป็นปริภูมิเมตริกที่มีขอบเขต (หรือ dเป็น เมตริก ที่มีขอบเขต ) ถ้าMเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของตัวมันเอง

• การมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ย่อมหมายถึงการมีขอบเขตเช่นกัน สำหรับเซตย่อยของR ⁿทั้งสองอย่างนี้เทียบเท่ากัน
• ปริภูมิเมตริกจะเป็นปริภูมิกระชับก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิสมบูรณ์และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ เท่านั้น
• เซตย่อยของปริภูมิยุคลิดR ⁿจะเป็นเซตกระชับ (compact) ก็ต่อเมื่อเป็นเซตปิดและมีขอบเขต นี่เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทไฮน์-โบเรล (Heine-Borel theorem )

ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีมีนิยามที่แตกต่างกันสำหรับเซตที่มีขอบเขต ซึ่งบางครั้งเรียกว่าขอบเขตแบบฟอน นอยมันน์หากทอพอโลยีของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีถูกกำหนดโดยเมตริกที่เป็นเอกพันธุ์เช่นในกรณีของเมตริกที่ถูกกำหนดโดยนอร์มของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีนอร์ม นิยามทั้งสองจะตรงกัน

เซตของจำนวนจริงจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อมีขอบเขตบนและขอบเขตล่าง นิยามนี้สามารถขยายไปใช้กับเซตย่อยของเซตที่มีลำดับบางส่วน ใดๆ ได้ โปรดทราบว่าแนวคิดเรื่องขอบเขตในความหมายทั่วไปนี้ไม่ได้สอดคล้องกับแนวคิดเรื่อง "ขนาด"

เซตย่อยSของเซตที่มีลำดับบางส่วนPเรียกว่ามีขอบเขตบนถ้ามีสมาชิกkในPที่ทำให้k ≥ sสำหรับทุกsในSสมาชิกkเรียกว่าขอบเขตบนของSแนวคิดของขอบเขตล่างและขอบเขตล่างนั้นนิยามในทำนองเดียวกัน (ดูเพิ่มเติมที่ขอบเขตบนและขอบเขตล่าง )

เซตย่อยSของเซตP ที่เรียงลำดับบางส่วน เรียกว่าเซตที่มีขอบเขตถ้ามีทั้งขอบเขตบนและขอบเขตล่าง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้ามันบรรจุอยู่ในช่วงโปรดทราบว่านี่ไม่ใช่เพียงคุณสมบัติของเซตS เท่านั้น แต่ยังเป็นคุณสมบัติของเซตSในฐานะเซตย่อยของPด้วย

โพเซตที่มีขอบเขตP (กล่าวคือ ในตัวมันเอง ไม่ใช่ในฐานะเซตย่อย) คือโพเซตที่มีสมาชิกน้อยที่สุดและสมาชิกมากที่สุดโปรดทราบว่าแนวคิดเรื่องขอบเขตนี้ไม่เกี่ยวข้องกับขนาดที่จำกัด และเซตย่อยSของโพเซตที่มีขอบเขตPซึ่งมีลำดับเป็นการจำกัดลำดับบนP นั้นไม่จำเป็นต้องเป็นโพเซตที่มีขอบเขตเสมอไป

เซตย่อยSของR ⁿจะมีขอบเขตเมื่อเทียบกับระยะทางแบบยุคลิดก็ต่อเมื่อมีขอบเขตในฐานะเซตย่อยของR ⁿที่มีลำดับผลคูณอย่างไรก็ตามSอาจมีขอบเขตในฐานะเซตย่อยของR ⁿที่มีลำดับแบบพจนานุกรมแต่ไม่มีขอบเขตเมื่อเทียบกับระยะทางแบบยุคลิด

กล่าวได้ว่ากลุ่มของจำนวนเชิงลำดับนั้น เป็นกลุ่มที่ไม่จำกัด หรือ เป็นกลุ่มร่วมสุดท้าย (cofinal ) เมื่อกำหนดจำนวนเชิงลำดับใดๆ ก็ตาม จะมีสมาชิกบางตัวในกลุ่มนั้นที่มากกว่าจำนวนเชิงลำดับนั้นเสมอ ดังนั้นในกรณีนี้ คำว่า "ไม่จำกัด" ไม่ได้หมายความว่าไม่จำกัดด้วยตัวมันเอง แต่หมายความว่าไม่จำกัดในฐานะกลุ่มย่อยของกลุ่มของจำนวนเชิงลำดับทั้งหมด

• โดเมนที่มีขอบเขต
• ฟังก์ชันที่มีขอบเขต
• ขอบเขตท้องถิ่น
• ทฤษฎีลำดับ
• ถูกจำกัดอย่างสมบูรณ์