ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มฟังก์ชันที่มีขอบเขตสม่ำเสมอ คือกลุ่มฟังก์ชันที่มีขอบเขตซึ่งสามารถมีขอบเขตได้ด้วยค่าคงที่เดียวกัน ค่าคงที่นี้มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของค่าใดๆ ของฟังก์ชันใดๆ ในกลุ่มนั้น

อนุญาต

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to \mathbb {K} ,i\in I\}}$

เป็นกลุ่มของฟังก์ชันที่มีดัชนีเป็น โดยที่เป็นเซตใดๆ และ เป็นเซตของ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนเราเรียกว่ามีขอบเขตสม่ำเสมอ (uniformly bounded)ถ้ามีจำนวนจริง อยู่จำนวนหนึ่งที่ทำให้ ${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M>0}$

${\displaystyle |f_{i}(x)|\leq M\ ,\qquad \forall i\in I\ ,\quad \forall x\in X.}$

อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงเรื่องนี้คือดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \exists M>0:\quad \sup \limits _{i\in I}\sup \limits _{x\in X}|f_{i}(x)|\leq M.}$

โดยทั่วไป ให้เป็นปริภูมิเมตริกที่มีเมตริกแล้วเซต ${\displaystyle Y}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}$

เรียกว่ามีขอบเขตสม่ำเสมอถ้ามีองค์ประกอบและอยู่จริง โดยที่ ${\displaystyle a\in Y}$${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงเรื่องนี้คือดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \exists a\in Y\,,\exists M\in \mathbb {R} ^{+}:\quad \sup \limits _{i\in I}\sup \limits _{x\in X}d(f_{i}(x),a)\leq M.}$

• ลำดับของฟังก์ชันที่มีขอบเขตและลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอทุก ลำดับ จะมีขอบเขตอย่างสม่ำเสมอเช่นกัน
• กลุ่มของฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับจำนวนจริง ที่เดินทางผ่านจำนวนเต็มจะถูกจำกัดอย่างสม่ำเสมอด้วย 1${\displaystyle f_{n}(x)=\sin nx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$
• กลุ่มอนุพันธ์ของกลุ่มข้างต้นนั้นไม่ได้มีขอบเขตสม่ำเสมอ แต่ละกลุ่มมีขอบเขตแต่ไม่มีจำนวนจริงใดที่ทำให้สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด${\displaystyle f'_{n}(x)=n\,\cos nx,}$${\displaystyle f'_{n}}$${\displaystyle ||n|,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle ||\leq M}$${\displaystyle n.}$