ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทขอบเขตบนกล่าวว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมวงกลมมีจำนวนหน้ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในบรรดารูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ทั้งหมด ที่มีมิติและจำนวนจุดยอดที่กำหนดให้ นี่เป็นหนึ่งในผลลัพธ์สำคัญของคณิตศาสตร์ เชิงการจัดเรียงรูปทรงหลายเหลี่ยม

เดิมทีรู้จักกันในชื่อสมมติฐานขอบเขตบนข้อความนี้ได้รับการกำหนดขึ้นโดยTheodore Motzkinได้รับการพิสูจน์ในปี 1970 โดยPeter McMullen [ ^{1 ] และ}ได้รับการเสริมความแข็งแกร่งจากรูปทรงหลายเหลี่ยมไปสู่การแบ่งย่อยของทรงกลมในปี 1975 โดยRichard P. Stanley

รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบวงกลมอาจนิยามได้ว่าเป็นส่วนนูนของจุดยอดบนเส้นโค้งโมเมนต์ซึ่งเป็นเซตของจุดมิติ n ที่มี พิกัด การเลือกจุดบนเส้นโค้งนี้อย่างแม่นยำนั้นไม่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างเชิงการจัดเรียงของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ จำนวนหน้ามิติ n ของกำหนดโดยสูตร ${\displaystyle \Delta (n,d)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (t,t^{2},t^{3},\dots )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Delta (n,d)}$$${\displaystyle f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor }$$

และสามารถกำหนดได้อย่างสมบูรณ์โดยใช้สมการ Dehn–Sommervilleสูตรเดียวกันนี้สำหรับจำนวนหน้าสามารถนำไปใช้ได้ทั่วไปกับโพลีโทปที่อยู่ใกล้เคียง กันใด ๆ ${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$

ทฤษฎีบทขอบเขตบนกล่าวว่า ถ้าเป็นทรงกลมเชิงซิมพลิเชียลที่มี มิติ n และ มีจุดยอด n จุด แล้ว ความแตกต่างระหว่างสำหรับมิติของทรงกลมเชิงซิมพลิเชียล และสำหรับมิติของโพลีโทปแบบวงกลม มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า พื้นผิวของโพลีโทปมิติ n (เช่น โพลีโทปแบบวงกลม) เป็นส่วนย่อยมิติ n ของทรงกลม ดังนั้น ทฤษฎีบทขอบเขตบนจึงบ่งชี้ว่า จำนวนหน้าของโพลีโทปใดๆ จะไม่มีทางมากกว่าจำนวนหน้าของโพลีโทปแบบวงกลมหรือโพลีโทปข้างเคียงที่มีมิติและจำนวนจุดยอดเดียวกัน ในทางอนุกรมวิธาน นี่หมายความว่าจะมีหน้าอย่างมากที่สุด n หน้าในทุกมิติ ขอบเขตเดียวกันนี้ใช้ได้กับโพลีโทปนูนที่ไม่ใช่ซิมพลิเชียลด้วยเช่นกัน เพราะการเปลี่ยนแปลงจุดยอดของโพลีโทปดังกล่าว (และการหาขอบนูนของจุดยอดที่ถูกเปลี่ยนแปลง) จะทำให้จำนวนหน้าเพิ่มขึ้นเท่านั้น ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.}$$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (d-1)}$${\displaystyle \scriptstyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })}$

ข้อสันนิษฐานขอบเขตบนสำหรับโพลีโทปเชิงซิมพลิเชียลถูกเสนอโดย Motzkin ในปี 1957 และได้รับการพิสูจน์โดย McMullen ในปี 1970 ส่วนประกอบสำคัญในการพิสูจน์ของเขาคือการกำหนดรูปแบบใหม่ต่อไปนี้ในรูปของเวกเตอร์h :

${\displaystyle h_{i}(\Delta )\leq {\tbinom {n-d+i-1}{i}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i\leq \left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor .}$

Victor Klee แนะนำว่าข้อความเดียวกันนี้ควรใช้ได้กับทรงกลมซิมพลิเชียลทั้งหมด และสิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในปี 1975 โดย Stanley ^{[ 2 ]}โดยใช้แนวคิดของวงแหวน Stanley–Reisnerและวิธีการทางโฮโมโลจี สำหรับเรื่องราวทางประวัติศาสตร์ที่ดีของทฤษฎีบทนี้ โปรดดูบทความของ Stanley เรื่อง "How the upper bound conjecture was proved" ^{[ 3 ]}